精品解析：天津市南开中学2024-2025学年高一上学期阶段性质量监测（二）数学试卷

南开中学2024-2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高一数学试卷 考试时间：100分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！ Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 的值为( ) A. B. C. D. 6. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函数的图象，可以将函数的图象( ) A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 8. 已知，则( ) A. B. C. D. 9. 已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知，，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. Ⅱ卷（60分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 计算_________. 12. 已知、为锐角，，，则_________. 13. 方程组解集为_________. 14. 下面有四个命题： ①函数的最小正周期是； ②终边在y轴上的角的集合是； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数是最小正周期为的奇函数； 其中真命题的序号是_________.（写出所有真命题的序号） 15. 在锐角三角形，，则的取值范围是_________. 16. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共4小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）. 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 19. 已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 20. 已知函数，其中t为常数. （1）当，时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2024-2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高一数学试卷 考试时间：100分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！ Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，，所以. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出二次不等式的解，利用充分条件、必要条件的定义求解即可 【详解】由 若成立，则不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B, 3. 函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， 可得，解得，. 故选：A． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较指数幂及对数式的大小. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 5. 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】 . 故选：D. 6. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知在上是增函数，根据函数奇偶性以及单调性解对数不等式计算可得结果. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增， 可知在内单调递增，所以在上是增函数， 又因为， 可得，即， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 7. 要得到函数的图象，可以将函数的图象( ) A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简并变形得，然后根据图象的平移变换判断即可. 【详解】，， 所以的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 8. 已知，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可. 【详解】，， ，，， . 故选：D. 9. 已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及求出，由求出的取值，再根据周期确定的值，即可得到函数解析式，即可判断①，根据图象变换结合奇偶性判断②；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③④. 【详解】因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故①正确； 所以， 对于②：为奇函数，故②正确； 对于③：因为，则， 由题意可得：，解得，故③正确； 对于④：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故④错误； 所以正确的个数为3. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 10. 已知，，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【详解】由，得， 则， 则， 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立，从而，又， 所以当取得最大值时，取得最小值，且最小值为. 故选：B. Ⅱ卷（60分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 计算_________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数运算法则计算. 【详解】， 故答案为：. 12. 已知、为锐角，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 13. 方程组解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求解分式不等式与绝对值不等式，再取交集可得. 【详解】由 由得或，解得①； 又或，解得，或②. 由①②解得. 则不等式的解集为. 故答案为：. 14. 下面有四个命题： ①函数的最小正周期是； ②终边在y轴上的角的集合是； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数是最小正周期为的奇函数； 其中真命题的序号是_________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①：整理可得，即可最小正周期；对于②：根据终边相同的角分析判断；对于③：检验可知，即可判断；对于④：根据正切型函数的性质分析判断. 【详解】对于①：因为， 所以函数的最小正周期是，故①正确； 对于②：终边在y轴上的角的集合是，故②错误； 对于③：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故③正确； 对于④：函数是最小正周期为的奇函数，故④错误； 故选：①③. 15. 在锐角三角形，，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】确定出的范围，用表示出代入中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角得正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围． 【详解】因为是锐角三角形，， 则，，可得， 则， 因为，则， 可得，即， 所以的范围为,． 故答案为：． 16. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、解答题（本大题共4小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用余弦差角公式求出答案； (2)根据同角三角函数关系得到余弦和正切，化简得到，代入求值. 【小问1详解】 因为，，所以，， ； 【小问2详解】 由(1)可知， 故. 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，从而得解； （2）利用换元法，将不等式转化为关于的二次不等式，解后再利用对数函数的单调性即可得解； （3）利用换元法与参数分离法得到的恒成立问题，再利用函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 令，由，可知， 函数转化为． 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，为． 由，可知当时，取到最大值， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 19. 已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 【答案】（1），单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式以及单调区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程结合正弦函数图象得到方程根的个数，结合三角函数图象的对称性分组求和. 【小问1详解】 由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. 令，解得， 所以单调递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 【小问3详解】 由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即，， 解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于结合图像以及对称性可得，进而分析求解. 20. 已知函数，其中t为常数. （1）当，时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解； （2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证. 【小问1详解】 由，则， 当时，，而， 故或（舍），故， 【小问2详解】 ①令，因为，所以，则， 则， 由在上单调递增， 故关于的方程在上有两个不相等实数根， 即有， 解得，即的取值范围为； ②令，， 则，为关于的方程的两根， 则有，， 所以，， 所以， 即， 即有，由①知， 故，又，故， 由于，则，故， 又在上单调递增，故， 即. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助韦达定理得到，，从而可得，再结合三角函数在上的单调性与①中所得计算即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $