1.3乘法公式（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.3 乘法公式 知识点一 完全平方公式 ◆1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． ◆2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ◆3、应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点二 平方差公式 ◆1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． ◆2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 题型一 平方差公式的几何意义 解题技巧提炼 平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式. 1．（2024春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•长安区校级期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 3．（2023秋•播州区期末）如图，两个顶点重合，边重合的正方形，求阴影部分的面积．下列表示错误的是（　　） A．a（a﹣b）+b2 B．a2﹣b2 C．（b+a）（a﹣b）×2 D．a（a﹣b）+b（a﹣b） 4．（2024秋•吉林期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣ab＝a（a﹣b） C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 5．（2024春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 6．（2023秋•湛江期末）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　 　图②　 　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为　12　； ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）； 【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为　 　． 题型二 直接利用平方差公式计算 解题技巧提炼 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 1．（2024秋•礼县期末）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a） C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2） 2．（2024春•沈北新区期中）若（3b+a）（　　）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a 3．（2024秋•渭源县期中）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 4．（2023秋•莒南县期末）在等式（﹣a﹣b）（　　）＝a2﹣b2中，括号里应填的多项式是（　　） A．﹣a+b B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b 5．（2024春•钢城区期末）（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）＝　 　． 6．（2024春•化州市月考）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝　 　，n＝　 　． 7．计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 题型三 完全平方公式的几何意义 解题技巧提炼 平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出完全平方公式. 1．（2024春•碑林区校级月考）如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 2．（2024春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2 3．（2024春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 4．（2023秋•呼和浩特期末）如图1是一个长为4a宽为b的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 　 　． 5．（2024秋•丰台区期末）如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：　 　． 6．（2024秋•蒸湘区校级月考）在学习完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一步探讨． （1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值． （2）阅读以下解法，并解决相应问题． “若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”． 解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b，则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ 　 ． ②若x满足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）•（2x﹣1）的值； ③如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积． 题型四 直接利用完全平方公式计算 解题技巧提炼 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中两项为两数的平方和； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 1．（2024秋•太康县期中）计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 2．（2024春•碑林区期末）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 3．（2024春•铁岭期中）若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（　　） A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy 4．（2024春•肥城市期中）下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 5．（2023秋•顺义区校级月考）已知2m2+5m﹣1＝0，求代数式（m+3）2+m（m﹣1）的值． 6．利用完全平方公式计算： （1）（﹣xy）2； （2）（a﹣3b）（3ba）； （3）99.82； （4）1012+992． 题型五 运用乘法公式进行简便计算 解题技巧提炼 1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 1．（2024春•包头期中）若a＝20180，b＝2016×2018﹣20172，，则下列a、b、c的大小关系正确的是（　　） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 2．（2024秋•德惠市期末）计算20242﹣2023×2025＝　 ． 3．（2024春•牟平区期中）用乘法公式简便计算： （1） （2）124×122﹣1232 4．利用完全平方公式计算： （1）992； （2）1032． 5．利用平方差公式计算： （1）10002﹣9992； （2）（99）2﹣（100）2． 6．（2023秋•绿园区校级月考）用简便方法计算： （1）498×502； （2）20222﹣2023×2021． 7．（2024春•垦利区期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算103×97． 解：103×97＝（100+3）（100﹣3）①＝1002﹣32②＝9991． （1）例题求解过程中，第②步变形的依据是 　 　； （2）用简便方法计算9×11×101； （3）用简便方法计算20212﹣2020×2022． 题型六 综合运用乘法公式计算 解题技巧提炼 综合运用乘法公式计算就是对完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细，另外要注意运算的顺序． 1．（2023秋•思明区校级期中）计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）． 2．（2023春•陈仓区期中）计算：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）． 3．计算： （1）（2x﹣1）2﹣（3x+1）（x﹣2）﹣1； （2）4（3x+2y）（2x+3y）﹣2（x﹣3y）（3x+4y）． 4．（2024春•玄武区校级期中）用乘法公式计算： （1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2； （2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9）； 5．（2023秋•东城区校级期中）计算： （1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2； （2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2． 6．利用乘法公式计算： （1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）； （2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）； （3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）； （4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）； （5）（m﹣n﹣3）2． 题型七 利用乘法公式进行化简求值 解题技巧提炼 利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 1．（2024秋•鲤城区校级期中）若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是 　 　． 2．（2024秋•长宁县期中）已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为　 ． 3．（2024•长沙模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（x﹣y），其中x，y＝4． 4．（2023秋•天山区校级期末）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中． 5．（2024春•盐湖区校级期末）已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值． 6．（2024秋•老河口市期末）先化简，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），其中x，y满足x+y＝3，xy＝1． 题型八 利用完全平方公式的变形求值 解题技巧提炼 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 1．（2023秋•城口县期末）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（　　） A．1 B．9 C．16 D．21 2．（2023秋•重庆期末）已知m+n＝5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为（　　） A．16 B．22 C．28 D．36 3．（2024春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（　　） A．4046 B．2023 C．4042 D．4043 4．（2023春•金寨县期末）已知a+b＝2，ab＝﹣1，求下列各式的值． （1）求a2+b2的值； （2）求（a﹣b）2 的值． 5．（2024秋•汝南县期末）已知x+y＝4，xy＝2，求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）． 6．（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2． 求： （1）ab的值； （2）（a﹣b）2的值； （3）a4+b4的值． 7．（2023春•福田区校级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10． 请你根据上述解题思路解答下面问题： （1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求a2+b2的值； （2）已知a﹣b﹣c＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值． 题型九 乘法公式的实际应用问题 解题技巧提炼 利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 1．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（　　） A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2 2．（2023景县校级模拟）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 3．（2024春•桓台县期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 4．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 5．（2023春•新都区期末）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形 象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上， 王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方 形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 6．（2024秋•马尾区校级期中）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4 又ab＝1，∴a2+2×1+b2＝4，得a2+b2＝2． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： （1）若a﹣b＝5，a2+b2＝21，则ab＝ 　 　； （2）为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，（AB＞AG）两个正方形面积和为218m2，两个正方形边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 题型十 运用乘法公式找规律 解题技巧提炼 运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．（2023春•龙岗区期末）【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1： ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】由此可得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝x n+1﹣1； 【应用】请运用上面的结论，计算：22023+22022+22011…+22+2+1＝（　　） A．22023﹣1 B．22024﹣1 C．22024 D．22025﹣1 2．（2023秋•农安县期中）你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值． ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 …… （1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝　 　． （2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1． 3．（2023秋•朝阳区校级期中）探究与应用 我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？ 完成下面的探究： （1）（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　；…… （3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　； 应用：计算2+22+23+24+……+22022． 4．（2023秋•汾阳市期末）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： 152＝1×（1+1）×100+25＝225； 252＝2×（2+1）×100+25＝625； 352＝3×（3+1）×100+25＝1225； … 我们发现如下速算规律：十位数字是a（a是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是100a（a+1）+25．我们可以用所学知识证明这个结论．这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 任务： （1）请根据上述规律计算：752＝ 　 　；952＝ 　 　． （2）请证明上述阅读材料中的结论． 5．（2024春•宁远县期中）（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝　 　． （a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　． （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　． （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　.（其中n为正整数，且n≥2） （3）利用（2）中猜想的结论计算：37+36+35+34+33+32+3+1． 6．（2024秋•鱼台县期末）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）． （2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.3 乘法公式 知识点一 完全平方公式 ◆1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． ◆2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ◆3、应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点二 平方差公式 ◆1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． ◆2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 题型一 平方差公式的几何意义 解题技巧提炼 平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式. 1．（2024春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据各选项图形所表达的整式运算进行判断、选择． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴选项A不符合题意； ∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴选项B符合题意； ∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴选项C不符合题意； ∵（a+x）（b+x）＝a2+ax+bx+x2， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题考查了整式乘法几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式并正确运算． 2．（2024春•长安区校级期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等． 【解答】解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式． 3．（2023秋•播州区期末）如图，两个顶点重合，边重合的正方形，求阴影部分的面积．下列表示错误的是（　　） A．a（a﹣b）+b2 B．a2﹣b2 C．（b+a）（a﹣b）×2 D．a（a﹣b）+b（a﹣b） 【分析】用不同的方法，用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可》 【解答】解：图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 如图1，两块阴影部分的面积和为a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 如图2，两块阴影部分的面积和为（b+a）（a﹣b）×2＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 而a（a﹣b）表示图1中阴影部分①的面积，而b2是图1正方形②的面积，因此a（a﹣b）+b2不是阴影部分的面积，因此选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征以及多项式乘多项式的几何意义是正确解答的关键． 4．（2024秋•吉林期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣ab＝a（a﹣b） C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2， 第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）． ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键． 5．（2024春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可． 【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b）， 图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：A． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键． 6．（2023秋•湛江期末）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　 　图②　 　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为　12　； ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）； 【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为　 　． 【分析】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，而图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，可表示出面积为（a+b）（a﹣b）． （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式； ①利用公式将4m2﹣n2写成（2m﹣n）（2m+n）进而求出答案， ②连续两次利用平方差公式进行计算即可， 将原式转化为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），再连续使用平方差公式，得出最后的结果． 【解答】解：【探究】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 【应用】①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12， 故答案为：12； ②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81； 【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）， ＝264﹣1． 【点评】考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 题型二 直接利用平方差公式计算 解题技巧提炼 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 1．（2024秋•礼县期末）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a） C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2） 【分析】根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：可以用平方差公式计算的只有B． 故选：B． 【点评】此题主要考查了进行平方差公式运算的性质，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数是解决问题的关键． 2．（2024春•沈北新区期中）若（3b+a）（　　）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a 【分析】根据平方差公式的特点确定此题结果． 【解答】解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a）， 故选：D． 【点评】此题考查了平方差公式的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用平方差公式的规律特点． 3．（2024秋•渭源县期中）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 【分析】根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2， 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．（2023秋•莒南县期末）在等式（﹣a﹣b）（　　）＝a2﹣b2中，括号里应填的多项式是（　　） A．﹣a+b B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b 【分析】根据平方差公式的逆运用，a的符号相同，b的符号相反，写出即可． 【解答】解：a2﹣b2＝（﹣a﹣b）（b﹣a）． 故选：A． 【点评】主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键． 5．（2024春•钢城区期末）（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）＝　 　． 【分析】应用平方差公式两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2进行计算即可得出答案． 【解答】解：原式＝（﹣2x）2﹣32＝4x2﹣9． 故答案为：4x2﹣9． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进计算是解决本题的关键． 6．（2024春•化州市月考）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝　 　，n＝　 　． 【分析】根据平方差公式，即可解答． 【解答】解：（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4） ＝（x2﹣y4）（x2+y4） ＝（x4﹣y8）， 则m＝4，n＝8， 故答案为：4，8． 【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式． 7．计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解； （3）首先利用单项式的乘法以及平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可求解； （4）首先利用平方差公式计算前两个多项式的乘法，然后利用多项式的乘法计算． 【解答】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2 ＝9x2﹣25a2b2； （2）原式＝x2﹣（y2）2 ＝x2﹣y4； （3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9） ＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9； （4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2） ＝（1﹣a2）（1+b2） ＝1+b2﹣a2﹣a2b2． 【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 题型三 完全平方公式的几何意义 解题技巧提炼 平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出完全平方公式. 1．（2024春•碑林区校级月考）如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【分析】阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去2个长为（a﹣b）宽为b的长方形面积和边长为b的正方形面积， 【解答】解：阴影部分正方形的边长为a﹣b， 阴影部分的面积为（a﹣b）2， 根据题意可得， （a﹣b）2＝a2﹣2（a﹣b）×b﹣b2＝a2﹣2ab+b2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键． 2．（2024春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2 【分析】根据面积的两种表示方法即可得出． 【解答】解：根据图2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故选：B． 【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练利用面积的两种表示方法得出完全平方公式是解题的关键． 3．（2024春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【分析】阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣四个小长方形的面积，四个小长方形的面积＝图1中的长2m、宽2n的长方形的面积，图2中的大正方形的面积＝（m+n）2，化简后求得阴影的面积． 【解答】解：方法一： 图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn， 图2的大正方形的面积＝（m+n）2， 图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和 ＝（m+n）2﹣4mn ＝m2+2mn+n2﹣4mn ＝m2﹣2mn+n2 ＝（m﹣n）2． 方法二： 图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n）， ∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2． 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，通过观察图形特点、熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．（2023秋•呼和浩特期末）如图1是一个长为4a宽为b的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 　 　． 【分析】用a和b分别表示出大正方形的边长和小正方形的边长，用两种方法分别表示出阴影部分正方形的面积，从而得到一个等式． 【解答】解：∵图2中小正方形的边长为（b﹣a）， ∴S阴影＝（b﹣a）2， ∵图2中大正方形的边长为（a+b）， ∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab， ∴（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握正方形的面积公式是本题的关键． 5．（2024秋•丰台区期末）如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：　 　． 【分析】用代数式表示图形各个部分的面积，再根据图形之间的关系即可得出答案． 【解答】解：整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成整体的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 6．（2024秋•蒸湘区校级月考）在学习完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一步探讨． （1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值． （2）阅读以下解法，并解决相应问题． “若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”． 解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b，则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ 　 ． ②若x满足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）•（2x﹣1）的值； ③如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab进行求解即可； （2）①设m＝50﹣x，n＝x﹣40，则m+n＝10，mn＝2，再根据m2+n2＝（m+n）2﹣2mn进行求解即可；②设s＝2（x+3）＝2x+6，t＝2x﹣1，则s2+t2＝169，s﹣t＝7，再根据﹣2st＝（s﹣t）2﹣（s2+t2）求出st＝60，据此可得答案；③由题意得，设10﹣x＝a，6﹣x＝b，则，根据长方形CEPF的面积为45，得到ab＝45，再根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab进行求解即可． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×30＝40； （2）①设m＝50﹣x，n＝x﹣40，则有m+n＝10，mn＝2， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×2＝96， ∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝96， 故答案为：96； ②设s＝2（x+3）＝2x+6，t＝2x﹣1， ∴s2+t2＝169，s﹣t＝7， ∴﹣2st＝（s﹣t）2﹣（s2+t2）＝72﹣169＝﹣120， ∴st＝60， ∴2（x+3）•（2x﹣1）＝60； ③由题意得， 设10﹣x＝a，6﹣x＝b，则， ∴a﹣b＝4， ∵（10﹣x）•（6﹣x）＝ab＝45， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝106， ∴． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是关键． 题型四 直接利用完全平方公式计算 解题技巧提炼 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中两项为两数的平方和； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 1．（2024秋•太康县期中）计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【解答】解：原式＝x2﹣4x+4， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 2．（2024春•碑林区期末）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【分析】根据完全平方公式可得出答案． 【解答】解：∵（x+3）2＝x2+6x+9， ∴a＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式是解题的关键． 3．（2024春•铁岭期中）若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（　　） A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy 【分析】表示出A，再利用完全平方公式展开计算即可得解． 【解答】解：∵（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A， ∴A＝（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2 ＝9x2+12xy+4y2﹣9x2+12xy﹣4y2 ＝24xy． 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 4．（2024春•肥城市期中）下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 【分析】根据完全平方公式展开判断即可． 【解答】解：（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1，选项A错误； （x）2＝x2+x，B选项正确； （3m+n）2＝9m+6mn+n2，C选项错误； （﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，选项D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式，做题关键是掌握完全平方公式的运用． 5．（2023秋•顺义区校级月考）已知2m2+5m﹣1＝0，求代数式（m+3）2+m（m﹣1）的值． 【分析】求出2m2+5m＝1，再根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，合并同类项，最后代入求出答案即可． 【解答】解：∵2m2+5m﹣1＝0， ∴2m2+5m＝1， ∴（m+3）2+m（m﹣1） ＝m2+6m+9+m2﹣5m ＝2m2﹣5m+9 ＝1+9 ＝10． 【点评】本题考查了整式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键． 6．利用完全平方公式计算： （1）（﹣xy）2； （2）（a﹣3b）（3ba）； （3）99.82； （4）1012+992． 【分析】（1）用完全平方公式计算； （2）先把负号提取到括号外面，再用完全平方公式计算； （3）把99.8化为（100﹣0.2），再用完全平方公式计算； （4）先把原式化为（100+1）2+（100﹣1）2，再用完全平方公式计算． 【解答】解：（1）原式＝x2+xy； （2）原式＝﹣（3ba）（3ba） ＝﹣（9b2﹣3ab） ＝﹣9b2+3aba2； （3）原式＝（100﹣0.2）2 ＝10000﹣40+0.04 ＝9960.04； （4）原式＝（100+1）2+（100﹣1）2 ＝10000+200+1+10000﹣200+1 ＝20002． 【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，掌握这两个公式的熟练应用，题目中的变形是运用完全平方公式、平方差公式的关键． 题型五 运用乘法公式进行简便计算 解题技巧提炼 1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 1．（2024春•包头期中）若a＝20180，b＝2016×2018﹣20172，，则下列a、b、c的大小关系正确的是（　　） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【分析】根据零指数幂法则，平方差公式，积的乘方法则求出a、b、c，再进行大小比较便可． 【解答】解：∵a＝20180＝0， b＝2016×2018﹣20172＝20072﹣1﹣20072＝﹣1， ， ∴b＜c＜a， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较，零指数幂法则，平方差公式，积的乘方法则，关键是熟记这些法则． 2．（2024秋•德惠市期末）计算20242﹣2023×2025＝　 ． 【分析】将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式计算可得答案． 【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1） ＝20242﹣20242+1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查的是平方差公式，将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）是解决此题的关键． 3．（2024春•牟平区期中）用乘法公式简便计算： （1） （2）124×122﹣1232 【分析】（1）将原式化为（50）（50），利用平方差公式进行计算即可； （2）先把124×122﹣1232化为（123+1）（123﹣1）﹣1232的形式，再用平方差公式计算； 【解答】解：（1）原式＝（50）（50） ＝2500 ＝2499； （2）124×122﹣1232 ＝（123+1）（123﹣1）﹣1232 ＝1232﹣1﹣1232 ＝﹣1； 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 4．利用完全平方公式计算： （1）992； （2）1032． 【分析】（1）将99写成（100﹣1）的形式，利用完全平方公式进行计算即可； （2）将103写成（100+3）的形式，利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）992 ＝（100﹣1）2 ＝1002﹣2×1×100+1 ＝10000﹣200+1 ＝9801； （2）1032 ＝（100+3）2 ＝1002+2×100×3+32 ＝10000+600+9 ＝10609． 【点评】本题主要考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 5．利用平方差公式计算： （1）10002﹣9992； （2）（99）2﹣（100）2． 【分析】（1）根据平方差公式，即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算即可； （2）根据平方差公式，即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（1000+999）×（1000﹣999） ＝1999×1 ＝1999； （2）原式＝（99100）×（99100） ＝200×（﹣1） ＝﹣200． 【点评】本题考查平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是正确计算的关键． 6．（2023秋•绿园区校级月考）用简便方法计算： （1）498×502； （2）20222﹣2023×2021． 【分析】（1）将原式化为（500﹣2）（500+2），再根据平方差公式进行计算即可； （2）将原式化为20222﹣（2022+1）（2022﹣1），根据平方差公式得出20222﹣20222+1即可． 【解答】解：（1）原式＝（500﹣2）（500+2） ＝5002﹣22 ＝250000﹣4 ＝249996； （2）原式＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1） ＝20222﹣20222+1 ＝1． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 7．（2024春•垦利区期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算103×97． 解：103×97＝（100+3）（100﹣3）①＝1002﹣32②＝9991． （1）例题求解过程中，第②步变形的依据是 　 　； （2）用简便方法计算9×11×101； （3）用简便方法计算20212﹣2020×2022． 【分析】（1）根据例题得出结论即可； （2）根据平方差公式变形求解即可； （3）根据平方差公式变形求解即可． 【解答】解：（1）平方差公式； （2）9×11×101 ＝（10﹣1）×（10+1）×101 ＝（100﹣1）×101 ＝（100﹣1）（100+1） ＝1002﹣12 ＝9999； （3）20212﹣2020×2022 ＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1） ＝20212﹣（20212﹣12） ＝20212﹣20212+1 ＝1． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式并灵活运用是解题的关键． 题型六 综合运用乘法公式计算 解题技巧提炼 综合运用乘法公式计算就是对完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细，另外要注意运算的顺序． 1．（2023秋•思明区校级期中）计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）． 【分析】先根据多项式乘多项式公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3） ＝x2+4x﹣5﹣x2+9 ＝4x+4． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式和平方差公式，正确掌握多项式乘法公式和平方差公式是解题关键． 2．（2023春•陈仓区期中）计算：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）． 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2） ＝9x2+6x+1﹣（9x2﹣4） ＝9x2+6x+1﹣9x2+4 ＝6x+5． 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，能灵活运算公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 3．计算： （1）（2x﹣1）2﹣（3x+1）（x﹣2）﹣1； （2）4（3x+2y）（2x+3y）﹣2（x﹣3y）（3x+4y）． 【分析】（1）先根据多项式乘法，将待求式展开，得（4x2﹣4x+1）﹣（3x2﹣6x+x﹣2）﹣1，再去括号，合并同类项即可； （2）由多项式乘法，得4（6x2+9xy+4xy+6y2）﹣2（3x2+4xy﹣9xy﹣12y2），再去括号，合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝（4x2﹣4x+1）﹣（3x2﹣6x+x﹣2）﹣1 ＝4x2﹣4x+1﹣3x2+6x﹣x+2﹣1 ＝x2+x+2． （2）原式＝4（6x2+9xy+4xy+6y2）﹣2（3x2+4xy﹣9xy﹣12y2） ＝24x2+36xy+16xy+24y2﹣6x2﹣8xy+18xy+24y2 ＝18x2+62xy+48y2． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，能够结合多项式乘法，整式加减等知识进行求解是解题的关键． 4．（2024春•玄武区校级期中）用乘法公式计算： （1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2； （2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9）； 【分析】（1）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式进行计算． （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，去括号，合并同类项即可； 【解答】解：（1）原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝2xy﹣2y2； （2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9） ＝（4x2﹣9）（4x2﹣9） ＝（4x2）2﹣2×4x2×9+92 ＝16x4﹣72x2+81． 5．（2023秋•东城区校级期中）计算： （1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2； （2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2． 【分析】（1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据完全平方公式分解因式，再合并即可． 【解答】解：（1）原式＝[x+y+z+（x+y﹣z）][x+y+z﹣（x+y﹣z）] ＝（2x+2y）•2z ＝4z（x+y）； （2）原式＝[a+2b﹣（a﹣2b）]2 ＝（4b）2 ＝16b2． 【点评】此题考查的是平方差公式及完全平方公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 6．利用乘法公式计算： （1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）； （2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）； （3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）； （4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）； （5）（m﹣n﹣3）2． 【分析】用完全平方公式和平方差公式结合合并同类项计算． 【解答】解：（1）原式＝（2x﹣3y）2﹣（9x2﹣y2）， ＝（4x2+9y2﹣12xy）﹣9x2+y2， ＝10y2﹣12xy﹣5x2； （2）原式＝（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）， ＝（x2﹣y2）（ x2+y2）（x4+y4）， ＝（x4﹣y4）（x4+y4）， ＝x8﹣y8； （3）原式＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]， ＝a2﹣（2b﹣3）2， ＝a2﹣4b2﹣9+12b； （4）原式＝[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）， ＝（x2﹣2xy+y2+x2+y2+2xy）（x2﹣y2）， ＝2（x2+y2）（x2﹣y2）， ＝2（x4﹣y4）， ＝2x4﹣2y4； （5）原式＝（m﹣n﹣3）（m﹣n﹣3）， ＝m2﹣mn﹣3m﹣mn+n2+3n﹣3m+3n+9， ＝n2+m2﹣2mn﹣6m+6n+9． 【点评】本题组考查了完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细． 题型七 利用乘法公式进行化简求值 解题技巧提炼 利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 1．（2024秋•鲤城区校级期中）若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是 　 　． 【分析】利用平方差公式将（x+1）（x﹣1）+x展开并把已知条件代入计算即可． 【解答】解：∵x2+x﹣2＝0， ∴x2+x＝2， ∴（x+1）（x﹣1）+x ＝x2﹣1+x ＝x2+x﹣1 ＝2﹣1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式及整体代入法求代数式的值是解题的关键． 2．（2024秋•长宁县期中）已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为　 ． 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，代数式的求值，先计算整式的乘法，合并同类项，再结合分配律整体代入求值即可． 【解答】解：由题意，∵（a+2）（a﹣2）+a（a+2） ＝a2﹣4+a2+2a ＝2a2+2a﹣4 ＝2（a2+a）﹣4， ∴当a2+a＝2时，原式＝2×2﹣4 ＝4﹣4 ＝0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了平方差公式、单项式乘多项式，解题时要熟练掌握并能灵活运用平方差公式进行运算是关键． 3．（2024•长沙模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（x﹣y），其中x，y＝4． 【分析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案． 【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣2x2+2xy ＝﹣2xy． 当，y＝4时， 原式． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 4．（2023秋•天山区校级期末）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中． 【分析】原式利用单项式乘多项式法则，完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝（a2﹣2ab）+（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣b2） ＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2﹣a2+b2 ＝a2+2b2， 当a＝1，b时， 原式＝1+2×（）2 ＝1 ． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 5．（2024春•盐湖区校级期末）已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值． 【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后对式子x2+4x﹣4＝0变形，即可解答． 【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1） ＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6 ＝﹣3x2﹣12x+18， ∵x2+4x﹣4＝0， ∴x2+4x＝4， ∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6． 【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法． 6．（2024秋•老河口市期末）先化简，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），其中x，y满足x+y＝3，xy＝1． 【分析】利用完全平方公式计算乘方，利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【解答】解：原式＝（x2﹣9y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣3xy+7y2 ＝x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣3xy+7y2 ＝﹣3x2+xy﹣3y2， ∵x+y＝3，xy＝1， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×1＝9﹣2＝7， ∴原式＝﹣3（x2+y2）+xy ＝﹣3×7+1 ＝﹣20． 【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键． 题型八 利用完全平方公式的变形求值 解题技巧提炼 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 1．（2023秋•城口县期末）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（　　） A．1 B．9 C．16 D．21 【分析】利用完全平方公式将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a+b＝5，ab＝1， ∴（a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝52﹣4×1 ＝25﹣4 ＝21， 故选：D． 【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键． 2．（2023秋•重庆期末）已知m+n＝5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为（　　） A．16 B．22 C．28 D．36 【分析】将m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，然后整体代入计算即可． 【解答】解：∵m+n＝5，mn＝3， ∴m2﹣mn+n2 ＝（m+n）2﹣3mn ＝52﹣3×3 ＝25﹣9 ＝16， 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 3．（2024春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（　　） A．4046 B．2023 C．4042 D．4043 【分析】利用完全平方公式变形即可． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab． ∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2 ＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m） ＝4+2×2021 ＝4046． 故选：A． 【点评】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式． 4．（2023春•金寨县期末）已知a+b＝2，ab＝﹣1，求下列各式的值． （1）求a2+b2的值； （2）求（a﹣b）2 的值． 【分析】（1）变形a2+b2为（a+b）2﹣2ab，整体代入求值； （2）利用（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行计算即可． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． ∵a+b＝2，ab＝﹣1， ∴原式＝22﹣2×（﹣1） ＝4+2 ＝6； （2）∵a+b＝2，ab＝﹣1， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝22﹣4×（﹣1） ＝4+4 ＝8． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形及整体代入的思想方法是解决本题的关键． 5．（2024秋•汝南县期末）已知x+y＝4，xy＝2，求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可； （2）先通分，再把x2+y2＝12和xy＝2代入，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2， ∴x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝42﹣2×2 ＝16﹣4 ＝12； （2）由（1）知x2+y2＝12， 又∵xy＝2， ∴ ＝6． 【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键，（a+b）2＝a2+2ab+b2． 6．（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2． 求： （1）ab的值； （2）（a﹣b）2的值； （3）a4+b4的值． 【分析】（1）把a+b＝2两边平方，利用完全平方公式得到a2+2ab+b2＝4，然后把a2+b2＝3代入可计算出ab的值； （2）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整体代入的方法计算； （3）利用完全平方公式得到a4+b4＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）∵a+b＝2， ∴（a+b）2＝4， 即a2+2ab+b2＝4， ∵a2+b2＝3， ∴3+2ab＝4， ∴ab； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣42； （3）a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝（a2+b2）2﹣2（ab）2 ＝32﹣2×（）2 ＝9 ． 【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式是解决问题的关键． 7．（2023春•福田区校级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10． 请你根据上述解题思路解答下面问题： （1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求a2+b2的值； （2）已知a﹣b﹣c＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值． 【分析】（1）利用完全平方公式得到a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得变形，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab ＝（﹣3）2+2×（﹣2） ＝5； （2）∵a﹣b﹣c＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12， ∴（a﹣b）2+c2 ＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c ＝（﹣10）2+2×（﹣12） ＝76． 【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了整式的运算． 题型九 乘法公式的实际应用问题 解题技巧提炼 利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 1．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（　　） A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2 【分析】根据图形的拼接，可得出答案． 【解答】解：由拼图过程可得，长为（a+2）+a＝2a+2， 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，正确表示两个图形的面积是得出关系式的关键． 2．（2023景县校级模拟）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【分析】先设A，B的边长分别是a，b，再用a，b边上阴影部分的面积求解． 【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则a2+b2＝34， 根据题意得：（a﹣b）2＝4， ∴a2+b2﹣2ab＝4， ∴2ab＝30， ∴乙图阴影部分的面积为：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30， 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，用字母表示面积是解题的关键． 3．（2024春•桓台县期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算后即可得出结果； （2）根据题意列出算式，化简后把a＝5，b＝2代入计算，即可得出结果． 【解答】解：（1）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）﹣（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2 ＝5a2+4ab﹣2b2， 答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（5a2+4ab﹣2b2）株； （2）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）+（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2 ＝13a2﹣4ab， 当a＝5，b＝2时， 原式＝13×52﹣4×5×2 ＝325﹣40 ＝285， 答：该种植基地这两块实验田一共种植了285株豌豆幼苗． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，弄清题意，列出算式，掌握平方差公式，完全平方公式是解决问题的关键． 4．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可； （2）把a＝2，b＝3时代入计算即可． 【解答】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2 ＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝22a2+16ab+2b2（平方米）， 答：铺设地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）平方米； （2）当a＝2，b＝3时， 原式＝22×22+16×2×3+2×32 ＝202（平方米）， 答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米． 【点评】本题考查多项式乘以多项式，掌握计算法则是正确计算的前提． 5．（2023春•新都区期末）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形 象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上， 王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方 形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 【分析】（1）根据面积关系写恒等式． （2）利用（1）中等式求解即可． 【解答】解：（1）图2中大正方形的面积为：y2， 还可以表示为：（y﹣x）2+2x（y﹣x）+x2， ∴y2＝（y﹣x）2+2x（y﹣x）+x2， ∴（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2． （2）①∵（a﹣b）2＝4， ∴a﹣b＝±2， ∵a＞b， ∴a﹣b＝2， ∵b2＝9， ∴b＝±3， ∴a＝b+2＝5或﹣1， ∴a2＝25或1． ②设a＝1﹣2022x，b＝2022x， 则a+b＝1，2ab＝﹣2021， ∴原式＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1+2021 ＝2022． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，利用面积得到代数恒等式是求解本题的关键． 6．（2024秋•马尾区校级期中）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4 又ab＝1，∴a2+2×1+b2＝4，得a2+b2＝2． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： （1）若a﹣b＝5，a2+b2＝21，则ab＝ 　 　； （2）为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，（AB＞AG）两个正方形面积和为218m2，两个正方形边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【分析】（1）根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，代入计算即可； （2）设大正方形的边长为x m，小正方形的边长为y m，由题意得x+y＝20，x2+y2＝218，根据（x+y）2＝x2+y2+2xy，求出xy的值，再根据（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy求出x﹣y的值，由S阴影部分x•（x﹣y）代入计算即可． 【解答】解：（1）∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，而a﹣b＝5，a2+b2＝21， ∴25＝21﹣2ab， 解得ab＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）设大正方形的边长为x m，小正方形的边长为y m，由题意得，x+y＝20，x2+y2＝218， ∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，即400＝218+2xy， ∴xy＝91， 又∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，而x+y＝20，x2+y2＝218， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝400﹣4×91＝36， ∵x＞y， ∴x﹣y＝6， 又∵x+y＝20， ∴x＝13，y＝7， ∴S阴影部分x•（x﹣y）13×6＝39（m2）， 答：摆放花卉场地的面积为39m2． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 题型十 运用乘法公式找规律 解题技巧提炼 运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．（2023春•龙岗区期末）【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1： ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】由此可得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝x n+1﹣1； 【应用】请运用上面的结论，计算：22023+22022+22011…+22+2+1＝（　　） A．22023﹣1 B．22024﹣1 C．22024 D．22025﹣1 【分析】变形为22023+22022+22011…+22+2+1＝（2﹣1）×（22023+22022+22011…+22+2+1），再根据已知算式得出的规律得出答案即可． 【解答】解：22023+22022+22011…+22+2+1 ＝（2﹣1）×（22023+22022+22011…+22+2+1） ＝22024﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 2．（2023秋•农安县期中）你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值． ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 …… （1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝　 　． （2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1． 【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）式子转化为（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1]，再计算即可． 【解答】解：（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x+1）＝x2023﹣1； 故答案为：x2023﹣1； （2）原式（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1] [（﹣2）100﹣1] ． 【点评】此题考查了平方差公式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键． 3．（2023秋•朝阳区校级期中）探究与应用 我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？ 完成下面的探究： （1）（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　；…… （3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　； 应用：计算2+22+23+24+……+22022． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （3）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； 应用：先根据以上算式得出（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）＝22023﹣1，再得出答案即可． 【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1） ＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1 ＝x3﹣1， 故答案为：x3﹣1； （2）（x﹣1）（x3+x2+x+1） ＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1 ＝x4﹣1， 故答案为：x4﹣1； （3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1） ＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1 ＝x7﹣1， 故答案为：x7﹣1； 应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1） ＝22023﹣1， ∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2． 【点评】本题考查了多项式乘多项式法则和平方差公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 4．（2023秋•汾阳市期末）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： 152＝1×（1+1）×100+25＝225； 252＝2×（2+1）×100+25＝625； 352＝3×（3+1）×100+25＝1225； … 我们发现如下速算规律：十位数字是a（a是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是100a（a+1）+25．我们可以用所学知识证明这个结论．这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 任务： （1）请根据上述规律计算：752＝ 　 　；952＝ 　 　． （2）请证明上述阅读材料中的结论． 【分析】（1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）（10a+5）2＝100a（a+1）+25，验证结论左右是否相等，即可判断． 【解答】解：（1）752＝7×（7+1）×100+25＝5625， 952＝9×（9+1）×100+25＝9025， 故答案为：5625，9025； （2）证明：十位数字是a（a是1至9的整数），个位数字是5的两位数是10a+5， 则（10a+5）2＝100a2+2×10a×5+25＝100a2+100a+25， 100a（a+1）+25＝100×a×（a+1）+25＝100a2+100a+25， ∴（10a+5）2＝100a（a+1）+25成立； 【点评】本题考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式等知识，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以多项式是解题的关键． 5．（2024春•宁远县期中）（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝　 　． （a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　． （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　． （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　.（其中n为正整数，且n≥2） （3）利用（2）中猜想的结论计算：37+36+35+34+33+32+3+1． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）； （3）原式 ＝3280． 故答案为：（1）a2﹣b2；a3﹣b3；a4﹣b4；（2）an﹣bn． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、特殊到一般的数学思想是解决本题的关键． 6．（2024秋•鱼台县期末）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）． （2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）． 【分析】（1）原式补上（2﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上（3﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式补上（m﹣n），利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1） ＝（216﹣1）（216+1） ＝232﹣1； （2）原式（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1） （38﹣1）（38+1）（316+1） （316﹣1）（316+1） （332﹣1）； （3）当m＝n时，原式＝2m•2m2•2m4•2m8•2m16＝32m31； 当m≠n，即m﹣n≠0时， 原式（m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m2﹣n2）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m4﹣n4）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m8﹣n8）（m8+n8）（m16+n16） （m16﹣n16）（m16+n16） （m32﹣n32）． 【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$