精品解析：北京市房山区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二） 八年级数学 本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上、在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项．符合题意的选项只有一个． 1. 5的算术平方根等于（ ） A. B. C. D. 25 2. 若分式的值为0，则的取值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B. 班级里有同年同月同日出生的同学 C. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D. 长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 5. 同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在的内部，点分别在上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（ ） A. B. 平分 C. D. 8. 如图，中，于点，于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 计算：______ 11 计算：______． 12. 北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力I项目中，必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选中篮球可能性大小为______． 13. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 14. 如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则______． 15. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 16. 如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则______°；当的周长最小时，______°． 三、解答题（共68分，第17题9分；第18-21，23题每题5分；第22，24题每题4分；第25，26，27题每题6分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程：． 19. 如图，点是线段上一点，，，．求证：． 20. 如图1是教材90页的“综合与实践”，小涵在解决该问题时想到这样的测量方法：在陆地上取一点，使得从点能够直接走到点和点，延长到，使，再延长到，使．量出的长．那么的长便是鱼塘的宽的长．请根据小涵的方法，在图2中画出图形，并说明理由（证明）． 21. 2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施： 如图1，在小区内道路旁设立“公共晾晒点”，安装“共享晾衣架”，使得道路附近的两栋住宅楼，到“公共晾晒点”的距离相等． （1）在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置； （2）确定点位置的依据为______． 22. 下面是小玉同学设计的“作等腰三角形底边上的高”的尺规作图过程． 已知：中．． 求作：边上的高． 作法：如图． ①以点圆心，适当长为半径作弦，与，分别交于点，； ②分别以，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于内一点； ③作射线，与交于点． 所以线段就是所求作的线段． 根据小玉设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面证明： 证明：连接，． 在与中． ∴． ∴． 又∵， ∴是的高（______）（填推理依据） 23. 初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 （1）求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． （2）同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 24. 如图，与是等边三角形． （1）求证：； （2）延长交于点，判断大小并证明． 25. 研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 26. 如图，在中，，，点是上一点（不与点，重合）．作射线，过点作于点，点关于直线的对称点为点，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 27. 已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． （1）如图1，当，线段时，画出“腰剖线段”，并写出此时______． （2）如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． （3）设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二） 八年级数学 本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上、在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项．符合题意的选项只有一个． 1. 5的算术平方根等于（ ） A. B. C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，熟悉算术平方根定义是解决问题的关键． 根据算术平方根定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：5的算术平方根等于， 故选：B． 2. 若分式的值为0，则的取值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是关键． 根据分式的值为零，分式的分子为0，分母不为0解答． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 此时，， 故选：D． 3. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B. 班级里有同年同月同日出生的同学 C. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D. 长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可． 本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 【详解】解：A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； B．班级里有同年同月同日出生的同学，是随机事件，不符合题意； C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，不符合题意；        D．∵， ∴三条线段可以组成一个直角三角形，是必然事件，符合题意． 故选D． 5. 同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，设第三根小木条的长度为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到x的取值范围，根据选项中所给长度选求解即可． 【详解】解：设第三根小木条的长度为， 根据题意，得，则， 根据选项中数据，选项A中的符合题意， 故选：A． 6. 如图，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键，根据三角形高的定义判断，即可得到答案． 【详解】解：∵中边上的高，是过点并垂直的线段， ∴为边上的高， 故选：C． 7. 如图，点在的内部，点分别在上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定定理，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：，， A．若添加，则满足，所以和全等，故该选项不符合题意； B．若添加平分，即，则满足，所以和全等，故该选项不符合题意； C．若添加，满足，不能证明和全等，故该选项符合题意； D．若添加，满足直角三角形全等的，能证明和全等，故该选项不符合题意， 故选：C． 8. 如图，中，于点，于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，根据题意，利用三角形等面积法判断①；根据三角形外角的定义判断②；根据全等三角形的判定和性质判断是哪；根据三角形外角的定义判断④，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：①∵于点，于点． ∴，即，故①正确； ②∵于点，于点． ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③，，只有两个条件，无法证明，故③错误； ④∵于点，于点． ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得：， ∴，故④正确， 综上可得：①②④正确， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 10. 计算：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算．先计算分式的乘方运算，然后计算乘法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，先把原式变形为，再根据分式的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力I项目中，必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选中篮球的可能性大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率公式：随机事件A的概率=事件A可能出现的结果除以所有可能出现的结果数，掌握随机事件的概率公式是解题的关键．直接利用概率的公式求解即可． 【详解】解：足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球五项中，小文选择篮球的可能性为， 故答案为：． 13. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；分两种情况考虑：腰长为的等腰三角形；腰长为的等腰三角形，结合构成三角形的条件即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为， 故周长为； 当等腰三角形腰长为时，则另一腰长为，底边为，但， 此时三线段不构成三角形； 综上，三角形的周长为， 故答案为：17． 14. 如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据网格特点得，利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ∵， ∴， 故答案为：45． 15. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于点E，由勾股定理得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， 即点D到的距离为3， 故答案为：3． 16. 如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则______°；当的周长最小时，______°． 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】本题考查了用轴对称的性质解决最短路线问题，解决本题的关键是作点关于的对称点，点关于的对称点，找到符合条件的动点E和F． 根据三角形内角和定理即可确定，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，根据轴对称图形的性质得出当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，，结合图形得出，，即可求解． 【详解】解：∵三个内角，，的度数之比为， ∴， 故答案为：40； 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、， 、关于对称，、关于对称， ，， 当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小， 的周长最小， 中，，，的度数之比为， ， 、关于对称，、关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（共68分，第17题9分；第18-21，23题每题5分；第22，24题每题4分；第25，26，27题每题6分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和实数的混合运算、零指数幂、立方根，熟练掌握法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、立方根以及二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先给原方程去分母转化为整式方程，然后解分式方程即可，注意计算结果要检验． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得， 经检验，是原分式方程的解． 19. 如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质定理．熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键．首先由得到，然后即可证明． 【详解】证明：∵ ∴， 又∵， ∴． 20. 如图1是教材90页的“综合与实践”，小涵在解决该问题时想到这样的测量方法：在陆地上取一点，使得从点能够直接走到点和点，延长到，使，再延长到，使．量出的长．那么的长便是鱼塘的宽的长．请根据小涵的方法，在图2中画出图形，并说明理由（证明）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据小涵的方法画出图形，再利用两边及其夹角对应相等的两三角形全等求解即可． 【详解】解：如图： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 即的长便是鱼塘的宽的长． 21. 2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施： 如图1，在小区内道路旁设立“公共晾晒点”，安装“共享晾衣架”，使得道路附近的两栋住宅楼，到“公共晾晒点”的距离相等． （1）在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置； （2）确定点位置的依据为______． 【答案】（1）见解析 （2）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：点的位置如图所示： 【小问2详解】 确定点位置的依据为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 22. 下面是小玉同学设计的“作等腰三角形底边上的高”的尺规作图过程． 已知：中．． 求作：边上的高． 作法：如图． ①以点为圆心，适当长为半径作弦，与，分别交于点，； ②分别以，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于内一点； ③作射线，与交于点． 所以线段就是所求作的线段． 根据小玉设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面证明： 证明：连接，． 与中． ∴． ∴． 又∵， ∴是的高（______）（填推理依据） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查角平分线的作法、等腰三角形的性质，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意，作图即可； （2）根据给出的证明过程，利用等腰三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，作图如下： 【小问2详解】 证明：连接，． 在与中． ∴． ∴． 又∵， ∴是的高（三线合一）． 23. 初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 （1）求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． （2）同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 【答案】（1）见解析 （2）需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式计算某同学转一次转盘获得积分的可能性大小即可； （2）需要将x个无积分的扇形区域写上5分，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：奖励10分的概率是； 奖励5分的概率是； 奖励2分的概率是； 【小问2详解】 解：需要将x个无积分的扇形区域写上5分， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 24. 如图，与是等边三角形． （1）求证：； （2）延长交于点，判断的大小并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明出全等是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明全等； （2）由全等的性质得到，进而得到，即可求出的大小． 【小问1详解】 证明：与是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∵，， ， ． 25. 研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量克． 26. 如图，在中，，，点是上一点（不与点，重合）．作射线，过点作于点，点关于直线的对称点为点，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】题目主要考查等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意得出，再由对顶角相等及等角的余角相等即可证明； （3）延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，确定，结合题意确定，结合图形进行等量代换即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 延长至H，使得，连接，如图所示： 由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． （1）如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． （2）如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． （3）设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 【答案】（1）图见解析，50 （2） （3）或或或或． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，分类讨论是解答的关键是解答的关键． （1）根据题意，当点为线段中点时，为的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）根据题意可得，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∴， 则和是等腰三角形，且点D为线段的中点， 如图，为的“腰剖线段”， 此时，， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：如图， ∵，存在的“腰剖线段”，点在线段上， ∴，， 在中，由得， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：根据题意，分以下情况： ①当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴，则， ∴； ②当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ③当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ④当，时，为的“腰剖线段”， 此时，，， ∵， ∴， ∴； ⑤∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”； ⑥当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∵， ∴， ∴， ⑦∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”， 综上，满足条件的度数为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $