精品解析：辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度上学期期末考试高一试题 数学 命题人：鞍山市第三中学 白岳龙 审题人：盘锦市高级中学 黄简 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 因此，. 故选：C. 2. 当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的图象与性质可得原命题等价于，再由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】若当时，函数的值恒小于1，则即， 所以当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是. 故选：A 3. 某地有9个快递收件点，在某天接收的快递个数分别为，则这组数据的第72百分位数为（ ） A. 289 B. 299 C. 305 D. 361 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的估计方法计算即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列得189，247，265，285，289，293，305，361，403， 因为，所以这组数据的第72百分位数为第7个数305. 故选：C. 4. 太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立， 若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为. 故选：D. 5. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得不等式等价于，根据单调性即可解出. 【详解】因为为偶函数，且， 所以不等式等价于， 又在上单调递增， ，即或 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 6. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. a B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、幂函数与对数函数的单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，则， 因为指数函数在上为减函数，则， 因对数函数在上为减函数，则， 因此，. 故选：D. 7. 如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 8. 已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，构建，分析可知函数有2个零点，结合函数的图像，讨论零点分布即可得解. 【详解】作出函数的图像，如图所示： 令，构建， 若方程有6个不同实数解， 则函数有2个零点，不妨设， 结合函数的图像，有如下几种情况： 若，则，解得； 若，则，解得， 此时的零点为2，不合题意； 若，则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 和不能构成一组基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相等向量的定义可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断C选项；推导出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示： 由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 10. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法正确的是( ) A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 D. 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，讲座前中位数为，所以正确； 对于B，讲座后问卷答题的正确率，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以B正确； 对于C，讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以C错误； 对于D，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，， 又因为在直线 上，所以，即，故A正确；    对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，因为，所以， 由A可知，所以， 两边同时减，得， 又因为，所以， 由题可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，幂函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质分析求解. 【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则， 当，的定义域为，不合题意； 当，在区间上单调递减，不合题意； 当，在区间上单调递减，不合题意； 当，在区间上单调递增，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 13. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则m的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，从而将问题转化为，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则的定义域为， 且， 所以为奇函数， 又，，均在上单调递减，所以在上单调递减， 则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减， 又， 所以不等式，即， 即，即， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集是实数集，集合且 （1）当时，求和； （2）若（，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的交集和并集运算得解； （2）由题意，，分和讨论求解. 【小问1详解】 由解得，即， 由解得，解得，即， 故. 小问2详解】 由或， 因为，所以 ①若，因，当时，，则解为，所以； ②若，则， 由，所以，即， 又，所以， 因此，即， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不小于，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为、. （1）若，，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率； （2）若，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，将获“优秀小组”的事件分拆成三个互斥事件的和，分别求出各个事件的概率即可计算作答； （2）将获得“优秀小组”的概率表示为的函数，令，利用二次函数的基本性质可求出函数最大值、最小值. 【小问1详解】 记事件“在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组””， 事件“甲答对两题，乙答对一题”，事件“甲答对一题，乙答对两题”， 事件“甲、乙都答对两题”， 因为事件、、彼此互斥， 又，，， 因为， 所以在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率为. 【小问2详解】 由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为， 则 ， 因为，所以，又，，则即， 而， 令，则， 因为函数在上为减函数， 当时，取最大值为，此时，，或，； 当时，取最小值，此时，. 所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为，最小值为. 17. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法一：由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果； 解法二：将表示为的表达式，将表示为的表达式，代入可得结果； （2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值； （3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【小问1详解】 解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. 【小问2详解】 由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 18. 已知函数 （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若，都有成立，求实数m的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上单调递增；证明见解析 （2） （3）存在，且. 【解析】 【分析】(1)直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可； (2)将原问题转换不等式，对恒成立，通过换元法以及对勾函数性质即可得解； (3)由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【小问1详解】 在上单调递增； 证明：的定义域为.任取，不妨设， 则 因为，所以，即，， 所以，即， 故在上单调递增 【小问2详解】 由题意，即 则 ，易知在上单调递增， 所以， 所以即在上恒成立. 令，故 令，则单调递增，当时， 故即 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增， 所以 所以，为关于的方程的两个不等实数根， 令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，， 所以，解得且 所以存在正实数满足题意，t的取值范围且. 19. 对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的、，有恒成立，则称在上是“接近”的，否则就称在上是“不接近”的.现有函数 （1）当时，判断函数在上是否“接近”的，说明理由； （2）是否存在实数，使函数在区间上是“不接近”的，若存在，求实数的取值范围；不存在说明理由. 【答案】（1）是“接近”的，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出函数在区间上的最大值和最小值，结合题中的定义验证即可； （2）假设函数在区间上是“不接近”的，分析可知，当时，，分析函数在区间上的单调性，由结合参变量分离法可得出，再结合恒成立，可求出的取值范围，即可得出结论. 【小问1详解】 当时，在是“接近”的，理由如下： 当时，， 因为在上单调递减，为增函数， 故在上单调递减. 则，， 所以， 即、，有， 所以当时，在上是“接近”的. 【小问2详解】 因为， 当时，因为内层函数在上为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 假设函数在区间上是“不接近”的， 则、，使成立. 即恒成立，即， 又因为，， 所以，， 即. 又，可得恒成立， 即， 由，令，则， 则， 令，，令，， 任取、，不妨设， 则 ， 因为，则，，所以即， 所以函数在单调递增， 所以，，， 则，即， 当时，即当时，取最大值，此时取最大值， 当时，即当时，取最小值，此时取最小值，故. 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以， 所以，且，这样的实数的不存在， 故不存在实数，使函数在区间上是“不接近”的. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期末考试高一试题 数学 命题人：鞍山市第三中学 白岳龙 审题人：盘锦市高级中学 黄简 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 某地有9个快递收件点，在某天接收的快递个数分别为，则这组数据的第72百分位数为（ ） A. 289 B. 299 C. 305 D. 361 4. 太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（ ） A B. C. D. 5. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. a B. C. D. 7. 如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 和不能构成一组基底 10. 某社区通过公益讲座以普及社区居民普法知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法正确的是( ) A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 D. 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差 11. 已知直线分别与函数和图象交于，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，幂函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则__________. 13. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 14. 已知函数，若，则m的取值范围__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集是实数集，集合且 （1）当时，求和； （2）若（，求实数的取值范围. 16. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不小于，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为、. （1）若，，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”概率； （2）若，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值. 17. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 18. 已知函数 （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若，都有成立，求实数m取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的、，有恒成立，则称在上是“接近”的，否则就称在上是“不接近”的.现有函数 （1）当时，判断函数在上是否“接近”的，说明理由； （2）是否存在实数，使函数在区间上是“不接近”的，若存在，求实数的取值范围；不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $