1.1幂的乘除（16大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.1 幂的乘除 知识点一 同底数幂的乘法 ◆1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二 幂的乘方 ◆1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三 积的乘方 ◆1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） ◆2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四 同底数幂的除法 ◆1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． ◆2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． ◆3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． ◆4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点五 零指数幂 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点六 负整数指数幂 ◆1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． ◆2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点七 科学记数法 ◆用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 题型一 同底数幂的乘法 解题技巧提炼 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、 同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘， 即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 1．（2024•池州二模）计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（﹣a）2•a4＝a2•a4＝a6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．（2024秋•西乡塘区校级期中）已知xa＝2，xb＝5，则xa+b等于（　　） A．7 B．10 C．20 D．50 【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可． 【解答】解：xa+b＝xa•xb＝2×5＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键． 3．（2023秋•浦东新区期末）在等式a2•（﹣a）•（　　）＝a11中，括号内的代数式应是（　　） A．a8 B．（﹣a）8 C．﹣a8 D．（﹣a）9 【分析】根据同底数幂的乘法法则得出a2•（﹣a）•（﹣a8）＝a11，即可得出答案． 【解答】解：∵a2•（﹣a）•（﹣a8）＝a11， ∴括号内的代数式应是﹣a8， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法的应用，注意：am+n＝am•an． 4．（2024春•宁化县月考）已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（　　） A．ab＝c B．a+b＝c C．a：b：c＝1：2：10 D．a2b2＝c2 【分析】根据5×10＝50，得到2a•2b＝2c，根据同底数幂的乘法法则得到2a+b＝2c，从而a+b＝c． 【解答】解：∵5×10＝50， ∴2a•2b＝2c， ∴2a+b＝2c， ∴a+b＝c， 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握am•an＝am+n是解题的关键． 5．（2024秋•青浦区月考）下列运算中，错误的个数是（　　） （1）a2+a2＝a4；（2）a2•a3＝a6；（3）an•an＝2an；（4）﹣a4•（﹣a）4＝a8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果． 【解答】解：（1）a2+a2＝2a2，故（1）错误； （2）a2•a3＝a5，故（2）错误； （3）an•an＝a2n，故（3）错误； （4）﹣a4•（﹣a）4＝﹣a8，故（4）错误． 则错误的个数为4个． 故选：D． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（2023春•高邑县期末）下列各式计算结果为a7的是（　　） A．（﹣a）2•（﹣a）5 B．（﹣a）2•（﹣a5） C．（﹣a2）•（﹣a）5 D．（﹣a）•（﹣a）6 【分析】直接利用积的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、（﹣a）2•（﹣a）5＝﹣a7，故此选项错误； B、（﹣a）2•（﹣a5）＝﹣a7，故此选项错误； C、（﹣a2）•（﹣a）5＝a7，故此选项正确； D、（﹣a）•（﹣a）6＝﹣a7，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出各项符号是解题关键． 7．（2023•闵行区校级开学）a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a）7•（﹣a）2． 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【解答】解：a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a）7•（﹣a）2 ＝a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a7）•a2 ＝﹣a21． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型二 同底数幂的乘法的逆运算 解题技巧提炼 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、当指数是和的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（2024秋•路南区期中）已知7x＝y，则7x+1＝（　　） A．x B．1+y C．7+y D．7y 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得7x+1＝7x×7，再代入计算即可． 【解答】解：∵7x＝y， ∴7x+1＝7x×7＝7y． 故选：D． 【点评】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“am+n＝am•an”是解本题的关键． 2．（2024秋•儋州期中）若xm＝4，xn＝8，则xm+n＝（　　） A．32 B．16 C．4 D．64 【分析】根据xm+n＝xm•xn，然后代入计算即可． 【解答】解：xm+n＝xm•xn＝4×8＝32， 故选：A． 【点评】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．熟练掌握运算法则是关键． 3．（2024秋•思明区校级期中）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 【分析】先求得a+2b＝3，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案． 【解答】解：∵a+2b﹣3＝0， ∴a+2b＝3， ∴3a•32b＝3a+2b＝33＝27． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．若2x＝2，2y＝3，2z＝5，则2x+y+z的值为　 　． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则进行变形，再代入求出即可． 【解答】解：∵2x＝2，2y＝3，2z＝5， ∴2x+y+z＝2x×2y×2z＝2×3×5＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键． 5．若am＝4，am+n＝12，则an＝　 　． 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵am+n＝12， ∴am•an＝12， ∵am＝4， ∴4×an＝12， ∴an＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键． 题型三 幂的乘方 解题技巧提炼 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式． 1．（2024春•沈北新区期中）计算（﹣m2）3的结果是（　　） A．﹣m6 B．m6 C．﹣m5 D．m5 【分析】根据幂的乘方可以解答本题． 【解答】解：（﹣m2）3＝﹣m6， 故选：A． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确幂的乘方的计算法则． 2．（2023•碑林区校级二模）计算：（﹣x3）2＝（　　） A．x6 B．﹣x6 C．x5 D．﹣x5 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：（﹣x3）2＝x6， 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•丰满区期末）下列计算正确的是（　　） A．a3+a4＝a7 B．（a2）3＝a6 C．（ab）3＝ab3 D．a4•a3＝a12 【分析】根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a3与a4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项符合题意； C、（ab）3＝a3b3，故此选项不符合题意； D、a4•a3＝a7，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4．（2023•普陀区二模）已知（a2）m＝a6，那么m＝　 　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答． 【解答】解：∵（a2）m＝a6， ∴a2m＝a6， ∴2m＝6， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 5．计算： （1）（m2）3＝　 　； （2）（104）3＝　 　； （3）（5n）3＝　 　； （4）[（﹣7）2]3＝　 　； （5）（b2n+1）2＝　 　． 【分析】（1）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （2）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （3）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （4）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （5）利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：（1）（m2）3＝m6； 故答案为：m6； （2）（104）3＝1012； 故答案为：1012； （3）（5n）3＝53n； 故答案为：53n； （4）[（﹣7）2]3＝（﹣7）6＝76； 故答案为：76； （5）（b2n+1）2＝b4n+2． 故答案为：b4n+2． 【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（2024春•惠济区期末）已知x2n＝5，则（x2n）2﹣（x2）n的值为 　 　． 【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．据此计算即可． 【解答】解：∵x2n＝5， ∴（x2n）2﹣（x2）n ＝52﹣5 ＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了幂的乘方，掌握幂的运算性质是解答本题的关键． 7．（2024春•莱州市期末）若52x+1＝125，则（x﹣2）2022的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022 【分析】由已知条件可得2x+1＝3，从而求得x＝1，把其代入所求的式子进行运算即可． 【解答】解：∵52x+1＝125， ∴52x+1＝53， 则2x+1＝3， 解得：x＝1， ∴（x﹣2）2022 ＝（1﹣2）2022 ＝（﹣1）2022 ＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是熟记幂的乘方的法则：底数不变，指数相乘． 题型四 幂的乘方的逆运算 解题技巧提炼 1、幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 2、当指数是积的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（2023秋•绵阳期末）若am＝3，an＝2，则a2m+n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．18 【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可． 【解答】解：∵am＝3，an＝2， ∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝32×2＝9×2＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．（2023秋•淮阳区月考）已知2x+y＝2，则4x•2y的值为（　　） A．32 B．16 C．4 D．2 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：∵2x+y＝2， ∴4x×2y＝（22）x×2y ＝22x×2y ＝22x+y ＝22 ＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 3．（2024•闵行区校级开学）已知x3n＝5，则2x9n＝　 　． 【分析】利用幂的乘方的法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵x3n＝5， ∴2x9n＝2（x3n）3＝2×53＝2×125＝250， 故答案为：250． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键． 4．（2023秋•九龙坡区校级月考）已知，则32a×9b＝　 ． 【分析】根据求出2a×2b＝3，根据同底数幂的乘法得出2a+b＝22，求出a+b＝2，再根据幂的乘方进行计算，根据同底数幂的乘法得出32a×9b＝32a+2b，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵， ∴2a×2b＝3， ∴2a+b＝4＝22， ∴a+b＝2， ∴32a×9b ＝32a×（32）b ＝32a×32b ＝32a+2b ＝32×2 ＝34 ＝81． 故答案为：81． 【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，能熟记（am）n＝amn和am•an＝am+n是解此题的关键． 5．（2023秋•商水县期末）已知x﹣3y+2＝0，则2x+y•4y﹣x＝　 　． 【分析】由x﹣3y+2＝0可得x﹣3y＝﹣2，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【解答】解：由x﹣3y+2＝0得x﹣3y＝﹣2， ∴3y﹣x＝2， ∴2x+y•4y﹣x ＝2x+y•22y﹣2x ＝2x+y+2y﹣2x ＝23y﹣x ＝22 ＝4． 故答案为：4 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 6．（2023春•合肥月考）已知x3n＝3，求（﹣2x2n）3+4（x2）3n的值． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答． 【解答】解：∵x3n＝3， ∴（﹣2x2n）3+4（x2）3n ＝﹣8x6n+4x6n ＝﹣4x6n ＝﹣4（x3n）2 ＝﹣4×32 ＝﹣4×9 ＝﹣36， ∴（﹣2x2n）3+4（x2）3n的值为﹣36． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键． 7．（2023秋•榆树市月考）（1）已知273×94＝3x，求x的值． （2）已知10a＝2，10b＝3，求103a+b的值． 【分析】（1）先变形，再根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后求出x即可； （2）先根据同底数幂的乘法进行计算，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（1）∵273×94＝3x， ∴（33）3×（32）4＝3x， ∴39×38＝3x， ∴317＝3x， ∴x＝17； （2）∵10a＝2，10b＝3， ∴103a+b ＝103a×10b ＝（10a）3×10b ＝23×3 ＝8×3 ＝24． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能正确运用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法进行计算是解此题的关键，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，am•an＝am+n． 8．（2024秋•江津区期中）（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025． 【分析】（1）化简a2m+n＝（am）2×an，再将已知代入即可； （2）由24m＝22n，33n＝3m+5，可得n＝2m，3n＝m+5，求出m、n的值即可求解． 【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3， ∴原式＝a2m×an ＝（am）2×an ＝22×3 ＝4×3 ＝12； （2）∵16m＝4×22n﹣2， ∴24m＝22×22n﹣2＝22n， ∴n＝2m， ∵27n＝9×3m+3， ∴33n＝3m+5， ∴3n＝m+5， ∴6m＝m+5， ∴m＝1， ∴n＝2， ∴原式＝（1﹣2）2025＝﹣1． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握以上知识点是关键． 题型五 积的乘方 解题技巧提炼 1、把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 1．（2024•廊坊模拟）计算（﹣3a2）3，正确的是（　　） A．﹣9a5 B．9a6 C．﹣27a6 D．27a6 【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：（﹣3a2）3＝﹣27a6． 故选：C． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握积的乘方运算法则是解题关键． 2．（2024•平山县一模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用积的乘方法则计算即可． 【解答】解：原式x4y2， 故选：C． 【点评】本题考查积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 3．计算（ab2）3的结果是（　　） A．a3b6 B．a3b5 C．a3b5 D．a3b6 【分析】根据幂的乘方、积的乘方运算法则运算即可． 【解答】解：原式＝（）3×a3×（b2）3 a3b6． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是幂运算的知识，熟练掌握积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键． 4．（2023秋•老河口市期末）下列运算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a3）2＝a5 C．（a2b）3＝a2b3 D．（﹣a2）3＝﹣a6 【分析】由同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方分别进行判断，即可得到答案． 【解答】解：A、a3⋅a4＝a7，故A错误； B、（a3）2＝a6，故B错误； C、（a2b）3＝a6b3，故C错误； D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，解题的关键是掌握运算法则． 5．（2024春•西安期末）已知am＝3，bm＝2，则（ab）m＝　 　． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵am＝3，bm＝2， ∴（ab）m＝am×bm＝3×2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键． 6．（2024春•丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求： （1）50x的值； （2）2x的值； （3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示） 【分析】（1）根据积的乘方的法则计算； （2）根据积的乘方（商的乘方）的法则计算； （3）根据积的乘方的法则计算． 【解答】解：（1）50x＝10x×5x＝ab； （2）2x； （3）20x． 【点评】本题考查了积的乘方，解题的关键是能够熟练的运用积的乘方的法则． 题型六 积的乘方的逆运算 解题技巧提炼 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、逆用积的乘方公式时，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 1．（2023秋•碑林区校级期末）计算24046×（﹣0.25）2024的结果为（　　） A．﹣22022 B．22022 C． D． 【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可． 【解答】解：24046×（﹣0.25）2024 ＝（22）2023×（）2024 ＝42023×（）2024 ＝[4×（）]2023×（） ＝（﹣1）2023×（） ＝﹣1×（） ． 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，能正确运用幂的乘方和积的乘方进行计算是解此题的关键，注意：（am）n＝amn，（ab）n＝anbn． 2．计算0.52024×（﹣2）2024的值为（　　） A．﹣2 B．﹣0.5 C．1 D．2 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：0.52024×（﹣2）2024 ＝0.52024×22024 ＝（0.5×2）2024 ＝1． 故选：C． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 3．（2023秋•蒸湘区校级月考）计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝　 ． 【分析】观察式子的特点，发现两个幂的底数互为倒数，因而可以逆用积的乘方运算性质． 【解答】解：﹣82005×（﹣0.125）2006， ＝﹣82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125）， ＝（8×0.125）2005（﹣0.125）， ＝﹣0.125． 【点评】本题考查了积的乘方的性质，转化为同指数相乘逆用积的乘方的性质是解题的关键． 4．（2024春•锦江区校级期中）若2x+6y﹣3＝0，则4x•64y＝　 　． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂乘法的法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵2x+6y﹣3＝0， ∴2x+6y＝3， ∴4x•64y ＝（22）x•（26）y ＝22x•26y ＝22x+6y ＝23 ＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂乘法的法则是解决问题的关键． 5．（2024秋•高昌区月考）计算：　 　． 【分析】利用逆用积的乘方的法则对式子进行运算即可． 【解答】解： （）2015×（）2015 （）2015 12015 1 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查积的乘方的逆用，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与应用． 6．（2023秋•巴中期末）计算的值等于 　 　． 【分析】利用积的乘方法则计算即可． 【解答】解：原式＝（1.25）2023×（）×5 ＝（﹣1）2023×（）×5 ＝（﹣1）×（）×5 ＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键． 7．（2023•武安市三模）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 嘉嘉的作业 计算：85×（﹣0.125）5． 解：85×（﹣0.125）5＝（﹣8×0.125）5＝（﹣1）5＝﹣1． 请你参考嘉嘉的方法解答下列问题． 计算：（1）42023×（﹣0.25）2023； （2）． 【分析】（1）利用积的乘方逆运算进行变形，求出即可； （2）利用积的乘方逆运算进行变形，求出即可． 【解答】解：（1）原式＝（﹣4×0.25）2023 ＝（﹣1）2023 ＝﹣1． （2）原式 ． 【点评】本题考查了积的乘方的逆应用，能熟记anbn＝（ab）n是解此题的关键． 题型七 同底数幂的除法 解题技巧提炼 1、同底数幂相除，底数不变，指数相减． 2、计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 1．（2024•长丰县校级模拟）计算x4÷（﹣x）的结果是（　　） A．﹣x3 B．﹣x4 C．x3 D．x4 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：x4÷（﹣x） ＝﹣x4÷x ＝﹣x3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．（2023秋•晋江市期末）（﹣a6）÷（﹣a）2的运算结果是（　　） A．a4 B．﹣a4 C．a3 D．﹣a3 【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：（﹣a6）÷（﹣a）2 ＝（﹣a6）÷a2 ＝﹣a4． 故选：B． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（2024•雁塔区校级开学）下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．（ab）3＝a3b C．（﹣a）3•（﹣a）＝a4 D．a6÷a3＝a2 【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：A、（a2）3＝a6，故选项A错误，不符合题意； B、（ab）3＝a3b3，故选项B错误，不符合题意； C、（﹣a）3•（﹣a）＝（﹣a）4＝a4，故选项C正确，符合题意； D、a6÷a3＝a3，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（2023秋•禹城市期末）计算（﹣a2）3÷a4结果是（　　） A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：（﹣a2）3÷a4 ＝﹣a6÷a4 ＝﹣a2． 故选：A． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（2023•天宁区校级模拟）若a7＝m，a5＝n（a≠0），那么a2用含m和n的代数式表示为（　　） A．m•n B． C． D．m﹣n 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则进而将原式变形得出答案． 【解答】解：∵a7＝m，a5＝n（a≠0）， ∴a7÷a5＝a2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键． 6．（2023春•渭南期中）已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a4，求xy﹣3（2x﹣y）的值． 【分析】先根据题意得出xy与2x﹣y的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵（ax）y＝a6， ∴axy＝a6， ∴xy＝6； ∵（ax）2÷ay＝a4， ∴a2x÷ay＝a2x﹣y＝a4， ∴2x﹣y＝4， ∴xy﹣3（2x﹣y） ＝6﹣3×4 ＝6﹣12 ＝﹣6． 【点评】本题考查的是同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则，熟知运算法则是解题的关键． 7．（2023秋•朝阳区校级月考）计算： （1）（﹣1）3|2﹣π|； （2）（y3）2•y2； （3）x2•（x2）3÷x5； （4）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法与去绝对值的方法进行解题即可． （2）根据同底数幂的乘法与除法法则进行计算即可． （3）根据同底数幂的乘法与除法法则进行计算即可． （4）先根据同底数幂的乘法与除法法则进行计算，再按照有理数的加减法法则进行计算即可．． 【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣4+π﹣2＝π﹣7； （2）原式＝y6•y2＝y8； （3）原式＝x2•x6÷x5＝x8÷x5＝x3； （4）原式＝y4+y4﹣y4＝y4． 【点评】本题考查同底数幂的乘法与除法，掌握同底数幂的乘法与除法法则是解题的关键． 题型八 同底数幂的除法的逆运算 解题技巧提炼 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错． 1．（2023秋•承德期末）若3x＝15，3y＝3，则3x﹣y＝（　　） A．5 B．3 C．15 D．10 【分析】根据同底数幂的除法，由3x＝15，3y＝3，可得3x﹣y的值，本题得以解决． 【解答】解：∵3x＝15，3y＝3，3x﹣y×3y＝3x， ∴3x﹣y＝3x÷3y＝15÷3＝5， 故选：A． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是明确同底数幂的乘法与除法之间的相互转化． 2．（2023秋•应城市期末）若2x＝5，8y＝7，则2x﹣3y的值为（　　） A． B． C．35 D．﹣2 【分析】由题意易得23y＝7，然后根据同底数幂除法的逆用可进行求解． 【解答】解：∵2x＝5，8y＝23y＝7， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查同底数幂除法，熟练掌握同底数幂除法的逆用是解题的关键． 3．（2023秋•株洲期中）若xm＝5，xn，则x2m﹣n＝（　　） A． B．40 C． D．100 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵xm＝5，xn， ∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn ＝25 ＝100． 故选：D． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 4．（2023秋•滑县期末）已知9m÷32m﹣2＝3n，n的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0.5 D．﹣0.5 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则计算即可． 【解答】解：∵9m＝32m， ∴9m÷32m﹣2 ＝32m÷32m﹣2 ＝32m﹣2m+2 ＝32， ∵9m÷32m﹣2＝3n， ∴n＝2． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键． 5．（2024秋•新会区校级期末）已知am＝2，an＝3，ap＝5，则a2m+n﹣p的值是 　 　． 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案． 【解答】解：∵am＝2，an＝3，ap＝5， ∴a2m+n﹣p＝（am）2×an÷ap ＝22×3÷5 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．（2023春•渠县校级期末）已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝　 　． 【分析】先将9a÷27b变形，再由ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2分别得出a，b，c的关系式，然后联立得方程组，整体求得（2a﹣3b）的值，最后代入将9a÷27b变形所得的式子即可得出答案． 【解答】解：9a÷27b ＝（32）a÷（33）b ＝（3）2a﹣3b， ∵ka＝4，kb＝6，kc＝9， ∴ka•kc＝kb•kb， ∴ka+c＝k2b， ∴a+c＝2b①； ∵2b+c•3b+c＝6a﹣2， ∴（2×3）b+c＝6a﹣2， ∴b+c＝a﹣2②； 联立①②得：， ∴， ∴2b﹣a＝a﹣2﹣b， ∴2a﹣3b＝2， ∴9a÷27b ＝（3）2a﹣3b ＝32 ＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型九 零指数幂 解题技巧提炼 任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). 1．（2023•思明区校级二模）在0，2，（﹣3）0，﹣2这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．2 C．（﹣3）0 D．﹣2 【分析】根据零指数幂化简，比较有理数的大小即可． 【解答】解：（﹣3）0＝1， ∵﹣2＜0＜1＜2， ∴最小的数是﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查了零指数幂，有理数大小比较，掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键． 2．（2023春•泰安期中）若a＝0.32，b＝﹣32，c＝（﹣3）0，那么a、b、c三数的大小为（　　） A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a 【分析】先化简各式，然后再进行比较，即可解答． 【解答】解：∵a＝0.32＝0.09，b＝﹣32＝﹣9，c＝（﹣3）0＝1， ∴1＞0.09＞﹣9， ∴c＞a＞b， 故选：B． 【点评】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，有理数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024秋•广丰区期末）式子（x+2）0无意义时，x＝　 　． 【分析】根据a0＝1（a≠0）知道当底数为0时没有意义，从而得出答案． 【解答】解：∵x+2＝0， ∴x＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了零指数幂，掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键． 4．（2024春•庐阳区校级期中）已知，则x的值为（　　） A．2 B．﹣1或1 C．﹣1或1或2 D．﹣1或2 【分析】根据任何非零数的零指数幂都等于1，1的任何次幂都等于1，﹣1的偶次幂等于1分别进行计算即可． 【解答】解：①当x2﹣1＝0，x﹣1≠0时，x＝﹣1； ②当x﹣1＝1时，x＝2； ③当x﹣1＝﹣1时，x＝0， 此时x2﹣1＝﹣1， ∴这种情况不符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，考查分类讨论的数学思想，掌握任何非零数的零指数幂都等于1，1的任何次幂都等于1，﹣1的偶次幂等于1是解题的关键． 5．（1）（2024春•金寨县期末）计算：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2． 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减即可求出值． 【解答】解：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2 ＝﹣12﹣1+2． ＝﹣11+2 ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）（2023秋•韩城市期末）计算：（﹣2）2﹣12022+（π﹣3.14）0． 【分析】根据有理数的乘方、零指数幂的性质计算即可． 【解答】解：（﹣2）2﹣12022+（π﹣3.14）0 ＝4﹣1+1 ＝4． 【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握任何非零实数的零次幂都等于1是解题关键． （3）（2023秋•普陀区校级期末）计算：． 【分析】直接根据乘方、零指数幂的运算法则进行计算即可； 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则和负整数指数幂运算法则，准确计算． （4）（2023秋•浦东新区期末）计算：． 【分析】根据负整数指数幂法则，绝对值的性质，有理数的加减混合运算法则、有理数的乘方法则和零指数幂法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝﹣1+9﹣1﹣2＝5． 【点评】本题考查负整数指数幂，绝对值，有理数的加减混合运算、有理数的乘方和零指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 题型十 整数指数幂 解题技巧提炼 1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． 2、整数指数幂的运算性质可归结为： (1) am · an = am+n (m、n 是整数，a≠0)； (2) (am)n = a m n (m、n 是整数，a≠0)； (3) (ab)n = an bn (n 是整数，a≠0，b≠0). 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如果代数式（x﹣1）﹣1有意义，则x应该满足（　　） A．x≠±1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠1 【分析】直接利用负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数），进而得出答案． 【解答】解：代数式（x﹣1）﹣1有意义， 则x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了负整数指数幂，正确掌握相关定义是解题关键． 2．（2024秋•邹平市期末）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2023）0＝0 B．2023﹣1＝﹣2023 C． D． 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（﹣2023）0＝1，故A不符合题意； B、2023﹣1，故B不符合题意； C、（﹣2）﹣2，故C不符合题意； D、（﹣2）﹣3，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2023春•金沙县期末）下列计算正确的有（　　） ①3﹣1＝﹣3；②；③；④（π﹣3.14）0＝1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：∵①3﹣1，②（﹣2）﹣3；③；④（π﹣3.14）0＝1， ∴正确的有③④，共2个； 故选：B． 【点评】此题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握a﹣n或a﹣n＝（）n（a≠0，n为正整数）和a0＝1（a≠0）是解题的关键． 4．（2023春•邯郸期末）若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b 【分析】分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案． 【解答】解：∵a＝0.42＝0.16，，，， ∴b＜a＜d＜c，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简． 5．（1）（2023•永春县校级开学）计算：． 【分析】先根据乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【解答】解：原式＝﹣1+1﹣2+9＝7． 【点评】此题考查的是负整数指数幂、有理数的混合运算、零指数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键． （2）（2023春•梅州期末）计算：2×（﹣1）2023﹣|﹣2|． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：2×（﹣1）2023﹣|﹣2| ＝2×（﹣1）﹣2+9+1 ＝﹣2﹣2+9+1 ＝6． 【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，乘法，有理数的加减混合运算，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．计算： （1）3a﹣2b•2ab﹣2； （2）． （3）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1） （4）（2xy﹣1）2•xy÷（﹣2x﹣2y） （5）（a﹣3b﹣2）﹣2•（ab3）﹣3． （6）（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2． 【分析】根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数和分式的乘除法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解： （1）3a﹣2b•2ab﹣2＝6a﹣1b﹣1＝； （2）x4y•（x﹣2y）﹣3÷（）2 ＝x4y•（x6y﹣3）•y2 ＝x10． （3）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）＝﹣2x3yz2． （4）原式＝4x2y﹣2•xy÷（﹣2x﹣2y） ＝4x3y﹣1÷（﹣2x﹣2y）， ＝﹣2x5y﹣2， ． （5）（2a6b）﹣1÷（a﹣2b）3 a﹣6b﹣1÷（a﹣6b3） b﹣4 ． （6）（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2 ＝m﹣6n﹣2•m4n6， m﹣2n4， ． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． 题型十一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解题技巧提炼 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10﹣n的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 1．（2024秋•官渡区期末）随着气温逐渐降低，流感病毒进入高发季，其中甲型HIN1流感病毒的直径约为0.0000000081米．数据0.0000000081用科学记数法表示为8.1×10n，则n的值是（　　） A．9 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣9 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：∵0.0000000081＝8.1×10﹣9， ∴n等于﹣9． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2024秋•西城区期末）故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足0.0006米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将0.0006用科学记数法表示应为（　　） A．0.6×10﹣3 B．6×10﹣3 C．6×10﹣4 D．60×10﹣3 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0006＝6×10﹣4． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2023秋•大洼区期末）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m．将数据0.000052用科学记数法表示为（　　） A．5.2×10﹣5 B．5.2×10﹣6 C．0.52×10﹣4 D．52×10﹣6 【分析】由科学记数法a×10n中a与n的意义即可得答案． 【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5； 故选：A． 【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键． 4．一个小数0.0…02024用科学记数法表示为2.024×10﹣15，则原数中“0”的个数为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法；当用科学记数法表示较小的数时，n为从左往右看第一个不为0 的数前面0的个数，据此即可求得答案． 【解答】解：∵0.0…02024＝2.024×10﹣15， ∴原数中“0”的个数为15+1＝16（个）， 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5．（2023秋•陇县期末）石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将0.00000034用科学记数法表示应为　 ． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00 000 034＝3.4×10﹣7． 故答案为：3.4×10﹣7． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．（2023秋•宜春期末）“双碳”目标背景下，一种具有机电能量转换和储存装置的飞轮储能系统被列入了国家“十四五”新型储能技术试点示范重点．飞轮储能可以在约0.000139h完成整体场站一次调频，其性能远远优于火电机组．将数据0.000139用科学记数法表示为 　 　． 【分析】根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可． 【解答】解：由题意知，0.000139＝1.39×10﹣4， 故答案为：1.39×10﹣4． 【点评】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键． 题型十二 把用科学记数法表示的数还原 解题技巧提炼 用科学记数法表示的绝对值小于1的数，指数的绝对值是几，小数点就向左 移几位. 1．（2023秋•长沙县期末）一种细菌的半径用科学记数法表示为1.2×10-5米，则这个数据可以写成（　　） A．120000 B．0.00012 C．0.000012 D．0.0000012 【分析】科学记数法a×10n，表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到 的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 【解答】解：一种细菌的半径用科学记数法表示为1.2×10-5米，则这个数据可以写成0.000012． 故选：C． 【点评】本题考查了科学记数法-原数．解题的关键是掌握科学记数法表示的数恢复原数的方法，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 2．（2023春•雨城区校级期中）空气的密度是1.293×10﹣3g/cm3，用小数把它表示出来是（　　）g/cm3． A．0.0001293 B．0.001293 C．0.01293 D．0.1293 【分析】把1.293的小数点向左移3位即可． 【解答】解：1.293×10﹣3＝0.001293， 故选：B． 【点评】本题考查了还原科学记数法表示的小数，熟练掌握科学记数法的意义是解题的关键． 3．（2023•桥东区模拟）某种电子元件的面积大约为6.9×10﹣7mm2，将这个数据写成小数的形式为：0.0…069，这个小数中0的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：6.9×10﹣7＝0.00000069， ∴这个小数中0的个数为7． 故选：C． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（2024春•共青城市校级月考）每立方厘米的空气质量约为1.4×10﹣3g，用小数把它表示为 　 g． 【分析】根据科学记数法的表示方法，可得原数． 【解答】解：1.4×10﹣3＝0.0014g， 故答案为：0.0014． 【点评】本题考查了科学记数法，小数表示的科学记数法的指数是负几，小数点向左移动几个单位． 5．（2023春•南海区校级月考）用科学记数法表示的数4.5×10﹣6还原成的原数为 　 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：4.5×10﹣6＝0.0000045． 故答案为：0.0000045． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 题型十三 与幂有关的混合运算 解题技巧提炼 与幂的有关的混合运算中，一般先算积的乘方或幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，即合并同类项． 1．（2024春•宝应县校级月考）计算： （1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3； （2）a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4． 【分析】（1）先算幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3 ＝9x6﹣x6﹣x6 ＝7x6； （2）a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4 ＝a8+4a8+a8 ＝6a8． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 2．（2024秋•思明区校级期中）计算： （1）a3•a3+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝a6+a8+4a8 ＝a6+5a8； （2）原式＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 3．（2024秋•徐水区期中）计算 （1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2． 【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3 ＝64m6﹣9m6+（﹣8m6） ＝47m6； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2 ＝（﹣a2）•（﹣a3）•a4•a2 ＝a11． 【点评】本题考查了同底数幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024春•北湖区校级月考）计算： （1）（﹣x）•x2•（﹣x）6； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）（﹣x）•x2•（﹣x）6 ＝﹣x•x2•x6 ＝﹣x9； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2 ＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．计算； （1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2； （2）[（x2）3]2﹣3（x2•x3•x）2； （3）（﹣2anb3n）2+（a2b6）n； （4）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简计算即可； （3）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可； （4）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝x6+x6﹣2x6 ＝0； （2）原式＝（x6）2﹣3（x6）2 ＝x12﹣3x12 ＝﹣2x12； （3）原式＝4a2nb6n+a2nb6n ＝5a2nb6n； （4）原式＝9x6﹣（﹣x6）+4x2﹣（﹣x3） ＝9x6+x6+4x2+x3 ＝10x6+x3+4x2． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 题型十四 利用幂的运算性质求值 解题技巧提炼 灵活利用幂的运算性质求待定字母的值，主要是利用幂的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含字母的方程，解方程从而解答. 1．（2024秋•桃城区校级期末）如果a2n﹣1•an+2＝a7，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，再根据指数相等列方程求解即可． 【解答】解：∵a2n﹣1•an+2＝a2n﹣1+n+2＝a3n+1， ∴3n+1＝7， 解得n＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 2．（2023春•莘县期末）若9×27+3×9×9+3×81＝3n，则n＝（　　） A．15 B．5 C．6 D．14 【分析】根据代数式右边的结果可以看出，其左边各项需要整理成以3为底的幂的形式，并进行合并同类项，进而求解． 【解答】解：9×27+3×9×9+3×81 ＝32×33+3×32×32+3×34 ＝35+35+35 ＝3×35 ＝36． ∵36＝3n， ∴n＝6． 故选：C． 【点评】本题考查同底数幂的乘法等，是初中数学中最基本的运算．一定要在深刻理解的基础上多练习，牢记运算法则． 3．（2023春•大竹县校级期末）已知n正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 【分析】先利用积的乘方计算，再利用积的逆运算化成含有x2n的形式，再把x2n＝2代入计算即可． 【解答】解：原式＝9x6n﹣4x4n＝9（x2n）3﹣4（x2n）2， 当x2n＝2时，原式＝9×23﹣16＝56． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是先把所给的整式化成含有x2n次方的形式． 4．（2024秋•鄱阳县校级期末）已知3a＝2，3b＝6，3c＝8． （1）求2a+b﹣c的值； （2）求4a×2b+1÷2c的值． 【分析】（1）先求出32a＝4，再根据同底数幂的乘法、除法计算得出32a•3b÷3c＝4×6÷8＝3，即可求出2a+b﹣c的值； （2）将要求的式子变形为22a+b+1﹣c，结合（1）中的结果即可得出答案． 【解答】解：（1）∵3a＝2， ∴（3a）2＝4，即32a＝4， ∵3b＝6，3c＝8， ∴32a•3b÷3c＝4×6÷8＝3， ∴32a+b﹣c＝3， ∴2a+b﹣c＝1； （2）由（1）知2a+b﹣c＝1， ∴4a×2b+1÷2c的值 ＝（22）a×2b+1÷2c ＝22a×2b+1÷2c ＝22a+b+1﹣c ＝21+1 ＝22 ＝4． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2024春•宜兴市校级月考）（1）已知2m＝a，2n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式： ①求：2m+n的值； ②求：24m+6n的值． （2）已知2×8x×16＝223，求x的值． 【分析】（1）①利用同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； ②利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，即可求得x的值． 【解答】解：（1）当2m＝a，2n＝b时， ①2m+n＝2m×2n＝ab； ②24m+6n＝24m×26n＝（2m）4×（2n）6＝a4b6； （2）∵2×8x×16＝223， ∴2×23x×24＝223， 则21+3x+4＝223， ∴1+3x+4＝23， 解得：x＝6． 【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 6．（2024秋•襄阳月考）已知：5a＝3，5b＝8，5c＝72． （1）求52a的值． （2）求5a﹣b+c的值． （3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系． 【分析】（1）根据幂的乘方法则解答； （2）逆用同底数幂的乘、除法法则解答即可； （3）根据32×8＝72，结合幂的乘方、同底数幂的乘法法则可得结论． 【解答】解：（1）原式＝（5a）2＝32＝9； （2）5a﹣b+c ＝5a÷5b×5c ＝3÷8×72 ＝27； （3）∵（5a）2×5b＝32×8＝72， ∴52a+b＝5c， ∴2a+b＝c． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键． 7．（2023春•邗江区期末）按要求解答下列各小题． （1）已知10m＝12，10n＝3，求10m﹣n的值； （2）如果a+3b＝3，求3a×27b的值； （3）已知8×2m÷16m＝26，求m的值． 【分析】（1）利用同底数幂的除法的运算法则即可求解； （2）利用幂的乘方与积的乘方的运算法则，将3a×27b变形，再代入求解即可． （3）利用同底数幂的乘法与同底数幂的除法，联立方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵10m＝12，10n＝3， ∴10m﹣n ＝10m÷10n ＝12÷3 ＝4． （2）3a×27b ＝3a×（33）b ＝3a×33b ＝3a+3b， ∵a+3b＝3， ∴3a×27b＝33＝27． （3）∵8×2m÷16m ＝23×2m÷（24）m ＝23×2m÷24m ＝23+m﹣4m ＝23﹣3m， ∴23﹣3m＝26， 即3﹣3m＝6， 解得m＝﹣1． 【点评】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 题型十五 利用幂的乘方的性质比较大小 解题技巧提炼 方法一：底数比较法：化指数相同，比较底数的大小. 方法二：指数比较法：化底数相同，比较指数的大小. 方法三：乘方比较法：利用乘方，化成同底数幂，比较底数大小. 1．（2024春•桂平市期中）已知a＝233，b＝322，c＝511，那么a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【分析】直接利用指数幂的性质结合幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案． 【解答】解：∵a＝233＝（23）11＝811，b＝322＝（32）11＝911，c＝511， ∵5＜8＜9， ∴511＜811＜911， ∴c＜a＜b． 故选：A． 【点评】此题主要考查了指数幂的性质以及有理数的大小比较，正确将原式变形是解题关键． 2．（2024•龙凤区二模）已知a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＞b＞c＞d B．c＞b＞d＞a C．b＞c＞a＞d D．d＞b＞c＞a 【分析】先变形化简a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝8111，c＝533＝12511，d＝622＝3611，比较11次幂的底数大小即可． 【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝8111，c＝533＝12511，d＝622＝3611， ∴c＞b＞d＞a． 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 3．（2024秋•原阳县期中）已知a＝166，b＝89，c＝413，则a，b，c的小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c 【分析】利用幂的乘方的法则把各数的底数转为相等，再比较指数即可． 【解答】解：a＝166＝（24）6＝224； b＝89＝（23）9＝227； c＝413＝（22）13＝226； ∵24＜26＜27， ∴224＜226＜227； 即a＜c＜b． 故选：C． 【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（2024秋•雁峰区校级月考）在比较224和510的大小时，老师给出了如下的方法： 224＝27×3×23＝（27）3×23＝1283×8， 510＝53×3×51＝（53）3×51＝1253×5， 因为128＞125，8＞5，所以224＞510． 请你仿照上面的方法比较357和634的大小关系为（　　） A．357＜634 B．357＞634 C．357＝634 D．无法比较 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行比较大小即可． 【解答】解：357＝35×11×32＝（243）11×9，634＝（63）11×6＝21611×6， ∵243＞216，9＞6， ∴357＞634， 故选：B． 【点评】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 5．（2023秋•二道区校级月考）比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． 【分析】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得255＝3211、344＝8111、533＝12511，622＝3611，比较即可； （2）根据幂的乘方的逆用进行转换得a＝3124、b＝3123、c＝3122，比较即可； （3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果． 【解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611， ∵3211＜3611＜8111＜12511， ∴255＜622＜344＜533； （2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122， ∵3122＜3123＜3124， ∴961＜2741＜8131， ∴c＜b＜a； （3）∵， ∴P＝Q． 【点评】此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数或指数统一． 题型十六 与幂有关的新定义运算问题 解题技巧提炼 先根据新定义运算，列出算式，利用幂的运算性质进行计算即可解决问题. 1．（2024秋•洪雅县期中）若am＝b，则定义新运算：（a，b）＝m，根据定义新运算计算：（6，4）+（6，9）＝　 　． 【分析】根据题意可得：6m＝4，6n＝9，进而得到（6，4）+（6，9）＝（6，36），计算求解即可； 【解答】解：6m＝4，6n＝9， 6m+n＝4×9＝36， 根据定义新运算计算可得： （6，4）+（6，9）＝（6，36）＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2022秋•宛城区校级月考）我们知道，同底数幂乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g（m+n）＝g（m）•g（n），若g（1）＝﹣3，那么g（2020）•g（2021）＝　 ． 【分析】根据am•an＝am+n推理g（2020）•g（2021）的结果． 【解答】解：g（2020）•g（2021） ＝g（2020+2021） ＝g（4041） ＝g（1+1+1...+1） ＝[g（1）]（4041）； ∵g（1）＝﹣3， ∴原式＝﹣34041， 故答案为：﹣34041． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、有理数混合运算，掌握这两种运算法则，根据材料写出结论是解题关键． 3．（2023秋•青羊区校级期中）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（4，n）＝3，则n＝　 　；若（3，7）+（3，11）＝（3，m），则m的值为 　 ． 【分析】根据定义的新运算列式计算即可． 【解答】解：∵（4，n）＝3， ∴43＝n， 则n＝64； 设（3，7）＝x，（3，11）＝y，（3，m）＝z， 则3x＝7，3y＝11，3z＝m， ∵（3，7）+（3，11）＝（3，m）， ∴x+y＝z， 则3x+y＝3z， 那么m＝3x•3y＝7×11＝77； 故答案为：64；77． 【点评】本题考查有理数的乘方及同底数幂乘法，理解定义的新运算并列得正确的算式是解题的关键． 4．（2023春•建邺区校级期中）我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105． （1）试求12☆3和4☆8的值； （2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由． 【分析】（1）12☆3＝1012×103＝1015；4☆8＝104×108（1分）＝1012； （2）因为（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，即证明（a+b）☆c与a☆（b+c）相等． 【解答】解：（1）12☆3＝1012×103＝1015； 4☆8＝104×108＝1012； （2）相等，理由如下： ∵（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c， a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c， ∴（a+b）☆c＝a☆（b+c）． 【点评】本题考查了同底数幂运算，熟练运用公式是解题的关键． 5．（2023春•亭湖区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：①（3，243）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； ②若（x，）＝﹣4，则x＝　 　； （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由． 【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算； ②根据新定义和负整数指数幂计算； （2）根据题意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案． 【解答】解：（1）①∵35＝243， ∴（3，243）＝5， ∵（﹣2）5＝﹣32， ∴（﹣2，﹣32）＝5， 故答案为：5，5； （2）根据题意得：x﹣4， ∴， ∴x＝±2， 故答案为：±2； （3）a+b＝c，理由如下： 根据题意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30， ∵5×6＝30， ∴4a•4b＝4c， ∴4a+b＝4c， ∴a+b＝c． 【点评】本题考查了新定义，有理数的乘法，根据5×6＝30得到4a•4b＝4c是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.1 幂的乘除 知识点一 同底数幂的乘法 ◆1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二 幂的乘方 ◆1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三 积的乘方 ◆1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） ◆2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四 同底数幂的除法 ◆1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． ◆2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． ◆3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． ◆4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点五 零指数幂 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点六 负整数指数幂 ◆1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． ◆2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点七 科学记数法 ◆用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 题型一 同底数幂的乘法 解题技巧提炼 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、 同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘， 即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 1．（2024•池州二模）计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 2．（2024秋•西乡塘区校级期中）已知xa＝2，xb＝5，则xa+b等于（　　） A．7 B．10 C．20 D．50 3．（2023秋•浦东新区期末）在等式a2•（﹣a）•（　　）＝a11中，括号内的代数式应是（　　） A．a8 B．（﹣a）8 C．﹣a8 D．（﹣a）9 4．（2024春•宁化县月考）已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（　　） A．ab＝c B．a+b＝c C．a：b：c＝1：2：10 D．a2b2＝c2 5．（2024秋•青浦区月考）下列运算中，错误的个数是（　　） （1）a2+a2＝a4；（2）a2•a3＝a6；（3）an•an＝2an；（4）﹣a4•（﹣a）4＝a8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023春•高邑县期末）下列各式计算结果为a7的是（　　） A．（﹣a）2•（﹣a）5 B．（﹣a）2•（﹣a5） C．（﹣a2）•（﹣a）5 D．（﹣a）•（﹣a）6 7． （2023•闵行区校级开学）a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a）7•（﹣a）2． 题型二 同底数幂的乘法的逆运算 解题技巧提炼 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、当指数是和的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（2024秋•路南区期中）已知7x＝y，则7x+1＝（　　） A．x B．1+y C．7+y D．7y 2．（2024秋•儋州期中）若xm＝4，xn＝8，则xm+n＝（　　） A．32 B．16 C．4 D．64 3．（2024秋•思明区校级期中）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 4．若2x＝2，2y＝3，2z＝5，则2x+y+z的值为　 　． 5．若am＝4，am+n＝12，则an＝　 　． 题型三 幂的乘方 解题技巧提炼 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式． 1．（2024春•沈北新区期中）计算（﹣m2）3的结果是（　　） A．﹣m6 B．m6 C．﹣m5 D．m5 2．（2023•碑林区校级二模）计算：（﹣x3）2＝（　　） A．x6 B．﹣x6 C．x5 D．﹣x5 3．（2024秋•丰满区期末）下列计算正确的是（　　） A．a3+a4＝a7 B．（a2）3＝a6 C．（ab）3＝ab3 D．a4•a3＝a12 4．（2023•普陀区二模）已知（a2）m＝a6，那么m＝　 　． 5．计算： （1）（m2）3＝　 　； （2）（104）3＝　 　； （3）（5n）3＝　 　； （4）[（﹣7）2]3＝　 　； （5）（b2n+1）2＝　 　． 6．（2024春•惠济区期末）已知x2n＝5，则（x2n）2﹣（x2）n的值为 　 　． 7．（2024春•莱州市期末）若52x+1＝125，则（x﹣2）2022的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022 题型四 幂的乘方的逆运算 解题技巧提炼 1、幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 2、当指数是积的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（2023秋•绵阳期末）若am＝3，an＝2，则a2m+n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．18 2．（2023秋•淮阳区月考）已知2x+y＝2，则4x•2y的值为（　　） A．32 B．16 C．4 D．2 3．（2024•闵行区校级开学）已知x3n＝5，则2x9n＝　 　． 4．（2023秋•九龙坡区校级月考）已知，则32a×9b＝　 ． 5．（2023秋•商水县期末）已知x﹣3y+2＝0，则2x+y•4y﹣x＝　 　． 6．（2023春•合肥月考）已知x3n＝3，求（﹣2x2n）3+4（x2）3n的值． 7．（2023秋•榆树市月考）（1）已知273×94＝3x，求x的值． （2）已知10a＝2，10b＝3，求103a+b的值． 8．（2024秋•江津区期中）（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025． 题型五 积的乘方 解题技巧提炼 1、把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 1．（2024•廊坊模拟）计算（﹣3a2）3，正确的是（　　） A．﹣9a5 B．9a6 C．﹣27a6 D．27a6 2．（2024•平山县一模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 3．计算（ab2）3的结果是（　　） A．a3b6 B．a3b5 C．a3b5 D．a3b6 4．（2023秋•老河口市期末）下列运算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a3）2＝a5 C．（a2b）3＝a2b3 D．（﹣a2）3＝﹣a6 5．（2024春•西安期末）已知am＝3，bm＝2，则（ab）m＝　 　． 6．（2024春•丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求： （1）50x的值； （2）2x的值； （3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示） 题型六 积的乘方的逆运算 解题技巧提炼 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、逆用积的乘方公式时，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 1．（2023秋•碑林区校级期末）计算24046×（﹣0.25）2024的结果为（　　） A．﹣22022 B．22022 C． D． 2．计算0.52024×（﹣2）2024的值为（　　） A．﹣2 B．﹣0.5 C．1 D．2 3．（2023秋•蒸湘区校级月考）计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝　 ． 4．（2024春•锦江区校级期中）若2x+6y﹣3＝0，则4x•64y＝　 　． 5．（2024秋•高昌区月考）计算：　 　． 6．（2023秋•巴中期末）计算的值等于 　 　． 7．（2023•武安市三模）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 嘉嘉的作业 计算：85×（﹣0.125）5． 解：85×（﹣0.125）5＝（﹣8×0.125）5＝（﹣1）5＝﹣1． 请你参考嘉嘉的方法解答下列问题． 计算：（1）42023×（﹣0.25）2023； （2）． 题型七 同底数幂的除法 解题技巧提炼 1、同底数幂相除，底数不变，指数相减． 2、计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 1．（2024•长丰县校级模拟）计算x4÷（﹣x）的结果是（　　） A．﹣x3 B．﹣x4 C．x3 D．x4 2．（2023秋•晋江市期末）（﹣a6）÷（﹣a）2的运算结果是（　　） A．a4 B．﹣a4 C．a3 D．﹣a3 3．（2024•雁塔区校级开学）下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．（ab）3＝a3b C．（﹣a）3•（﹣a）＝a4 D．a6÷a3＝a2 4．（2023秋•禹城市期末）计算（﹣a2）3÷a4结果是（　　） A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3 5．（2023•天宁区校级模拟）若a7＝m，a5＝n（a≠0），那么a2用含m和n的代数式表示为（　　） A．m•n B． C． D．m﹣n 6．（2023春•渭南期中）已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a4，求xy﹣3（2x﹣y）的值． 7．（2023秋•朝阳区校级月考）计算： （1）（﹣1）3|2﹣π|； （2）（y3）2•y2； （3）x2•（x2）3÷x5； （4）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2． 题型八 同底数幂的除法的逆运算 解题技巧提炼 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错． 1．（2023秋•承德期末）若3x＝15，3y＝3，则3x﹣y＝（　　） A．5 B．3 C．15 D．10 2．（2023秋•应城市期末）若2x＝5，8y＝7，则2x﹣3y的值为（　　） A． B． C．35 D．﹣2 3．（2023秋•株洲期中）若xm＝5，xn，则x2m﹣n＝（　　） A． B．40 C． D．100 4．（2023秋•滑县期末）已知9m÷32m﹣2＝3n，n的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0.5 D．﹣0.5 5．（2024秋•新会区校级期末）已知am＝2，an＝3，ap＝5，则a2m+n﹣p的值是 　 　． 6．（2023春•渠县校级期末）已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝　 　． 题型九 零指数幂 解题技巧提炼 任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). 1．（2023•思明区校级二模）在0，2，（﹣3）0，﹣2这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．2 C．（﹣3）0 D．﹣2 2．（2023春•泰安期中）若a＝0.32，b＝﹣32，c＝（﹣3）0，那么a、b、c三数的大小为（　　） A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a 3．（2024秋•广丰区期末）式子（x+2）0无意义时，x＝　 　． 4．（2024春•庐阳区校级期中）已知，则x的值为（　　） A．2 B．﹣1或1 C．﹣1或1或2 D．﹣1或2 5．（1）（2024春•金寨县期末）计算：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2． （2）（2023秋•韩城市期末）计算：（﹣2）2﹣12022+（π﹣3.14）0． （3）（2023秋•普陀区校级期末）计算：． （4）（2023秋•浦东新区期末）计算：． 题型十 整数指数幂 解题技巧提炼 1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． 2、整数指数幂的运算性质可归结为： (1) am · an = am+n (m、n 是整数，a≠0)； (2) (am)n = a m n (m、n 是整数，a≠0)； (3) (ab)n = an bn (n 是整数，a≠0，b≠0). 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如果代数式（x﹣1）﹣1有意义，则x应该满足（　　） A．x≠±1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠1 2．（2024秋•邹平市期末）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2023）0＝0 B．2023﹣1＝﹣2023 C． D． 3．（2023春•金沙县期末）下列计算正确的有（　　） ①3﹣1＝﹣3；②；③；④（π﹣3.14）0＝1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023春•邯郸期末）若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b 5．（1）（2023•永春县校级开学）计算：． （2）（2023春•梅州期末）计算：2×（﹣1）2023﹣|﹣2|． 6．计算： （1）3a﹣2b•2ab﹣2； （2）． （3）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1） （4）（2xy﹣1）2•xy÷（﹣2x﹣2y） （5）（a﹣3b﹣2）﹣2•（ab3）﹣3． （6）（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2． 题型十一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解题技巧提炼 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10﹣n的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 1．（2024秋•官渡区期末）随着气温逐渐降低，流感病毒进入高发季，其中甲型HIN1流感病毒的直径约为0.0000000081米．数据0.0000000081用科学记数法表示为8.1×10n，则n的值是（　　） A．9 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣9 2．（2024秋•西城区期末）故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足0.0006米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将0.0006用科学记数法表示应为（　　） A．0.6×10﹣3 B．6×10﹣3 C．6×10﹣4 D．60×10﹣3 3．（2023秋•大洼区期末）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m．将数据0.000052用科学记数法表示为（　　） A．5.2×10﹣5 B．5.2×10﹣6 C．0.52×10﹣4 D．52×10﹣6 4．一个小数0.0…02024用科学记数法表示为2.024×10﹣15，则原数中“0”的个数为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 5．（2023秋•陇县期末）石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将0.00000034用科学记数法表示应为　 ． 6．（2023秋•宜春期末）“双碳”目标背景下，一种具有机电能量转换和储存装置的飞轮储能系统被列入了国家“十四五”新型储能技术试点示范重点．飞轮储能可以在约0.000139h完成整体场站一次调频，其性能远远优于火电机组．将数据0.000139用科学记数法表示为 　 　． 题型十二 把用科学记数法表示的数还原 解题技巧提炼 用科学记数法表示的绝对值小于1的数，指数的绝对值是几，小数点就向左 移几位. 1．（2023秋•长沙县期末）一种细菌的半径用科学记数法表示为1.2×10-5米，则这个数据可以写成（　　） A．120000 B．0.00012 C．0.000012 D．0.0000012 2．（2023春•雨城区校级期中）空气的密度是1.293×10﹣3g/cm3，用小数把它表示出来是（　　）g/cm3． A．0.0001293 B．0.001293 C．0.01293 D．0.1293 3．（2023•桥东区模拟）某种电子元件的面积大约为6.9×10﹣7mm2，将这个数据写成小数的形式为：0.0…069，这个小数中0的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024春•共青城市校级月考）每立方厘米的空气质量约为1.4×10﹣3g，用小数把它表示为 　 g． 5．（2023春•南海区校级月考）用科学记数法表示的数4.5×10﹣6还原成的原数为 　 ． 题型十三 与幂有关的混合运算 解题技巧提炼 与幂的有关的混合运算中，一般先算积的乘方或幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，即合并同类项． 1．（2024春•宝应县校级月考）计算： （1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3； （2）a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4． 2．（2024秋•思明区校级期中）计算： （1）a3•a3+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 3．（2024秋•徐水区期中）计算 （1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2． 4．（2024春•北湖区校级月考）计算： （1）（﹣x）•x2•（﹣x）6； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 5．计算； （1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2； （2）[（x2）3]2﹣3（x2•x3•x）2； （3）（﹣2anb3n）2+（a2b6）n； （4）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3． 题型十四 利用幂的运算性质求值 解题技巧提炼 灵活利用幂的运算性质求待定字母的值，主要是利用幂的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含字母的方程，解方程从而解答. 1．（2024秋•桃城区校级期末）如果a2n﹣1•an+2＝a7，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023春•莘县期末）若9×27+3×9×9+3×81＝3n，则n＝（　　） A．15 B．5 C．6 D．14 3．（2023春•大竹县校级期末）已知n正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 4．（2024秋•鄱阳县校级期末）已知3a＝2，3b＝6，3c＝8． （1）求2a+b﹣c的值； （2）求4a×2b+1÷2c的值． 5．（2024春•宜兴市校级月考）（1）已知2m＝a，2n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式： ①求：2m+n的值； ②求：24m+6n的值． （2）已知2×8x×16＝223，求x的值． 6．（2024秋•襄阳月考）已知：5a＝3，5b＝8，5c＝72． （1）求52a的值． （2）求5a﹣b+c的值． （3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系． 7．（2023春•邗江区期末）按要求解答下列各小题． （1）已知10m＝12，10n＝3，求10m﹣n的值； （2）如果a+3b＝3，求3a×27b的值； （3）已知8×2m÷16m＝26，求m的值． 题型十五 利用幂的乘方的性质比较大小 解题技巧提炼 方法一：底数比较法：化指数相同，比较底数的大小. 方法二：指数比较法：化底数相同，比较指数的大小. 方法三：乘方比较法：利用乘方，化成同底数幂，比较底数大小. 1．（2024春•桂平市期中）已知a＝233，b＝322，c＝511，那么a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a 2．（2024•龙凤区二模）已知a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＞b＞c＞d B．c＞b＞d＞a C．b＞c＞a＞d D．d＞b＞c＞a 3．（2024秋•原阳县期中）已知a＝166，b＝89，c＝413，则a，b，c的小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c 4．（2024秋•雁峰区校级月考）在比较224和510的大小时，老师给出了如下的方法： 224＝27×3×23＝（27）3×23＝1283×8， 510＝53×3×51＝（53）3×51＝1253×5， 因为128＞125，8＞5，所以224＞510． 请你仿照上面的方法比较357和634的大小关系为（　　） A．357＜634 B．357＞634 C．357＝634 D．无法比较 5．（2023秋•二道区校级月考）比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． 题型十六 与幂有关的新定义运算问题 解题技巧提炼 先根据新定义运算，列出算式，利用幂的运算性质进行计算即可解决问题. 1．（2024秋•洪雅县期中）若am＝b，则定义新运算：（a，b）＝m，根据定义新运算计算：（6，4）+（6，9）＝　 　． 2．（2022秋•宛城区校级月考）我们知道，同底数幂乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g（m+n）＝g（m）•g（n），若g（1）＝﹣3，那么g（2020）•g（2021）＝　 ． 3．（2023秋•青羊区校级期中）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（4，n）＝3，则n＝　 　；若（3，7）+（3，11）＝（3，m），则m的值为 　 ． 4．（2023春•建邺区校级期中）我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105． （1）试求12☆3和4☆8的值； （2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由． 5．（2023春•亭湖区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：①（3，243）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； ②若（x，）＝﹣4，则x＝　 　； （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由． 19 / 19 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