精品解析：福建省南平市光泽县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年（上）期中质量检测九年级数学 （考试时间：120分钟　满分：150分） 温馨提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题日要求） 1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，被列入第一批国家非物质文化遗产名录．以下几幅剪纸作品中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 足球在草地上滚动 B. 火箭升空的运动 C. 汽车在急刹车时向前滑行 D. 钟表的钟摆动的过程 3. 如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（ ） A. 110° B. 135° C. 55° D. 125° 4. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（ ） A. 5 B. 4 C. 8 D. 6 7. 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C. D. 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. C. 2022 D. 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 11. 已知点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为______． 12. 已知关于的方程的一个根为2，则的值为________． 13. 若将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的一般式是_____． 14. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 15. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________________． 16. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是______． 三、解答题（本题共9小题，共计86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 19. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 20. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 21. 如图，是O的直径，四边形内接于O，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 24. （1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．判断三点的位置关系，并说明理由； 25. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点A，点P是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接．是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（上）期中质量检测九年级数学 （考试时间：120分钟　满分：150分） 温馨提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题日要求） 1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，被列入第一批国家非物质文化遗产名录．以下几幅剪纸作品中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故C不符合题意； D、不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 足球在草地上滚动 B. 火箭升空的运动 C. 汽车在急刹车时向前滑行 D. 钟表的钟摆动的过程 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的定义逐项分析即可. 【详解】A.足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转； B. 火箭升空的运动是平移，不属于旋转； C. 汽车在急刹车时向前滑行是平移，不属于旋转； D. 钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；  故选D. 【点睛】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 3. 如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（ ） A. 110° B. 135° C. 55° D. 125° 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可知，，根据圆内接四边形的对角互补可知，由此即可解答． 【详解】解：． ∵四边形内接于⊙O ． ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆心角、圆周角、弦的关系以及圆的内接四边形的性质，掌握相关知识点，得到、是关键． 4. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转可得，再根据计算即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； 故选D． 6. 如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（ ） A. 5 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接，设的半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， 则的半径为5， 故选A． 7. 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是． 故选：C． 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的根的定义可得：，在代入计算即可求解． 【详解】解：根据方程的根的定义可得：， 即有：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，得出，是解答本题的关键． 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 10. 已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的增减性的灵活运用．抛物线开口向上，对称轴为，当时，，，则点A、B均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点A、B在对称轴异侧或右侧，即可判定D．灵活运用二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由（a为常数，）知，其开口向上，对称轴为， 当时，，且，，则， 选项A．当时，，，则点A、B均为对称轴的右侧，故， 故选项A错误，不符合题意； 选项B．若，则点A、B在对称轴异侧或左侧， 当A、B在对称轴异侧时，在处取得最小值，在处取得最大值，则，解得， 当A、B在对称轴左侧时，则，解得， 综上，，故选项B正确，符合题意； 选项C．当时，则，，此时， ， 故选项C错误，不符合题意； 选项D．当时，则点A、B在对称轴异侧或右侧， 当A、B在对称轴异侧时，在处取得最大值，在处取得最小值，则，解得， 当A、B在对称轴右侧时，则， 综上，，故选项D错误，不符合题意． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 11. 已知点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标的横纵坐标均为相反数求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的定义可知，点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为， 故答案为：． 12. 已知关于的方程的一个根为2，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程中，求出的值即可． 【详解】将代入方程中，得 ， ， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 13. 若将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的一般式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，确定出平移后二次函数解析式即可． 【详解】解：平移后二次函数解析式为：． 故答案为：． 14. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 15. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________________． 【答案】 【解析】 【详解】A（4，y₁），B（，y₂），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵＜4， ∴y₂＜y₁， ∴点A离直线x＝2近，点C离直线x＝2最远， 而抛物线开口向上， 则y₃＞y₁， 故y₃＞y₁＞y₂， 故答案是：y₃＞y₁＞y₂． 16. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数系数的几何意义，二次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，是解题的关键．利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义对①进行判断；利用时，可对②进行判断；利用时，可对③进行判断；利用函数图象，可知：当时，一次函数图象在二次函数图象上方，可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有公共点， ∴， 即，故①错误； ∵当时，， ∴， ∴ ∴错误，故②错误； ∵当时，， 即， ∴，故③正确； ∵当时， ∴，故④正确． 综上：正确的有③④ 故答案为：③④ 三、解答题（本题共9小题，共计86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）先提取公因式，再利用因式分解法解方程即可； （2）直接把方程左边因式分解，再解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，， ∴． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键. （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 如图，即为所求． 19. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和二次函数图象的平移即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， 一元二次方程没有实数解， 即：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； 【小问2详解】 解：将二次函数化成顶点式，得： ， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到二次函数的图象，它的顶点坐标是， 二次函数的图象的顶点在轴上， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上， 答：把该函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上． 【点睛】本题主要考查了二次函数和轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握根的判别式及二次函数图象的平移是解题的关键． 20. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得： ， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 略 21. 如图，是O的直径，四边形内接于O，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）由可得，根据垂径定理的推论可得，，由三角形中位线定理即可判定； （2）由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，最后根据中位线定理可得的长． 【小问1详解】 证明：， ， 又OD是半径， ，， 又， 是的中位线， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ，， 又在中，， ， 解得， 由（1）知， ． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等，求解方法不唯一，解题的关键是综合运用上述知识点，利用勾股定理解． 22. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】（1）方程是“邻近根方程”； （2）48 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等： （1）利用公式法求出，则，据此可得答案； （2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， 解得， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； 【小问2详解】 解：设关于x的方程的两个实数根为， 则由根与系数的关系可得， ∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值48，即有最大值48． 24. （1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．判断三点的位置关系，并说明理由； 【答案】（1）；（2）点，点，点三点共线，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定理由和性质． （1）由可证，可得； （2）连接交于O，过点F作直线于，可证得，得出，，推出，即点C，点D，点F三点共线． 【详解】解：（1）四边形是菱形，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）点，点，点三点共线，理由如下： 如图，连接交于，过点作于， 四边形是正方形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点，点，点三点共线． 25. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点A，点P是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接．是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点P坐标为或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式 （2）过P作x轴的垂线，交线段AB于点D，求得直线的解析式为，求得，可得到，然后根据二次函数的性质即可求得点P的坐标 （3）要使得为等腰直角三角形，只需要，然后分两种情况分别求得点P的坐标即可 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 过P作x轴的垂线，交线段AB于点D， 设直线的解析式为， 由（1）知， ∴，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ， ∴当时，的面积最大， ∴ 【小问3详解】 存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： ∵轴， ∴， 要使得为等腰直角三角形， 只需要： 由（2）可知：，，， ∴设， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴ 当点P位于对称轴右侧时，即， ∴ ∵， ∴， 解得：（舍）或， ∴， 当点P在对称轴左侧时，即， ∴ ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍）或， ∴， ∴为等腰直角三角形时，点P坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $