精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，正确选项的字母代号填涂在答题纸相应的位置上） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 3. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 20° 6. 如图，在中，直径与弦相交于点M，F为中点．若，，则的半径长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 7. 《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以的一边为直径的半圆与其他两边，分别交于点D，E，且为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题纸相应的位置上） 9. 方程的解是______． 10. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 11. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 12. 一组数据2，3，x，4的众数与中位数相等，则这组数据的方差是_________ 13. 已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则其母线长为______． 14. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 15. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为______． 17. 等腰的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是___________． 18. 如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10大题，共96分．请在答题纸指定的区域答题，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 解方程； （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程， （1）求证：无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为2，求的值． 21. 如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点． 求证：． 22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h； （2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 23. 如图，已知中，． （1）作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； （2）若，求（1）中所作的的半径． 24. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动． （1）问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在这样的时刻，使=8cm2，试说明理由． 25. 如图，是的直径，C为上一点，过点B作经过点C的直线的垂线，垂足为E（即），交于点F，且平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 26. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 27. （1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 28. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标______． （2）若关于的一元二次方程为． ①求该方程的衍生点的坐标． ②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值． （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，正确选项的字母代号填涂在答题纸相应的位置上） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、只有当时，才是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在外， 故选：A ． 3. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，她的最后得分为分， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键． 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数． 【详解】解：∵AE是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∵∠B=∠AOC=40°， ∴∠ADB=90°-∠B=50°． 故选：B． 6. 如图，在中，直径与弦相交于点M，F为中点．若，，则的半径长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设的半径长为，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， F为中点，为直径， ，， 设的半径长为，则， 在中， 则， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的对称性、垂径定理、勾股定理等知，根据勾股定理列方程是解题关键． 7. 《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 8. 如图，以的一边为直径的半圆与其他两边，分别交于点D，E，且为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握圆周角的性质及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，则有，设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴，即， ∵E为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：，即 解得：，即， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题纸相应的位置上） 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用直接开平方法得或，即可求解 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， 故答案为： 10. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：在圆内接四边形中，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 11. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 12. 一组数据2，3，x，4的众数与中位数相等，则这组数据的方差是_________ 【答案】 【解析】 【分析】分别假设众数为2，3，4，验证是否众数等于中位数，得到符合题意的x的值，求出这组数据的平均数，再根据方差计算公式求得这组数据的方差． 【详解】若众数为2，则数据为2，3，2，4，中位数为，众数与中位数不等，不符合题意 若众数为3，则数据为2，3，3，4，中位数为3，众数与中位数相等，符合题意 则平均数为 ∴方差为 若众数为4，则数据为2，3，4，4，中位数为，众数与中位数不相等，不符合题意 综上所述，x为3时，这组数据的众数与中位数相等，方差是 故答案为： 【点睛】本题考查了众数和中位数的定义，在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，本题还考查了方差的计算． 13. 已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则其母线长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥侧面积的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为，则 ， 解得， 故答案为：6 14. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接、． ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 15. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，旋转的性质，求扇形面积等知识点，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据进行求解即可． 【详解】解：∵半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17. 等腰的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是___________． 【答案】25 【解析】 【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论． 【详解】解：设关于的方程的两个实数根分别为、． 方程有两个实数根，则△，得． ①当底边长为3时，另两边相等时，， 另两边的长都是为5，则； ②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程的根， 另一根为：7． ，不能构成三角形． 的值为25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 18. 如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，A，D，M三点共线时，最小，求出此时的长即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 点在以为弦，的圆弧上运动， 如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， A，D，M三点共线时，最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，点圆最值问题，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10大题，共96分．请在答题纸指定的区域答题，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 解方程； （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 解得： 【小问2详解】 解：， ， ， 解得： 20. 已知关于的一元二次方程， （1）求证：无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：， 无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程（）的根的判别：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，即可得到结论； （2）把代入方程，得出关于m的方程，解之可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得， 解得 21. 如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点． 求证：． 【答案】 证明：如图，连接，，，，， ∵，E是弧的中点． ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系的应用，本题连接，，，，，再证明，，可得，从而可得答案． 【详解】证明：略． 22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h； （2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 【答案】（1），3，3； （2）1400人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用1减去各自的占比即可，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）用2000乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为， 故中位数为， 由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多， 故众数为， 故答案为：25，3，3； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人． 23. 如图，已知中，． （1）作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； （2）若，求（1）中所作的的半径． 【答案】（1） 如图，圆O即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和切线的判定，作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）设与的切点为，连接，根据切线长定理和切线性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与的切点为，连接，则， 为的切线， ， ， ， ， 设，则， 在Rt中， 解得， ∴所作的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，切线长定理是解决本题的关键． 24. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动． （1）问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在这样的时刻，使=8cm2，试说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒；（2）不存在． 【解析】 【详解】试题分析：（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可； （2）设出发秒x时△DPQ的面积等于8平方厘米，由三角形的面积公式列出方程，再由根的判别式判断方程是否有解即可． 试题解析：解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2． 则AP=x，QB=2x，∴PB=6﹣x，∴×（6﹣x）2x=8，解得，． 答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=S△DPQ，∴12×6﹣×12x﹣×2x（6﹣x）﹣×6×（12﹣2x）=8，化简整理得：，∵△=36﹣4×28=﹣76＜0，∴原方程无解，∴不存在这样的时刻，使S△PDQ=8cm2． 考点：1．矩形的性质；2．勾股定理；3．动点型． 25. 如图，是的直径，C为上一点，过点B作经过点C的直线的垂线，垂足为E（即），交于点F，且平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证即可，因为，则只要证即可，而根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得，即可得出； （2）连接，交于点G，通过证明四边形是矩形，得出，，则，根据勾股定理求出，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点G， ∵为直径， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题主要考查了了切线的判定；勾股定理；矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 26. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 【答案】（1）25% （2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元 【解析】 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据题目已知条件列出方程即可求解； （2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据题目已知条件得出，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%； 【小问2详解】 解：设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键． 27. （1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，且， ∴， 同理， ∴； （2），； （3）最小值 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）连接，首先根据圆周角定理可得，进而可得，同理，即可证明结论； （2）假设点落在外，交于点，连接，结合“圆内接四边形的对角互补”可知，进而可得，与得出矛盾，同理点也不会落在内，即可证明结论； （3）连接并延长，首先证明四点共圆，结合为等腰直角三角形，可推导，即点的轨迹在的平分线上，当时，取最小值，即可获得答案． 【详解】（1） 略 （2）若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴由（1）可得， ∵， ∴，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． 故答案为：，； （3）连接并延长，如图， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为． 28. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标______． （2）若关于的一元二次方程为． ①求该方程的衍生点的坐标． ②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值． （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；② （3）有， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②由条件得出圆心到坐标轴的距离相等，建立等式即可求解； （3）求出直线的恒过定点，将其视为衍生点，再利用根数系数的关系建立等式求解即可． 【小问1详解】 解： ， 解得：， 点为该一元二次方程的衍生点， 故答案为：． 【小问2详解】 ①， ， 解得：， 该方程的衍生点的坐标为：； ②当以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， 该直线过定点：， 根据定义，满足， 当为，会使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上， 由得； ， ． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $