第1章 整式的乘除（单元测试卷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

第1章：《整式的乘除》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•望城区期末）计算：（﹣2m4）3＝（　　） A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12 2．（2024秋•伊通县期末）若23×2a＝28，则a等于（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（2024秋•海口期末）某化学研究所检测一种材料分子的直径为0.000000708米．将0.000000708用科学记数法表示为a×10n的形式，则n的值是（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．8 D．7 4．（2023•宁波模拟）下列计算正确的是（　　） A．3x3•2x2y＝6x5 B．2a2•3a3＝6a5 C．（﹣2x）•（﹣5x2y）＝﹣10x3y D．（﹣2xy）•（﹣3x2y）＝6x3y 5．（2024秋•永城市期末）已知18a2bm÷6anb2＝3b2，则m，n的值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2 6．（2024秋•青秀区校级期中）已知a＝213，b＝46，c＝323，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 7．（2024春•淄川区期末）当时，代数式（28a3﹣28a2+7a）÷（7a）的值为（　　） A． B．﹣4 C． D． 8．（2023秋•岚山区期末）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 9．（2024秋•东区校级期中）若（x﹣100）2+（x﹣102）2＝6，则（x﹣101）2的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 10．（2024秋•罗湖区校级期中）观察各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据以上规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣22021+...+24﹣23+22﹣2+1的值是（　　） A． B． C．﹣22026﹣1 D．﹣22025+1 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024•衡南县模拟）如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 　 　． 12．（2024秋•和平区期末）若9m•27m﹣1÷33m＝27，则m＝　 　． 13．（2024春•南海区期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：÷（y）＝﹣6x+2y﹣1则手掌捂住的多项式 　 ． 14．（2024秋•市中区校级期中）已知多项式A除以x2+2x﹣3得商式3x，余式x+2，则多项式A为 　 　． 15．（2024秋•铁东区期末）给出下列算式： 32﹣12＝8＝8×1，52﹣32＝16＝8×2 72﹣52＝24＝8×392﹣72＝32＝8×4 … 观察上面算式，那么第n个算式可表示为 　 ． 16．（2024秋•徐汇区校级期中）若a、k为整数，且不论x取何值，关于x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等，则k的值为 　 　． 三、解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（每小题3分，共9分）计算： （1）（﹣a）3•a4•（﹣a）﹣（a2）4+（﹣2a4）2． （2）（2x﹣1）2+（﹣2x+1）（3x﹣1）． （3）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x． 18．（每小题5分，共10分）化简求值： （1）（2024秋•东城区校级期中）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x﹣3）（x﹣1）的值． （2）[2（x﹣y）]2﹣（12x3y2﹣9x2y3）÷（3xy2），其中x＝﹣2，． 19．（8分）（2023秋•乐陵市期末）小雅同学计算一道整式除法：（ax3y2+bx2y3）÷（2xy），由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为12x4y3﹣8x3y4． （1）直接写出a、b的值：a＝　 　，b＝　 ； （2）这道除法计算的正确结果是 　 ； （3）若xy＝﹣5，3x﹣2y＝7，计算（2）中代数式的值． 20．（8分）（2024秋•太原月考）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若am＝9，am+n＝54，求an的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以54＝9×an，所以an＝6． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： （1）若，则x的值为　 　． （2）若am＝4，a3m﹣n＝32，请你也利用逆向思考的方法求出an的值． （3）计算：82024×（﹣0.125）2025． 21．（9分）（2024春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求： （1）ab的值； （2）（a﹣b）2的值； （3）a4+b4的值． 22．（9分）（2023秋•南岗区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 23．（9分）2023春•惠来县期末）如图，某体育训练基地，有一块长（3a﹣5b）米，宽（a﹣b）米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽（a﹣2b）米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． 24．（10分）（2024春•港南区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如： 若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）①若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝　 ； ②若2a+b＝6，ab＝4，则（2a﹣b）2＝　 ； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章：《整式的乘除》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•望城区期末）计算：（﹣2m4）3＝（　　） A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12， 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，正确运用运算法则运算是关键． 2．（2024秋•伊通县期末）若23×2a＝28，则a等于（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【分析】根据同底数幂的乘除法法则求解即可． 【解答】解：23×2a＝24a＝28， ∴a＝28÷24＝28﹣4＝24＝16． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，掌握同底数幂的运算法则是解答本题的关键． 3．（2024秋•海口期末）某化学研究所检测一种材料分子的直径为0.000000708米．将0.000000708用科学记数法表示为a×10n的形式，则n的值是（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．8 D．7 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：∵0.000000708＝7.08×10﹣7， ∴n等于﹣7． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（2023•宁波模拟）下列计算正确的是（　　） A．3x3•2x2y＝6x5 B．2a2•3a3＝6a5 C．（﹣2x）•（﹣5x2y）＝﹣10x3y D．（﹣2xy）•（﹣3x2y）＝6x3y 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简求出即可． 【解答】解：A、3x3×2x2y＝6x5y，故此选项错误； B、2a2×3a3＝6a5，故此选项正确； C、（﹣2x）×（﹣5x2y）＝10x3y，故此选项错误； D、（﹣2xy）×（﹣3x2y）＝6x3y2，故此选错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（2024秋•永城市期末）已知18a2bm÷6anb2＝3b2，则m，n的值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2 【分析】先根据单项式与单项式的除法法则化简，再根据相同字母的指数相等列式求解即可． 【解答】解：∵18a2bm÷6anb2＝3a2﹣nbm﹣2＝3b2， ∴2﹣n＝0，m﹣2＝2， ∴m＝4，n＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了单项式与单项式的除法运算，解答本题的关键在于掌握单项式与单项式的除法运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 6．（2024秋•青秀区校级期中）已知a＝213，b＝46，c＝323，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【分析】先根据题意将a、b、c化成底数相同的指数幂，再进行比较即可． 【解答】解：∵a＝213，b＝46＝（22）6＝212，c＝323＝（25）3＝215， ∴c＞a＞b． 故选：A． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2024春•淄川区期末）当时，代数式（28a3﹣28a2+7a）÷（7a）的值为（　　） A． B．﹣4 C． D． 【分析】先按照多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算，然后把代入计算结果进行计算即可． 【解答】解：（28a3﹣28a2+7a）÷7a ＝28a3÷7a﹣28a2÷7a+7a÷7a ＝4a2﹣4a+1 ＝（2a﹣1）2， 当时， 原式 ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则． 8．（2023秋•岚山区期末）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 【分析】分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答． 【解答】解：甲图中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：（a﹣b）2， 所以a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2， 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式，分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积是解决本题的关键． 9．（2024秋•东区校级期中）若（x﹣100）2+（x﹣102）2＝6，则（x﹣101）2的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】利用完全平方公式等式变形，即可计算求值． 【解答】解：∵（x﹣100）2+（x﹣102）2＝6， ∴[（x﹣101）+1]2+[（x﹣101）﹣1]2＝6 ∴（x﹣101）2+2（x﹣101）+1+（x﹣101）2﹣2（x﹣101）+1＝6， ∴2（x﹣101）2＝4， ∴（x﹣101）2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． 10．（2024秋•罗湖区校级期中）观察各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据以上规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣22021+...+24﹣23+22﹣2+1的值是（　　） A． B． C．﹣22026﹣1 D．﹣22025+1 【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2025+（﹣2）2024+（﹣2）2023+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2026﹣1，然后再计算所给式子． 【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2025+（﹣2）2024+（﹣2）2023+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2026﹣1＝22026﹣1， ∴原式． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024•衡南县模拟）如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 　 　． 【分析】根据同类项的概念分别求出m、n，再根据单项式与单项式相乘的运算法则计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式， ∴单项式﹣22x2my3与23x4yn+1是同类项， ∴2m＝4，n+1＝3， 解得：m＝2，n＝2， 则﹣22x4y3•23x4y3＝﹣32x8y6， 故答案为：﹣32x8y6． 【点评】本题考查的是单项式乘单项式、同类项的概念，掌握单项式与单项式相乘的运算法则是解题的关键． 12．（2024秋•和平区期末）若9m•27m﹣1÷33m＝27，则m＝　 　． 【分析】先逆用幂的乘方法则把9m、27m﹣1化为底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法和除法法则计算得方程，求解即可． 【解答】解：∵9m＝32m，27m﹣1＝33m﹣3， ∴原式＝32m×33m﹣3÷33m ＝32m+3m﹣3﹣3m ＝32m﹣3， ∴32m﹣3＝27＝33， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法和除法法则、一元一次方程的解法等知识点是解决本题的关键． 13．（2024春•南海区期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：÷（y）＝﹣6x+2y﹣1则手掌捂住的多项式 　 ． 【分析】根据题意可得捂住的部分为（﹣6x+2y﹣1）•（y），利用整式的乘法的法则进行运算即可． 【解答】解：（﹣6x+2y﹣1）•（y） ＝﹣6x•（y）+2y•（y）﹣1•（y） ＝3xy﹣y2y． 故答案为：3xy﹣y2y． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 14．（2024秋•市中区校级期中）已知多项式A除以x2+2x﹣3得商式3x，余式x+2，则多项式A为 　 　． 【分析】根据题意列出式子3x（x2+2x﹣3）+x+2，然后根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：根据题意得，A＝3x（x2+2x﹣3）+x+2 ＝3x3+6x2﹣9x+x+2 ＝3x3+6x2﹣8x+2， 故答案为：3x3+6x2﹣8x+2． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（2024秋•铁东区期末）给出下列算式： 32﹣12＝8＝8×1，52﹣32＝16＝8×2 72﹣52＝24＝8×392﹣72＝32＝8×4 … 观察上面算式，那么第n个算式可表示为 　 ． 【分析】左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数， ∴用数学式子表示为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n． 故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n． 【点评】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键． 16．（2024秋•徐汇区校级期中）若a、k为整数，且不论x取何值，关于x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等，则k的值为 　 　． 【分析】根据“x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等”得等式，求出a的值．再求出x的值． 【解答】解：∵x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等， ∴（x+a）2＝x2+（k+2）x+9． ∴x2+2ax+a2＝x2+（k+2）x+9． ∴2a＝k+2，a2＝9． ∴a＝±3，k＝4或k＝﹣8． 故答案为：4或﹣8． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式及等式的性质是解决本题的关键． 三、解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（每小题3分，共9分）计算： （1）（﹣a）3•a4•（﹣a）﹣（a2）4+（﹣2a4）2． （2）（2x﹣1）2+（﹣2x+1）（3x﹣1）． （3）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x． 【分析】（1）根据幂的乘方法则和积的乘方法则以及合并同类项解答即可． （2）先根据完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可． （3）利用多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果． 【解答】解：（1）（﹣a）3•a4•（﹣a）﹣（a2）4+（﹣2a4）2． ＝a8﹣a8+4a8， ＝4a8． （2）原式＝原式＝4x2﹣4x+1﹣6x2+2x+3x﹣1 ＝﹣2x2+x． （3）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x ＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+（xy+3y2） ＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+xy+3y2 ＝x2﹣xy． 【点评】本题主要考查本题考查整式的运算，关键是根据幂的乘方法则和积的乘方法则，多项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，平方差公式和完全平方公式以及合并同类项是解答解题的关键. 18．（每小题5分，共10分）化简求值： （1）（2024秋•东城区校级期中）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x﹣3）（x﹣1）的值． （2）[2（x﹣y）]2﹣（12x3y2﹣9x2y3）÷（3xy2），其中x＝﹣2，． 【分析】（1）先利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣x﹣2＝0代入化简后的式子进行计算，即可解答． （2）先根据积的乘方和多项式除以单项式法则进行化简，然后把x和y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】（1）解：（x﹣3）（x+5）+（x﹣3）（x﹣1） ＝x2+5x﹣3x﹣15+x2﹣x﹣3x+3 ＝2x2﹣2x﹣12， ∵x2﹣x﹣2＝0 ∴x2﹣x＝2， ∴当x2﹣x＝2时， 原式＝2（x2﹣x）﹣12＝2×2﹣12＝﹣8． （2）解：原式＝4（x﹣y）2﹣（4x2﹣3xy） ＝4x2﹣8xy+4y2﹣4x2+3xy ＝4y2﹣5xy， 当时， 原式 ＝1﹣5 ＝﹣4． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和合并同类项法则． 19．（8分）（2023秋•乐陵市期末）小雅同学计算一道整式除法：（ax3y2+bx2y3）÷（2xy），由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为12x4y3﹣8x3y4． （1）直接写出a、b的值：a＝　 　，b＝　 ； （2）这道除法计算的正确结果是 　 ； （3）若xy＝﹣5，3x﹣2y＝7，计算（2）中代数式的值． 【分析】（1）根据乘法运算得2ax4y3+2bx3y4，再根据结果为12x4y3﹣8x3y4，对应系数相等，即可求出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可； （3）先提取xy得xy（3x﹣2y），再把xy＝﹣5，3x﹣2y＝7整体代入计算即可． 【解答】解：（1）∵（ax3y2+bx2y3）•（2xy）＝2ax4y3+2bx3y4＝12x4y3﹣8x3y4， ∴2a＝12，2b＝﹣8， ∴a＝6，b＝﹣4； 故答案为：6，﹣4； （2）（6x3y2﹣4x2y3）÷（2xy）＝3x2y﹣2xy2； 故答案为：3x2y﹣2xy2； （3）∵3x2y﹣2xy2＝xy（3x﹣2y），xy＝﹣5，3x﹣2y＝7， ∴原式＝﹣5×7＝﹣35． 【点评】本题考查了整式的乘法和除法以及代数式求值，熟练掌握运算法则是关键． 20．（8分）（2024秋•太原月考）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若am＝9，am+n＝54，求an的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以54＝9×an，所以an＝6． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： （1）若，则x的值为　 　． （2）若am＝4，a3m﹣n＝32，请你也利用逆向思考的方法求出an的值． （3）计算：82024×（﹣0.125）2025． 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）先根据幂的乘方计算法则求出a3m＝64，再由同底数幂除法的逆运算法则得到a3m÷an＝32，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则把原式变形为（﹣0.125×8）2024×（﹣0.125），据此求解即可． 【解答】解：（1）由已知可得：， ∴x＝±3， 故答案为：±3； （2）∵am＝4， ∴（am）3＝43，即a3m＝64， ∵am＝4，a3m﹣n＝32， ∴64÷an＝32， ∴an＝2； （3）原式＝82024×（﹣0.125）2024×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×8）2024×（﹣0.125） ＝（﹣1）2024×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125． 【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，积的乘方的逆运算，幂的乘方和求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． 21．（9分）（2024春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求： （1）ab的值； （2）（a﹣b）2的值； （3）a4+b4的值． 【分析】（1）把a+b＝2两边平方，利用完全平方公式得到a2+2ab+b2＝4，然后把a2+b2＝3代入可计算出ab的值； （2）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整体代入的方法计算； （3）利用完全平方公式得到a4+b4＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）∵a+b＝2， ∴（a+b）2＝4， 即a2+2ab+b2＝4， ∵a2+b2＝3， ∴3+2ab＝4， ∴ab； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣42； （3）a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝（a2+b2）2﹣2（ab）2 ＝32﹣2×（）2 ＝9 ． 【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式是解决问题的关键． 22．（9分）（2023秋•南岗区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 【分析】（1）根据上述规定即可得到结论； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵33＝27， ∴（3，27）＝3； 故答案为：2，0，3； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y， 则5x＝2，5y＝7， ∴5x+y＝5x•5y＝14， ∴（5，14）＝x+y， ∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）， 故答案为：（5，14）； （3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n 所以2x＝3，即（2，3）＝x， 所以（2n，3n）＝（2，3）． 【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 23．（9分）2023春•惠来县期末）如图，某体育训练基地，有一块长（3a﹣5b）米，宽（a﹣b）米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽（a﹣2b）米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． 【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可； （2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可； （3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可． 【解答】解：（1）长方形游泳池面积为： a（a﹣2b） ＝（a2﹣2ab）平方米； （2）∵长方形空地的面积为： （3a﹣5b）（a﹣b） ＝3a2﹣3ab﹣5ab+5b2 ＝（3a2﹣8ab+5b2）平方米， ∴休息区面积＝（3a2﹣8ab+5b2）﹣（a2﹣2ab） ＝3a2﹣8ab+5b2﹣a2+2ab ＝（2a2﹣6ab+5b2）平方米； （3）∵（2a2﹣6ab+5b2）﹣（a2﹣2ab）＝a2﹣4ab+5b2＝a2﹣4ab+4b2+b2＝（a﹣2b）2+b2＞0， ∴休息区的面积大于游泳池面积． 【点评】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键． 24．（10分）（2024春•港南区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如： 若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）①若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝　 ； ②若2a+b＝6，ab＝4，则（2a﹣b）2＝　 ； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积． 【分析】（1）①利用完全平方公式整体代入求解即可；②利用完全平方公式整体代入求解即可； （2）设AC＝x，BC＝y，用含有x，y的代数式分别表示S1，S2以及△AFC的面积，再利用题目条件求解即可． 【解答】解：（1）①∵x+y＝6，x2+y2＝28， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36， ∴28+2xy＝36， ∴xy＝4； 故答案为：4； ②∵2a+b＝6，ab＝4， ∴（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝36， ∴4a2+b2＝36﹣4ab＝36﹣4×4＝20， ∴（2a﹣b）2＝4a2+b2﹣4ab＝20﹣16＝4； 故答案为：4； （2）设AC＝x，BC＝y， ∵AB＝8， ∴x+y＝8，则（x+y）2＝64， ∵S1+S2＝44， ∴x2+y2＝44， ∴x2+y2+2xy＝44+2xy＝64， 解得：xy＝10， ∴． 【点评】本题主要考查完全平方公式，利用整体代入的方法求解是解决本题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$