专题 与幂有关的运算解答题（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 专题 与幂有关的运算解答题 题型一 直接运算幂的运算性质计算 1．（2023春•宿州期中）计算：x3•x2﹣（﹣2x4）2+x10÷x2． 2．（2024秋•蔡甸区校级期中）计算：a4•a5﹣a10÷a+（﹣2a3）3． 3．（2024秋•松江区期末）计算：x•x2•x3﹣（﹣x）6+（x3）2． 4．（2024秋•西宁期末）计算：a3•a4•2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2． 5．（2024春•牡丹区月考）计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 6．计算： （1）a2•（﹣a）2﹣a3•a； （2）a3•（﹣a）2+a•（﹣a）4． 7．（2024秋•五常市期中）计算： （1）x2•x4+（x3）2﹣5x6； （2）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3． 8．计算： （1）x2•x+x•x2； （2）a3•an﹣1+a•an+1； （3）a2•a3﹣（﹣a3）•a4+a6•（﹣a）； （4）（x﹣y）5•（y﹣x）4•（x﹣y）2． 9．（2024春•崂山区校级月考）计算： （1）x2•x2•x+x4•x； （2）a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2． 10．（2024春•江都区校级月考）计算： （1）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2； （2）（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3． 题型二 由幂的运算性质求字母或式子的值 1．（2024春•滨湖区期中）已知10m＝20，10n＝4，求： （1）102m﹣n的值； （2）34m÷9n的值． 2．（2024春•丹阳市月考）（1）若2x+5y﹣3＝0，求4x⋅32y的值． （2）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 3．（2024秋•思明区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×4x×8x＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 4．（2024秋•晋安区校级期中）若2x＝2，2y＝3， （1）求代数式2x+y的值； （2）求8x•4y的值． 5．（2024春•阳谷县期中）（1）已知ax＝3，ax+y＝12，求ax+ay的值； （2）已知8α＝5，8β＝6，求82α+2β的值． 6．（2024春•苍梧县期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y． 利用上面的结论解答下列问题： （1）若4x＝26，求x的值； （2）若5x+2﹣5x+1＝100，求x的值． 7．（2024秋•商水县月考）若am＝an（m，n是正整数，a＞0且a≠1），则m＝n． 利用上面的结论，解答下面的问题． （1）若2×8x×16x＝222，求x的值． （2）若（27x）2＝312，求x的值． （3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535． 题型三 运用幂的运算性质进行简便计算 1．（2024秋•潢川县校级月考）用简便方法计算： （1）0.12517×（﹣8）17； （2）0.12517×（217）3． 2．（2024春•宿迁月考）用简便方法计算： （1）； （2）． 3．（2024春•莱西市校级月考）用简便方法计算： （1）． （2）． 4．计算： （1）48×0.258； （2）（）2024×（1）2024． 5．用简便方法计算． （1）； （2）． 7．计算： （1）（﹣0.125）12×（﹣1）7×（﹣8）13×（）9； （2）0.252023×42024﹣8100×0.5300． 8．（2024秋•海门区校级月考）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：45×（﹣0.25）5． 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1． （1）计算： ①82022×（﹣0.125）2022； ②； （2）若3×9n×81n＝325，请求出n的值． 9．（2023秋•宛城区校级月考）【问题发现】我们知道：（2×3）2＝36，22×32＝4×9＝36，于是（2×3）2＝22×32；（﹣1×4）3＝﹣64，（﹣1）3×43＝﹣1×64＝﹣64，于是（﹣1×4）3＝（﹣1）3×43； 填空：　 　，　 　； 【结论概括】当n为正整数时，（ab）n＝　 　； 【知识迁移】： （1）计算：﹣82023×（﹣0.125）2023＝　1　； （2）计算：． 题型四 运用幂的运算性质化简求值 1．（2023春•江阴市月考）已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值． 2．（2024春•北湖区校级月考）若a+b+c＝3，求22a﹣1•23b+2•2a+3c的值． 3．（2024秋•东莞市校级期中）先化简，再求值：（2x2）3﹣2x•3x+（﹣3x）2﹣2x•（4x5），其中x＝2． 4．（2024秋•平原县期中）先化简再求值2m2n•（﹣2mn2）3+（2mn）3•（﹣mn2）2其中m＝4，． 5．（2024春•沭阳县校级月考）先化简，再求值：a3•（﹣b3）2+（ab2）3，其中a，b＝2． 6．（2024秋•明水县校级期中）先化简，再求值：（x﹣y）6÷[（y﹣x）2]2÷（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1． 7．（2024春•八步区校级月考）化简求值：（a2b6）3+5（﹣a3b9）2﹣3[（﹣ab3）2]3，其中，a＝1，b＝﹣1． 8．（2024春•靖江市校级月考）先化简，再求值：，其中． 题型五 与幂的运算有关的新定义问题 1．（2024秋•滕州市校级月考）【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　 　； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 2．（2023秋•永定区期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3． （1）填空：f（2，4）＝　 　，f（4，64）＝　 　； （2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）； （3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值． 3．（2024春•阜宁县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系； （3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值． 4．（2024春•姜堰区校级月考）阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n＝am•an；②an＝m，知道a和n可以求m，我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：因为62＝36，所以[6，36]＝2． （1）[2，4]＝　 ，　 　； （2）分别计算[2，16]、[2，64]的值，试猜想[2，4]、[2，16]、[2，64]之间的等量关系式； （3）若记[3，x]＝5m，[3，y+1]＝5m+1，请用含x的代数式表示y． 5．（2024春•临川区校级月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2． （1）（﹣2，16]＝　 　；若（3，y]＝27，则y＝　 ； （2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值； 6．（2024秋•泗阳县月考）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ 　 　，（﹣3，9）＝ 　 　； （2）若（x，64）＝2，则x＝ 　 　； （3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值． 7．（2024春•兴隆县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　 ． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 8．（2024秋•泉州期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233． （1）熟悉下列表示法，并填空： ∵21＝2， ∴log22＝1， ∵22＝4， ∴log24＝2， ∵23＝8， ∴log28＝3， ∵24＝16， ∴log216＝　 　，计算：log232＝　 　； （2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28＝　　 ；（用对数表示结果） （3）于是我们猜想：logaM+logaN＝　 　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； （4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝　 ． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 专题 与幂有关的运算解答题 题型一 直接运算幂的运算性质计算 1．（2023春•宿州期中）计算：x3•x2﹣（﹣2x4）2+x10÷x2． 【分析】根据同底数幂的乘法运算再合并同类项即可． 【解答】解：x3•x2﹣（﹣2x4）2+x10÷x2． ＝x5﹣4x8+x8 ＝x5﹣3x8． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是关键． 2．（2024秋•蔡甸区校级期中）计算：a4•a5﹣a10÷a+（﹣2a3）3． 【分析】先计算同底数幂乘法、同底数幂的除法、积的乘方，再合并同类项即可． 【解答】解：a4⋅a5﹣a10÷a+（﹣2a3）3 ＝a9﹣a9﹣8a9 ＝﹣8a9． 【点评】此题考查了同底数幂乘法、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•松江区期末）计算：x•x2•x3﹣（﹣x）6+（x3）2． 【分析】先根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【解答】解：x•x2•x3﹣（﹣x）6+（x3）2 ＝x6﹣x6+x6 ＝x6． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•西宁期末）计算：a3•a4•2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2． 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【解答】解：a3•a4•2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2 ＝2a8﹣a8+9a8 ＝10a8． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，合并同类项是解题的关键． 5．（2024春•牡丹区月考）计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解． 【解答】解：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3 ＝（﹣m）1+2+3 ＝（﹣m）6 ＝m6； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4 ＝（m﹣n）•[﹣（m﹣n）3]•（m﹣n）4 ＝﹣（m﹣n）8． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．计算： （1）a2•（﹣a）2﹣a3•a； （2）a3•（﹣a）2+a•（﹣a）4． 【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后合并同类项即可； （2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后合并同类项即可． 【解答】解：（1）a2•（﹣a）2﹣a3•a ＝a2•a2﹣a4 ＝a4﹣a4 ＝0； （2）a3•（﹣a）2+a•（﹣a）4 ＝a3•a2+a•a4 ＝a5+a5 ＝2a5． 【点评】本题考查了合并同类项法则和同底数幂的乘法，注意：①把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变；②am•an＝am+n． 7．（2024秋•五常市期中）计算： （1）x2•x4+（x3）2﹣5x6； （2）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3． 【分析】（1）先算乘方再算乘法，最后合并同类项； （2）先计算积的乘方，再合并同类项． 【解答】（1）原式＝x6+x6﹣5x6 ＝﹣3x6； （2）原式＝64a6﹣9a6+（﹣4a2）3 ＝64a6﹣9a6﹣64a6 ＝﹣9a6． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则及合并同类项法则是解决本题的关键． 8．计算： （1）x2•x+x•x2； （2）a3•an﹣1+a•an+1； （3）a2•a3﹣（﹣a3）•a4+a6•（﹣a）； （4）（x﹣y）5•（y﹣x）4•（x﹣y）2． 【分析】（1）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法． （2）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法． （3）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加减． （4）先变形，再根据同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）解决此题． 【解答】解：（1）x2•x+x•x2 ＝x3+x3 ＝2x3． （2）a3•an﹣1+a•an+1 ＝an+2+an+2 ＝2an+2． （3）a2•a3﹣（﹣a3）•a4+a6•（﹣a） ＝a5+a7﹣a7 ＝a5． （4）（x﹣y）5•（y﹣x）4•（x﹣y）2 ＝（x﹣y）5•（x﹣y）4•（x﹣y）2 ＝（x﹣y）11． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 9．（2024春•崂山区校级月考）计算： （1）x2•x2•x+x4•x； （2）a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2． 【分析】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可； （2）利用同底数幂乘法及除法法则，积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝x5+x5 ＝2x5； （2）原式＝a8﹣9a8+a8 ＝﹣7a8． 【点评】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（2024春•江都区校级月考）计算： （1）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2； （2）（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3． 【分析】（1）将原式变形为（m﹣1）3•（m﹣1）4﹣（m﹣1）5•（m﹣1）2，再利用同底数幂的乘法运算法则计算； （2）先计算幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并同类项即可． 【解答】【分（1）解：（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2 ＝（m﹣1）3•（m﹣1）4﹣（m﹣1）5•（m﹣1）2 ＝（m﹣1）3+4﹣（m﹣1）5+2 ＝（m﹣1）7﹣（m﹣1）7 ＝0； （2）解：（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3 ＝a4•a5+a10﹣1+8a9 ＝a9+a9+8a9 ＝10a9． 【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型二 由幂的运算性质求字母或式子的值 1．（2024春•滨湖区期中）已知10m＝20，10n＝4，求： （1）102m﹣n的值； （2）34m÷9n的值． 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则的逆运算写出102m÷10n，再根据幂的乘方的逆运算求出结果； （2）先把34m÷9n化为34m÷32n，然后根据同底数幂的除法法则计算． 【解答】解：（1）∵10m＝20，10n＝4， ∴102m﹣n ＝102m÷10n ＝400÷4 ＝100； （2）∵10m＝20，10n＝4， ∴102m＝400， ∴102m﹣n＝100， ∴2m﹣n＝2， ∴34m÷9n ＝92m÷9n ＝92m﹣n ＝92 ＝81． 【点评】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方，掌握运算法则是解题关键． 2．（2024春•丹阳市月考）（1）若2x+5y﹣3＝0，求4x⋅32y的值． （2）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 【分析】（1）先根据同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，再把2x+5y＝3代入行计算即可； （2）先根据幂的乘方的运算法则变形，再把x2n＝4代入计算即可． 【解答】解：（1）4x⋅32y＝22x⋅25y＝22x+5y， ∵2x+5y﹣3＝0， ∴2x+5y＝3， ∴原式＝23＝8． （2）∵x2n＝4， ∴（3x3n）2﹣4（x2）2n ＝9x6n﹣4x4n ＝9（x2n）3﹣4（x2n）2 ＝9×43﹣4×42 ＝512． 【点评】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键． 3．（2024秋•思明区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×4x×8x＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 【分析】（1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于x的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，2×22x×23x＝221， ∴21+2x+3x＝221， 即1+2x+3x＝21， 解得：x＝4； （2）∵3a+2•6a+2＝182a﹣4 ∴（3×6）a+2＝182a﹣4， ∴18a+2＝182a﹣4， ∴a+2＝2a﹣4， ∴a＝6． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的相关运算法则是关键． 4．（2024秋•晋安区校级期中）若2x＝2，2y＝3， （1）求代数式2x+y的值； （2）求8x•4y的值． 【分析】（1）根据已知条件，利用同底数幂相乘法则，把幂写成两个底数是2的幂相乘，再进行计算即可； （2）根据已知条件，逆用幂的乘方法则，把所求的幂写成底数是2的幂，然后进行计算即可． 【解答】解：（1）∵2x＝2，2y＝3， ∴2x+y ＝2x•2y ＝2×3 ＝6； （2）∵2x＝2，2y＝3， ∴8x•4y ＝（23）x•（22）y ＝（2x）3•（2y）2 ＝23×32 ＝8×9 ＝72． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． 5．（2024春•阳谷县期中）（1）已知ax＝3，ax+y＝12，求ax+ay的值； （2）已知8α＝5，8β＝6，求82α+2β的值． 【分析】（1）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则，求出ay的值，再把ax＝3和ay的值代入计算即可； （2）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，把所求算式写成含有8a，8b的形式，代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵ax＝3，ax+y＝12， ∴ax+y＝ax•ay＝12， ∴ay＝4， ∴ax+ay ＝3+4 ＝7； （2）∵8α＝5，8β＝6， ∴82α+2β ＝82α•82β ＝（8α）2•（8β）2 ＝52×62 ＝25×36 ＝900． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． 6．（2024春•苍梧县期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y． 利用上面的结论解答下列问题： （1）若4x＝26，求x的值； （2）若5x+2﹣5x+1＝100，求x的值． 【分析】（1）利用幂的乘方的法则变形，得到2x＝6，再进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法法则变形，得到x+1＝2，再进行运算即可． 【解答】解：（1）∵4x＝26， ∴22x＝26， ∴2x＝6， 解得x＝3； （2）∵5x+2﹣5x+1＝100， ∴5x+1×5﹣5x+1＝100． 4×5x+1＝4×52， ∴x+1＝2， 解得x＝1． 【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是掌握运算法则． 7．（2024秋•商水县月考）若am＝an（m，n是正整数，a＞0且a≠1），则m＝n． 利用上面的结论，解答下面的问题． （1）若2×8x×16x＝222，求x的值． （2）若（27x）2＝312，求x的值． （3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535． 【分析】（1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝222，结合题意得出1+3x+4x＝22，计算即可得解； （2）利用幂的乘方法则变形为（27x）2＝36x＝312，结合题意得出6x＝12，计算即可得解； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有57和75的式子，即可得解． 【解答】解：（1）∵2×8x×16x＝2×（23）x×（24）x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝222， ∴1+3x+4x＝22， ∴x＝3； （2）∵（27x）2＝[（33）x]2＝（33x）2＝36x＝312， ∴6x＝12， ∴x＝2； （3）∵p＝57，q＝75， ∴3535＝（357）5＝[（5×7）7]5＝（57）5×（77）5＝（57）5×（75）7＝p5q7． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是解此题的关键． 题型三 运用幂的运算性质进行简便计算 1．（2024秋•潢川县校级月考）用简便方法计算： （1）0.12517×（﹣8）17； （2）0.12517×（217）3． 【分析】（1）根据积的乘方的逆应用简化运算即可； （2）根据积的乘方的逆应用和幂的乘方简化运算即可． 【解答】解：（1）0.12517×（﹣8）17 ＝[0.125×（﹣8）]17 ＝（﹣1）17 ＝﹣1； （2）0.12517×（217）3 ＝0.12517×（23）17 ＝（0.125×8）17 ＝117 ＝1． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．（2024春•宿迁月考）用简便方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据积的乘方把﹣1.25与0.8相乘，即可计算出结果； （2）根据积的乘方先把和相乘，再与﹣9相乘，即可计算出结果． 【解答】解：（1） ＝0.82019×（﹣1.25）2019×（﹣1.25） ＝（﹣1.25×0.8）2019×（﹣1.25） ＝﹣1×（﹣1.25） ＝1.25； （2） ＝（﹣9）3×（）3 ＝[（﹣9）×（）]3 ＝23 ＝8． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘法，解题的关键是掌握积的乘方的计算法则． 3．（2024春•莱西市校级月考）用简便方法计算： （1）． （2）． 【分析】（1）逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝1n ＝1． 【点评】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算． 4．计算： （1）48×0.258； （2）（）2024×（1）2024． 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方法则计算； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则计算． 【解答】解：（1）48×0.258 ＝48×4﹣8 ＝40 ＝1； （2）（）2024×（1）2024 ＝（）2024×（）﹣2024 ＝（）0 ＝1． 【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方运算法则． 5．用简便方法计算． （1）； （2）． 【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行简便计算； （2）根据积的乘方运算法则进行简便计算． 【解答】解：（1）原式＝[（﹣9）×（）]3 ＝23 ＝8； （2）原式＝（）×（）2018×（）2018 ＝（）×[（）]2018 ＝（）×（﹣1）2018 ＝（）×1 ． 【点评】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键． 7．计算： （1）（﹣0.125）12×（﹣1）7×（﹣8）13×（）9； （2）0.252023×42024﹣8100×0.5300． 【分析】（1）利用幂的乘方和积的乘方计算； （2）利用幂的乘方和积的乘方计算． 【解答】解：（1）（﹣0.125）12×（﹣1）7×（﹣8）13×（）9 ＝（）12×（）7×（﹣8）13×（）9 ＝（﹣8）﹣12×（﹣8）13×（）﹣7×（）9 ＝（﹣8）×（）2 ＝﹣8 ； （2）0.252023×42024﹣8100×0.5300． ＝4﹣2023×42024﹣2300×2﹣300 ＝4﹣20 ＝4﹣1 ＝3． 【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方运算法则． 8．（2024秋•海门区校级月考）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：45×（﹣0.25）5． 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1． （1）计算： ①82022×（﹣0.125）2022； ②； （2）若3×9n×81n＝325，请求出n的值． 【分析】（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果； ②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【解答】解：（1）①82022×（﹣0.125）2022＝[8×（﹣0.125）]2022＝（﹣1）2022＝1； ②原式 ； （2）∵3×9n×81n＝325 ∴3×（32）n×（34）n＝325， ∴36n+1＝325， ∴6n+1＝25， 解得：n＝4． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． 9．（2023秋•宛城区校级月考）【问题发现】我们知道：（2×3）2＝36，22×32＝4×9＝36，于是（2×3）2＝22×32；（﹣1×4）3＝﹣64，（﹣1）3×43＝﹣1×64＝﹣64，于是（﹣1×4）3＝（﹣1）3×43； 填空：　 　，　 　； 【结论概括】当n为正整数时，（ab）n＝　 　； 【知识迁移】： （1）计算：﹣82023×（﹣0.125）2023＝　1　； （2）计算：． 【分析】结论概括：根据有理数的运算即可求解； 结论概括：由问题发现即可得到结论； 知识迁移： （1）根据找到的结论直接运算即可求解； （2）根据有理数的运算法则、运算律及找到的结论展开运算即可得到结果； 【解答】解：问题发现： ，， 故答案为：，； 结论概括： 由问题发现可得，（ab）n＝anbn， 故答案为：anbn； 知识迁移： （1）﹣82023×（﹣0.125）2023＝﹣[8×（﹣0.125）]2023＝﹣（﹣1）2023＝1， 故答案为：1； （2）原式， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了有理数的运算，掌握并灵活运用（ab）n＝anbn的运算是解题的关键． 题型四 运用幂的运算性质化简求值 1．（2023春•江阴市月考）已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值． 【分析】先根据幂的乘方和积的乘方得出5m+1＝21，求出m的值，再算乘方，算除法，最后代入求出即可． 【解答】解：∵4×16m×64m＝421， ∴41+2m+3m＝421， ∴5m+1＝21， ∴m＝4， ∴（﹣m2）3÷（m3•m2） ＝﹣m6÷m5 ＝﹣m ＝﹣4． 【点评】本题考查了幂的有关性质，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 2．（2024春•北湖区校级月考）若a+b+c＝3，求22a﹣1•23b+2•2a+3c的值． 【分析】首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将a+b+c＝3代入进行计算即可． 【解答】解：22a﹣1⋅23b+2⋅2a+3c＝22a﹣1+3b+2+a+3c＝23（a+b+c）+1， ∵a+b+c＝3， ∴原式＝23×3+1＝210＝1024． 【点评】本题主要考查的是同底数的乘法，将a+b+c＝3整体代入是解题的关键． 3．（2024秋•东莞市校级期中）先化简，再求值：（2x2）3﹣2x•3x+（﹣3x）2﹣2x•（4x5），其中x＝2． 【分析】先算乘方，再算乘法，合并同类项，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（2x2）3﹣2x•3x+（﹣3x）2﹣2x•（4x5） ＝8x6﹣6x2+9x2﹣8x6 ＝3x2， 当x＝2时，原式＝3×22＝3×4＝12． 【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 4．（2024秋•平原县期中）先化简再求值2m2n•（﹣2mn2）3+（2mn）3•（﹣mn2）2其中m＝4，． 【分析】运用幂的公式进行运算，合并同类项，代值计算，即可求解． 【解答】解：原式＝2m2n⋅（﹣8m3n6）+8m3n3⋅m2n4 ＝﹣16m5n7+8m5n7 ＝﹣8m5n7， 当m＝4，时， 原式 ． 【点评】本题考查了整式化简求值，掌握幂的运算公式：am⋅an＝am+n，（am）n＝amn及其逆用是解题的关键． 5．（2024春•沭阳县校级月考）先化简，再求值：a3•（﹣b3）2+（ab2）3，其中a，b＝2． 【分析】先算乘方，再算乘法，后算加减，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：a3•（﹣b3）2+（ab2）3 ＝a3•b6+（a3b6） ＝a3b6a3b6 a3b6， 当a，b＝2时，原式（）3×2664． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2024秋•明水县校级期中）先化简，再求值： （x﹣y）6÷[（y﹣x）2]2÷（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1． 【分析】先进行乘方运算，再进行同底数幂的除法法则，再代入求值即可． 【解答】解：原式＝（x﹣y）6÷（x﹣y）4÷（x﹣y）＝x﹣y； 当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2﹣（﹣1）＝3． 【点评】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 7．（2024春•八步区校级月考）化简求值：（a2b6）3+5（﹣a3b9）2﹣3[（﹣ab3）2]3，其中，a＝1，b＝﹣1． 【分析】先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解：（a2b6）3+5（﹣a3b9）2﹣3[（﹣ab3）2]3 ＝a6b18+5a6b18﹣3（a2b6）3 ＝a6b18+5a6b18﹣3a6b18 ＝3a6b18， 当a＝1，b＝﹣1时，原式＝3×16×（﹣1）18＝3． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握代入法是关键． 8．（2024春•靖江市校级月考）先化简，再求值：，其中． 【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则先计算乘方，然后算乘法，再算加法，结合绝对值和偶次幂的非负性确定a和b的值，从而代入求值． 【解答】解：原式＝﹣（﹣8a3）•b6+（a3b6） ＝8a3b6a3b6 a3b6， ∵，且|a|≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a0，b﹣2＝0， 解得：a，b＝2， ∴原式（）3×26 （）×64 ＝﹣37． 【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键． 题型五 与幂的运算有关的新定义问题 1．（2024秋•滕州市校级月考）【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　 　； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义得到km＝9，kn＝27，kp＝243，则可证明km•kn＝kp，再由同底数幂乘法计算法则得到km+n＝kp，即可证明m+n＝p． 【解答】解：（1）∵23＝8， ∴（2，8）＝3， 故答案为：3； （2）∵（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p， ∴km＝9，kn＝27，kp＝243， ∴km•kn＝9×27＝243， ∴km•kn＝kp，即km+n＝kp， ∴m+n＝p． 【点评】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，理解新定义是关键． 2．（2023秋•永定区期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3． （1）填空：f（2，4）＝　 　，f（4，64）＝　 　； （2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）； （3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值． 【分析】根据“若an＝b，那么f（a，b）＝n”的意义，逐项进行计算即可． 【解答】解：（1）∵22＝4， ∴f（2，4）＝2， ∵43＝4×4×4＝64， ∴f（4，64）＝3， 故答案为：2，3； （2）∵（﹣3）4＝81，53＝125， ∴f（﹣3，81）＝4，f（5，125）＝3， ∴原式＝4﹣3＝1； （3）∵（﹣2）5＝﹣32，43＝64，而f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3， ∴a＝﹣2，b＝64， 又∵（﹣2）6＝64， ∴f（a，b） ＝f（﹣2，64） ＝6． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，理解“若an＝b，那么f（a，b）＝n”的意义，掌握同底数幂乘法的计算方法是正确解答的关键． 3．（2024春•阜宁县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系； （3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值． 【分析】（1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据5×6＝30，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解． 【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）5＝﹣32， ∴（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5， 故答案为：3，5； （2）a+b＝c，理由如下： ∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c， ∴4a＝5，4b＝6，4c＝30， ∵5×6＝30， ∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c， ∴a+b＝c； （3）设（m，8）＝x，（m，3）＝y，（m，t）＝z，则mx＝8，my＝3，mz＝t， 由（m，8）+（m，3）＝（m，t）可得x+y＝z， ∴t＝mz＝mx+y＝mx×my＝8×3＝24．， 【点评】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． 4．（2024春•姜堰区校级月考）阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n＝am•an；②an＝m，知道a和n可以求m，我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：因为62＝36，所以[6，36]＝2． （1）[2，4]＝　 ，　 　； （2）分别计算[2，16]、[2，64]的值，试猜想[2，4]、[2，16]、[2，64]之间的等量关系式； （3）若记[3，x]＝5m，[3，y+1]＝5m+1，请用含x的代数式表示y． 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算[2，16]、[2，64]的值，即可求解； （3）由题意得x＝35m，y+1＝35m+1，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【解答】解：（1）[2，4]＝2， ， 故答案为：2，3． （2）依题意，[2，4]＝2，[2，16]＝4、[2，64]＝6， ∴[2，4]+[2，16]＝[2，64]； （3）根据题意得： x＝35m，y+1＝35m+1， ∴y+1＝35m+1＝35m×3＝3x， ∴y＝3x﹣1． 【点评】本题考查同底数幂的乘法、列代数式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5．（2024春•临川区校级月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2． （1）（﹣2，16]＝　 　；若（3，y]＝27，则y＝　 ； （2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值； 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：4a＝12，4b＝5，4c＝y，再结合a+b＝c，进一步可得答案． 【解答】解：（1）由题意可得：（﹣2，16]＝4， ∵（3，y]＝27， ∴y＝327； 故答案为：4，327； （2）∵如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n， ∴由（4，12]＝a，可得4a＝12， （4，5]＝b，可得4b＝5， （4，y]＝c，可得4c＝y， ∵a+b＝c， ∴4a+b＝4c， ∵4c＝y，4a•4b＝4a+b＝12×5＝60， ∴y＝60． 【点评】本题考查同底数幂的乘法逆用，幂的逆运算，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算． 6．（2024秋•泗阳县月考）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ 　 　，（﹣3，9）＝ 　 　； （2）若（x，64）＝2，则x＝ 　 　； （3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值． 【分析】（1）据题意，由23＝8，（﹣3）2＝9可求得此题结果； （2）由（±8）2＝64可得（±8，64）＝2，从而得到此题结果是±4； （3）由42＝16，23＝8可得，a＝16，b＝2，又由24＝16，可求得此题结果为4． 【解答】解：由已知：如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）∵23＝8，（﹣3）2＝9， ∴（2，8）＝3，（﹣3，9）＝2， 故答案为：3，2； （2）∵（±8）2＝64， ∴（8，64）＝2或（﹣8，64）＝2， ∴x＝±8， 故答案为：±8； （3）∵42＝16，23＝8， ∴（4，16）＝2，（2，8）＝3， ∴a＝16，b＝2， 又∵24＝16， ∴（b，a）＝（2，16）＝4． 【点评】此题考查了同底数幂的乘法，关键是能准确理解和运用新定义进行运算． 7．（2024春•兴隆县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　 ． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 【分析】（1）根据上述规定即可得到结论； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵33＝27， ∴（3，27）＝3； 故答案为：2，0，3； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y， 则5x＝2，5y＝7， ∴5x+y＝5x•5y＝14， ∴（5，14）＝x+y， ∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）， 故答案为：（5，14）； （3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n 所以2x＝3，即（2，3）＝x， 所以（2n，3n）＝（2，3）． 【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 8．（2024秋•泉州期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233． （1）熟悉下列表示法，并填空： ∵21＝2， ∴log22＝1， ∵22＝4， ∴log24＝2， ∵23＝8， ∴log28＝3， ∵24＝16， ∴log216＝　 　，计算：log232＝　 　； （2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28＝　　 ；（用对数表示结果） （3）于是我们猜想：logaM+logaN＝　 　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； （4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝　 ． 【分析】（1）根据指数和对数的定义进行解答即可； （2）由（1）中结果可得答案； （3）利用“指数”和“对数”的定义，以及同底数幂的乘法进行计算即可； （4）利用（3）中的方法以及同底数幂的除法进行计算即可． 【解答】解：（1）∵24＝16， ∴log216＝4， ∵25＝32， ∴log232＝5， 故答案为：4，5； （2）由（1）可得，log24+log28＝2+3＝5＝log232， 故答案为：log232； （3）logaM+logaN＝logaMN， 证明：设x＝logaM，y＝logaN，则ax＝M，ay＝N， ∴ax•ay＝MN， 即ax+y＝MN， ∴x+y＝logaMN， ∴logaM+logaN＝logaMN； （4）logaM﹣logaN＝loga， 证明：设x＝logaM，y＝logaN，则ax＝M，ay＝N， ∴ax÷ay， 即ax﹣y， ∴x﹣y＝loga， ∴logaM﹣logaN＝loga． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，掌握同底数幂的乘除法的计算法则以及指数与对数的定义是正确解答的前提． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$