精品解析：福建省福州市连江县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期八年级期中适应性测试 数学试卷 （全卷共6页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 北京时间2024年8月12日，巴黎奥运会闭幕，经过激烈的角逐，中国奥运代表团实现了境外奥运历史上金牌总数的突破，让我们来找找下列奥运会运动标识中，属于轴对称图形的是（ ） A. 篮球 B. 射击 C. 拳击 D. 游泳 2. 以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（ ）组． A. 4，7，3 B. 4，7，4 C. 4，7，11 D. 4，7，12 3. 下列运算的结果为a6的是 A. B. C. D. 4. 如图．花瓣图案中的正六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 5. 若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得（ ） A. B. C. D. 6. 同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面是四位同学的答案，其中错误的是（ ） ，_______ （添加一个条件，使结论成立）， ． A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，于点，点在边上，且．则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙都正确 B. 甲、丙正确，乙错误 C. 甲、乙正确，丙错误 D. 只有甲正确 9. 若，则实数a、b的符号为（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. a、b异号且绝对值大的为正 D. a、b异号且绝对值大的为负 10. 如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12.5 C. 15 D. 17.5 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 13. 如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距_____海里． 14. 如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则______． 15. 如图，将两块大小完全相同的等腰直角三角板的直角边分别贴紧角的两边，角的顶点与的顶点互相重合，另外两条直角边相交于点，做射线，则射线是的角平分线，其中的原理利用了全等三角形的性质，那么判定的依据是______． 16. 如图，四边形中，，，连接交于点，点关于直线的对称点恰好在上，且，若的面积为3，则的长为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，是上一点，交于点，，．求证：点为中点． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请分别画出的边上的中线和边上的高，并直接写出点，的坐标为（______），（______） （2）画出与关于直线对称的图形，并写出点的坐标． 20. 如图，中，是的平分线，，，、为垂足，连接交于求证：垂直平分． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一个点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 22. 小陈网购了一批总长为米栅栏，准备在自己家后面的空地上围一个长比宽多2米的长方形场地养兔子，设长方形的长为，宽为． （1）求和的长；（结果用含的式子表示） （2）若用这批总长相同的栅栏围成一个正方形场地，请你判断所围的正方形场地与小陈所围的长方形场地哪个面积大？并说明理由． 23. 如图，平面直角坐标系，，，射线在第一象限内，分别过点A，作于点，于点D， （1）求证：； （2）若，，求点坐标． 24. 如图，是等边三角形，过点的直线交于点，设，线段与线段关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接交直线于点． （1）求的度数； （2）求证：． 25. 【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ （1）【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． （2）【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期八年级期中适应性测试 数学试卷 （全卷共6页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 北京时间2024年8月12日，巴黎奥运会闭幕，经过激烈的角逐，中国奥运代表团实现了境外奥运历史上金牌总数的突破，让我们来找找下列奥运会运动标识中，属于轴对称图形的是（ ） A. 篮球 B. 射击 C. 拳击 D. 游泳 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B 2. 以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（ ）组． A. 4，7，3 B. 4，7，4 C. 4，7，11 D. 4，7，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A、，4，7，3不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，4，7，4能组成三角形，故本选项符合题意； C、，4，7，11不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，4，7，12不能够组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算的结果为a6的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算作出判断． 【详解】A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意． 故选C． 4. 如图．花瓣图案中的正六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式：多边形的内角和，即可求解． 【详解】解：正六边形的内角和， 故选：A． 5. 若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由图中的两个三角形全等，可得出角对应的边长为10，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出角对应的边长． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴角对应的边长为10， ∴， ∴角对应的边长， 故选：D． 6. 同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面是四位同学的答案，其中错误的是（ ） ，_______ （添加一个条件，使结论成立）， ． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，， A、添加的条件是：，无法判断，故选项A符合题意； B、添加的条件是：，根据可证明，故选项B不符合题意； C、添加的条件是：，根据可证明，故选项C不符合题意； D、添加的条件是：，根据可证明，故选项D不符合题意； 故选：A． 7. 如图，中，，，，于点，点在边上，且．则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙都正确 B. 甲、丙正确，乙错误 C. 甲、乙正确，丙错误 D. 只有甲正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：∵所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确， 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键． 9. 若，则实数a、b的符号为（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. a、b异号且绝对值大的为正 D. a、b异号且绝对值大的为负 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式法则以及有理数的加法和乘法，将左边，对比两边，相同项的系数相同，可得，，根据两数相乘异号得负可知a、b异号，再根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，即可解答． 【详解】解：将左边式子展开可得，， ∴，， ∴a、b异号且绝对值大的为负， 故选：D． 10. 如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12.5 C. 15 D. 17.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质．连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值为的长． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的逆运算和有理数的乘方求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】． 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质，解题关键是明确平面直角坐标系中关于坐标轴对称点的变化特征． 13. 如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距_____海里． 【答案】40 【解析】 【分析】连结AC,根据方向角可知,又由题意得AB＝BC，得到是等边三角形，即可求解. 【详解】连结AC, , , 由题意得AB＝BC，又. 所以是等边三角形. 所以AC＝40. 故答案为40. 【点睛】考查了解三角形的应用－方向角问题,此题结合航海中的实际问题,将等边三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想. 14. 如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据网格特点得，利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ∵， ∴， 故答案为：45． 15. 如图，将两块大小完全相同的等腰直角三角板的直角边分别贴紧角的两边，角的顶点与的顶点互相重合，另外两条直角边相交于点，做射线，则射线是的角平分线，其中的原理利用了全等三角形的性质，那么判定的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：．由判定，即可得到答案． 【详解】解：∵两块三角板是完全相同的等腰直角三角形， ， 在和中， ， ∴判定的依据是． 故答案为：． 16. 如图，四边形中，，，连接交于点，点关于直线的对称点恰好在上，且，若的面积为3，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，利用平方根的含义解方程，连接，设，证明，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：连接， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好在上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴，而， ∴． 故答案为： 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式运算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则； （1）根据单项式除单项式，积的乘方计算即可； （2）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，是上一点，交于点，，．求证：点为中点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确判定是解题关键．首先根据“两直线平行，内错角相等”证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为中点． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请分别画出的边上的中线和边上的高，并直接写出点，的坐标为（______），（______） （2）画出与关于直线对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析；；； （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线、三角形的高、轴对称变换等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先确定中点的位置，连接即可；根据三角形的高的定义，作出边上的高即可；结合图形确定点，的坐标即可； （2）根据轴对称的性质确定点关于的对称点，连接，再结合图形确定点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 由图可知，，； 【小问2详解】 如图所示，由图可知点的坐标为． 20. 如图，中，是的平分线，，，、为垂足，连接交于求证：垂直平分． 【答案】证明详见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有，，，，等腰三角形的顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边．根据证，推出，根据等腰三角形性质推出即可． 【详解】证明：是的平分线， ，， ，， 在和中 ， ， ， 是的平分线， 垂直平分． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一个点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，作的平分线交于D，则点D即为所求； （2）解法一：根据角平分线定义和等腰三角形的性质得到．然后利用三角形的内角和定理求得．再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； 解法二：过点作，交于点，利用角平分线的性质定理得到，证明得到，再利用等腰三角形的性质求得即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点为所求作的点； 【小问2详解】 解法一：由（1）得，点到的距离等于， 平分，即． ， ． ， ， ． ， ； 解法二：过点作，交于点， 由（1）得，到的距离等于， 即， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 即的长为6． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、角平分线的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 小陈网购了一批总长为米栅栏，准备在自己家后面的空地上围一个长比宽多2米的长方形场地养兔子，设长方形的长为，宽为． （1）求和的长；（结果用含的式子表示） （2）若用这批总长相同的栅栏围成一个正方形场地，请你判断所围的正方形场地与小陈所围的长方形场地哪个面积大？并说明理由． 【答案】（1）， （2）所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式运算等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据长比宽多2米，可知，结合栅栏总长为米以及长方形周长公式，即可确定答案； （2）首先根据正方形周长公式可得正方形的边长为米，易得正方形的面积为平方米，而长方形面积为平方米，由，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵长方形的长为，宽为，长比宽多2米， ∴， ∵栅栏总长为米， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大，理由如下： ∵所围的正方形周长为米， ∴正方形的边长为米， ∴正方形的面积为平方米， ∵小陈搭的长方形面积为平方米， ∴， 即， ∴所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大． 23. 如图，平面直角坐标系，，，射线在第一象限内，分别过点A，作于点，于点D， （1）求证：； （2）若，，求点坐标． 【答案】（1） 证明：，， ，， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系，全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质， （1）根据题意可得，结合垂直可得和，即可利用证明； （2）过点作轴于点，则，可求得、和，进一步求得和，由（1）得：，求得，即有即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作轴于点，如图， ， ， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， 点坐标为． 24. 如图，是等边三角形，过点的直线交于点，设，线段与线段关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接交直线于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得，，再根据轴对称的性质得，，则，，进而得，然后再根据三角形的外角性质可得出的度数； （2）在线段上截取，连接，先证明是等边三角形得，，由此可证明，则，然后根据等边三角形的性质得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：线段与线段关于直线对称，， ，垂直平分． ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，在线段上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， 线段与线段关于直线对称， ，且平分， ，， ，， ， 又， ，在与中， ， ， ， 又，， ， 即， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的关键． 25. 【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ （1）【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． （2）【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；③ （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解； （2）①法一：在上取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法二：在的延长线取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法三：过点作于点，过点作交的延长线于点，利用分别证明和，进而求解；②根据等边三角形的性质可得，，， 在上取点使得，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解； 【小问1详解】 解： 证明：在上取一点，使． ， ． 又 而． ． ， ． 又． ． ． 故答案为：；； 【小问2详解】 ①法一：证明：在上取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， 即， 在与中 ， ， ， 点为的中点； 法二：证明：在的延长线取一点，使得， 则 ， ， ， ， ， ， 在与中 ， 点为的中点； 法三：证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， 在与中， ， ， 点为的中点； 证明：在的延长线取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 点为的中点， ② 详细解答如下： 依题意画出图形如图所示， 为等边三角形， ，，， 在上取点使得， 是等边三角形， ，， ，， ， 又点为的中点， ， ， 在与中 ， ， 又， ， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $