预习专题04 一元一次不等式组（3知识点+7考点+1易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题04 一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.学生能够准确理解一元一次不等式组的概念，能识别不等式组中的各个不等式都是一元一次不等式，并且它们都含有同一个未知数。 2. 学生能熟练地求出一元一次不等式组的解集。对于简单的同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到无解）类型的不等式组能够快速准确地求解。 3.能够通过数轴来直观地表示一元一次不等式组的解集，理解数轴上表示不等式解集的方法，包括空心圆圈（不包含端点值）和实心圆圈（包含端点值）的正确使用。 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫作一元一次不等式组． 如 等都是一元一次不等式组，而 不是一元一次不等式组． 下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 总结： （1）一元一次不等式组是由一元一次不等式组成的，组成不等式组的一元一次不等式必须都是关于同一个未知数的不等式； （2）不等式组中不等式的个数至少是 2 个，也可以更多． 不等式组的解集和解不等式 1.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 【重要提醒】公共部分是指同时满足不等式组中任何一个不等式的解集的部分. 2.求不等式组的解集的过程叫作解不等式组 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 第1步：画数轴 第2步：在同一数轴上,分别表示几个一元一次不等式的解集 第3步：确定公共部分,若有公共部分,则公共部分就是此不等式组的解集;若没有公共部分,则此不等式组无解 4.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情况 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 【特别提醒】 数轴是确定一元一次不等式组的解集的有效工具.利用数轴表示不等式时，要注意两点: (1)定边界点:一般在数轴上只标出原点和边界点即可.当不等式组中含有“>”或“<”时,边界点处用空心圆圈.当不等式组中含有“≥”或“≤”时,边界点处用实心圆点. (2)定方向:原则是“小于向左，大于向右”. 不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   总结 利用数轴能直观地得到不等式组中几个不等式解集的公共部分，体现了数形结合思想，应予以高度重视,表示解集时，要特别考虑实心圆点和空心圆圈的区别. 不等式组的解法 解一元一次不等式组的一般步骤: ①求出不等式组中各个不等式的解集,并分别在数轴上表示； ②确定各个不等式解集的公共部分,得到不等式组的解集. 【重要提醒】 不等式组的解集必须是不等式组里每个不等式解集的公共部分,因此,利用同-数轴表示各个不等式的解集,然后正确找到公共部分是解题的关键 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 【解题模板】 分别解不等式→数轴表示→公共部分即不等式组的解集 一元一次不等式组的定义 例1 下列各式不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 求不等式组的解集 例2 不等式组的解集为 ． 审题关键:准确求出不等式组中每个不等式的解集是解答本题的关键. 破题思路:先求出各个不等式的解集,再确定公共部分,最后写出不等式组的解集. 【变式2-1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】解不等式组：并把解集表示在数轴上． . 【变式2-3】解不等式组，并在数轴上表示其解集：． 【变式2-4】对于三个数a，b，c，我们规定用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如： ，，如果，那么 ． 方法技巧 确定不等式组的解集的常用方法 (1)数轴法.方法技巧求不等式组的特殊解的方法求不等式组的特殊解时，先求不等式组中各不等式的解集,再求出不等式组的解集,然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如正整数解、最小整数解等).为了直观明了,可以借助数轴来找特殊解.就是将不等式组中各不等式的解集在同一条数轴上表示出来，然后找各不等式的解集的公共部分，从而确定不等式组的解集 (2)口诀法,求不等式组的解集时,先求出不等式组中各不等式的解集，再按照以下规律确定不等式组的解集:同大取大,同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找 解特殊不等式组 例3 解不等式． 【变式3-1】计算下列不等式： (1) ． (2) 【变式3-2】阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【变式3-3】设，是正整数，且满足，，则 ． 求一元一次不等式组的整数解 例4 不等式组的整数解有 个． 审题关键:先逐一解两个不等式,再求出不等式组的解集，从而找出它的整数解和个数. 【变式4-1】解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【变式4-2】解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【变式4-3】不等式组的所有整数解的和为 ． 【变式4-4】定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ． 【变式4-5】解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出其非负整数解． 【变式4-6】求不等式组的最大整数解． 方法技巧 求不等式组的特殊解的方法 求不等式组的特殊解时，先求不等式组中各不等式的解集,再求出不等式组的解集,然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如正整数解、最小整数解等).为了直观明了,可以借助数轴来找特殊解. 由一元一次不等式组的解集求参数 例5 若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【变式5-1】如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【变式5-2】已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【变式5-3】不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． B． 规律总结 根据不等式组的解集推测字母参数的取值范围时，先确定不等式组的解集用字母参数表示的情况，结合不等式组的解集构造关于字母参数的不等式，从而求出字母的取值范围. 由不等式组解集的情况求参数 例6 若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是 【变式6-1】关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【变式6-3】已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【变式6-5】若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 不等式组和方程组结合的问题 例7 已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 审题关键:首先了解方程组的解与已知不等式的关系然后解方程组，用字母参数表示出方程组的解，最后代入各不等式求解. 破题思路:先解方程组,用含m的代数式分别表示x，y的值，再将x，y的值代入两个不等式中，得到关于m 的不等式组,解此不等式组即可. 【变式7-1】已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【变式7-4】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 方法技巧 求字母参数取值范围的“三步曲” 第1步:解方程组,用含字母参数的代数式表示方程组的解. 第2步:把方程组的解代入已知条件，建立关于字母参数的不等式组. 第3步:解含有字母参数的不等式组得出字母参数的取值范围. 若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【防错警示】 写出字母m 的取值范围时，易因忽略检验解的端点整数及外围相邻整数是否能满足条件而出错. 解答此类问题时，一定要检验端点整数及外围相邻整数是否满足条件.． 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 3．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 4．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 5．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 7． 解不等式组： 8．解不等式组，并求出它的整数解． 9．阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.学生能够准确理解一元一次不等式组的概念，能识别不等式组中的各个不等式都是一元一次不等式，并且它们都含有同一个未知数。 2. 学生能熟练地求出一元一次不等式组的解集。对于简单的同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到无解）类型的不等式组能够快速准确地求解。 3.能够通过数轴来直观地表示一元一次不等式组的解集，理解数轴上表示不等式解集的方法，包括空心圆圈（不包含端点值）和实心圆圈（包含端点值）的正确使用。 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫作一元一次不等式组． 如 等都是一元一次不等式组，而 不是一元一次不等式组． 下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 总结： （1）一元一次不等式组是由一元一次不等式组成的，组成不等式组的一元一次不等式必须都是关于同一个未知数的不等式； （2）不等式组中不等式的个数至少是 2 个，也可以更多． 不等式组的解集和解不等式 1.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 【重要提醒】公共部分是指同时满足不等式组中任何一个不等式的解集的部分. 2.求不等式组的解集的过程叫作解不等式组 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 第1步：画数轴 第2步：在同一数轴上,分别表示几个一元一次不等式的解集 第3步：确定公共部分,若有公共部分,则公共部分就是此不等式组的解集;若没有公共部分,则此不等式组无解 4.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情况 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 【特别提醒】 数轴是确定一元一次不等式组的解集的有效工具.利用数轴表示不等式时，要注意两点: (1)定边界点:一般在数轴上只标出原点和边界点即可.当不等式组中含有“>”或“<”时,边界点处用空心圆圈.当不等式组中含有“≥”或“≤”时,边界点处用实心圆点. (2)定方向:原则是“小于向左，大于向右”. 不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，， 故此不等式组的解集为． 在数轴上表示为：    故选：B． 【点睛】本题考查的是解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 总结 利用数轴能直观地得到不等式组中几个不等式解集的公共部分，体现了数形结合思想，应予以高度重视,表示解集时，要特别考虑实心圆点和空心圆圈的区别. 不等式组的解法 解一元一次不等式组的一般步骤: ①求出不等式组中各个不等式的解集,并分别在数轴上表示； ②确定各个不等式解集的公共部分,得到不等式组的解集. 【重要提醒】 不等式组的解集必须是不等式组里每个不等式解集的公共部分,因此,利用同-数轴表示各个不等式的解集,然后正确找到公共部分是解题的关键 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： 【解题模板】 分别解不等式→数轴表示→公共部分即不等式组的解集 一元一次不等式组的定义 例1 下列各式不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可得到结果； 【详解】符合一元一次不等式组的定义，故A是； 因为有a、b两个未知数，故B不是； 符合一元一次不等式组的定义，故C是； 符合一元一次不等式组的定义，故D是； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，准确判断是解题的关键． 【变式1-1】下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是1，对各选项判断再计算个数即可 【详解】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，所含未知数相同，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组．③含有一个未知数，但是未知数的最高次数是2；⑤含有两个未知数，所以③⑤不是一元一次不等式组 故选B 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的定义 【变式1-2】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 求不等式组的解集 例2 不等式组的解集为 ． 审题关键:准确求出不等式组中每个不等式的解集是解答本题的关键. 破题思路:先求出各个不等式的解集,再确定公共部分,最后写出不等式组的解集. 【答案】/ 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 【变式2-1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：C． 【变式2-2】解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 把解集表示在数轴上如图所示． . 【变式2-3】解不等式组，并在数轴上表示其解集：． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将其在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 【变式2-4】对于三个数a，b，c，我们规定用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如： ，，如果，那么 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解定义新运算的规程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．根据新定义，先算出，再根据表示这三个数中最小的数分类讨论，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 当，即时， ， 解得：； 当，即时， ， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时， ， 解得：； 终上所述，或1． 故答案为：或1 方法技巧 确定不等式组的解集的常用方法 (1)数轴法.方法技巧求不等式组的特殊解的方法求不等式组的特殊解时，先求不等式组中各不等式的解集,再求出不等式组的解集,然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如正整数解、最小整数解等).为了直观明了,可以借助数轴来找特殊解.就是将不等式组中各不等式的解集在同一条数轴上表示出来，然后找各不等式的解集的公共部分，从而确定不等式组的解集 (2)口诀法,求不等式组的解集时,先求出不等式组中各不等式的解集，再按照以下规律确定不等式组的解集:同大取大,同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找 解特殊不等式组 例3 解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 【变式3-1】计算下列不等式： (1) ． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】（1）去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式3-2】阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可； （2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可． 【详解】（1）当时，， 可以写成, 解得：； 当时，， 可以写成, 解得：， 综上：不等式解集：或； （2）当时，， 可以写成， 解得； 当时，， 可以写成， 解得：无解， 综上：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 【变式3-3】设，是正整数，且满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题可先根据两个不等式解出，的取值范围，根据，是正整数得出，的可能取值，然后将，的值代入中计算即可． 【详解】解：∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ，， ∴， ∵，是正整数， ∴或， ①当时，由，得：，这样的正整数不存在， ②当时，由，得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，根据，的取值范围，得出，的整数解，然后代入计算．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 求一元一次不等式组的整数解 例4 不等式组的整数解有 个． 审题关键:先逐一解两个不等式,再求出不等式组的解集，从而找出它的整数解和个数. 【答案】4 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 【详解】解：， 由解得：， 由解得：， 不等式组的解集为：， 它的整数解有：，，，，共个， 故答案为：． 【变式4-1】解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【答案】，0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式组的解集，非负整数的定义．根据题意先解出一元一次不等式组，再找出其中的非负整数即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 的非负整数解是：0，1． 【变式4-2】解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非正整数，即可得到答案． 【详解】解： 解①得， 解②得， 原不等式组的解为： 非正整数解为、、、0 所有非正整数解的和为． 【变式4-3】不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 【变式4-4】定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，结合题意得出，求出的值即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为：、、、， ∴该不等式组的整数解之和为， 故答案为：． 【变式4-5】解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出其非负整数解． 【答案】，数轴表示见解析，不等式组的非负整数解为，， 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键，分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的非负整数即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 数轴表示如下； 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的非负整数解为，，． 【变式4-6】求不等式组的最大整数解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴， ∴不等式组的最大整数解为． 方法技巧 求不等式组的特殊解的方法 求不等式组的特殊解时，先求不等式组中各不等式的解集,再求出不等式组的解集,然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如正整数解、最小整数解等).为了直观明了,可以借助数轴来找特殊解. 由一元一次不等式组的解集求参数 例5 若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 【变式5-1】如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 【变式5-2】已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ， 故答案为： 【变式5-3】不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 规律总结 根据不等式组的解集推测字母参数的取值范围时，先确定不等式组的解集用字母参数表示的情况，结合不等式组的解集构造关于字母参数的不等式，从而求出字母的取值范围. 由不等式组解集的情况求参数 例6 若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取不等式公共解集的方法．先解出各个不等式，再根据原不等式组无实数解列出关于a的不等式，即可解得答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式6-1】关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 【变式6-2】若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴， ∴， ∴ 对于方程，解得：，则， ∴， ∴， ∵的解为正整数， ∴符合题意的有， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：3． 【变式6-3】已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 不等式组的整数解共有3个， ，整数解为，0，1， 则的取值范围是． 故选：A． 【变式6-4】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，解不等式组得，结合原不等式组的所有整数解的和是，即可得出a的取值范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴． 因为当时，能取到的负整数为，且不等组所有整数解的和是， 所以不等式组的整数解为或和0， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式6-5】若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，即可求解． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 将不等式两边分别乘以再加4变形得到， ∴不等式的解必有一个整数解2， 整数的个数不可能是0， 故选：A． 不等式组和方程组结合的问题 例7 已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 审题关键:首先了解方程组的解与已知不等式的关系然后解方程组，用字母参数表示出方程组的解，最后代入各不等式求解. 破题思路:先解方程组,用含m的代数式分别表示x，y的值，再将x，y的值代入两个不等式中，得到关于m 的不等式组,解此不等式组即可. 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 【变式7-1】已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 【详解】解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 【变式7-2】若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】提示：①+②，得，所以．因为，所以， 解得． 【变式7-3】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式7-4】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 方法技巧 求字母参数取值范围的“三步曲” 第1步:解方程组,用含字母参数的代数式表示方程组的解. 第2步:把方程组的解代入已知条件，建立关于字母参数的不等式组. 第3步:解含有字母参数的不等式组得出字母参数的取值范围. 若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：不等式组恰有两个整数解， 不等式的整数解为0、， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【防错警示】 写出字母m 的取值范围时，易因忽略检验解的端点整数及外围相邻整数是否能满足条件而出错. 解答此类问题时，一定要检验端点整数及外围相邻整数是否满足条件.． 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 2．若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 3．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程，熟练掌握不等式组和方程的解法是解题关键．先求出不等式组的解集，从而可得的取值范围，再解一元一次方程可得方程的解，根据方程的解是非负整数可得出满足条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ， ， ， ∵这个方程的解是非负整数， ∴满足条件的所有整数的值为3和5， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：A． 4．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 5．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组解集的定义进行解答即可． 本题考查不等式的解集，理解不等式组解集的定义是正确解答的关键． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴． 故选：A． 6．已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别用x、y表示a得到，，则根得，，于是解两个不等式组可对①②进行判断；先计算出，则，所以，然后解关于的不等式组可对③进行判断；当，则，解得，则a的范围为，然后解不等组可对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，故①正确； ∵， ∴， ∴， 解得：，故②错误； ， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，解得：， ∴， 即， 解得：，故④正确； 综上所述正确的为①④； 故选：C． 7．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．解不等式组，并求出它的整数解． 【答案】； 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后求出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为． 9．阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$