（趣味奥数）第二讲 盈亏问题-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

盈亏问题 老木匠的木材分配之智 在宁静悠远的桃源村，生活着一位经验丰富、手艺精湛的老木匠 —— 李爷爷。他收了两个徒弟，大徒弟阿福老实憨厚，干活踏实；小徒弟阿明头脑灵活，点子颇多。 一天，村里接到通知，要为邻村修建一座友谊礼堂，李爷爷揽下了制作礼堂长椅的活儿，便带着两个徒弟进山伐木取材。师徒三人辛苦了数日，满载而归，共运回了 100 根长短粗细相近的优质木材。 李爷爷打算将这些木材合理分配给两个徒弟去打造长椅部件，他根据两人平日的手艺熟练程度和工作效率，心中有了盘算。他把阿福和阿明叫到跟前，说道：“为师打算把这些木材分给你们，若我给阿福每人分 10 根，给阿明每人分 8 根，最后阿福会少 4 根，阿明会多 4 根，你们俩且算一算，为师该给你们各分多少人份的木材，才能不盈不亏，恰到好处？” 阿福挠了挠头，闷声闷气地拿起树枝在地上比划起来。他心想，设分给我的人数为 x，分给阿明的人数为 y，按照师傅说的可得方程：10x - 4 = 8y + 4，化简一下就是 10x - 8y = 8，可这方程怎么解，一时让阿福犯了难。 阿明眼珠子滴溜一转，脑子飞速运转，他想到了一个巧妙的办法。他对师傅说：“师傅，您看啊，阿福每人分 10 根少 4 根，阿明每人分 8 根多 4 根，这说明什么呢？要是把阿明多的 4 根补给阿福，不就正好了嘛！这样一来，阿福相当于每人分 10 根的时候，一共需要 8 + 4 = 12 根，而这 12 根正好是阿福每人多分 10 - 8 = 2 根凑出来的，所以阿福这边的人数就是 12÷2 = 6 人。” 算出阿福的人数后，阿明接着说：“知道阿福是 6 人，那阿福一共需要木材 6×10 - 4 = 56 根，剩下的木材给我，我这边木材有 100 - 56 = 44 根，又因为我每人分 8 根正好，所以我这边的人数就是 44÷8 = 5.5 人，可人数不能是半个呀，师傅您是不是数据给错啦？” 李爷爷捻须大笑：“阿明啊，你这脑子转得够快，为师故意把数据设得有点小‘陷阱’，实际干活哪能有半个的人，其实是为师想考考你们，这木材分配得灵活变通，你们俩表现都不错，阿福的踏实、阿明的机灵，都是咱们木匠活儿不可或缺的。” 经此一事，阿福明白了做事要多思考不同方法，不能一味蛮干；阿明也懂得了实际操作中要结合实际情况，不能光凭理论。师徒三人带着这些木材，又开启了忙碌而有序的长椅制作之旅，桃源村与邻村的友谊礼堂，也在他们的叮叮当当声中逐渐有了雏形。 盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。 一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住： 1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数； 2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数； 3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。 1：一个旅游团支旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间，少2个房间。旅馆有房间多少？旅游团有多少人？ 答案：旅馆有房间10间，旅游团有48人。 【思路分析】 6人一间，多2个房间，即6人一间，则人数缺6×2＝12人；若4人一间，少2个房间，则若4人一间，人数多出4×2＝8人；对比两次分配方法，盈12人，亏8人，两次分配的差为6－4＝2人，则房间数为（12＋8）÷（6－4）＝10间，人数为（10－2）×6＝48人。 【标准答案】 6×2＝12（人） 4×2＝8（人） （12＋8）÷（6－4） ＝20÷2 ＝10（间） （10－2）×6 ＝8×6 ＝48（人） 答：旅馆有房间10间，旅游团有48人。 1.粉笔盒里装的白粉笔支笔是彩色粉笔的5倍，教师们每天用去白粉笔20支，彩色粉笔6支。若干天后盒子中余下的白粉笔60支，而彩色粉笔已断用了2天，粉笔盒中原有白粉笔、彩色粉笔各多少支？ 2. 四年级同学参加植树活动，如果每班种10棵树，还剩6棵树苗；如果剩下的每班再种2棵，就少4棵树苗。四年级一共植树多少棵？ 3．学校给住宿的新生安排宿舍，如果按7人一间安排比按8人一间多用两间宿舍，有多少住宿的新生？ 2： 学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，如果每辆车乘28人，则有13名同学上不了车；如果每辆车乘32人，则还有3个空座。一共有同学几名？ 【思路分析】如果每辆车乘28人，则有13名同学上不了车，即每辆车乘28人，人数多出13人；如果每辆车乘32人，则还有3个空座，则每辆车乘32人，人数缺少3人；对此两次乘车的方法，第二次比第一次每辆车多乘32－28＝4人，则就要多乘人数13＋3＝16人；用多乘的人数÷两次乘车的人数差＝车数，再用车数×每车乘人数＋多（或－少）的人数＝总人数。 【标准答案】 （13＋3）÷（32－28） ＝16÷4 ＝4（辆） 4×28＋13 ＝112＋13 ＝125（人） 答：一共有125名同学。 点睛：解决本题的关键是对比两次乘车方法差异以及造成这个人数差异的原因，算出盈与亏。此题也可以用方程求解。 4．用一根长绳测量井的深度。如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折多5米，表示绳子长度是井深的2倍多10米。） 5．筑一条公路，如果每天修240米，修完全路就得延期5天，如果每天修300米，修完全路就提前两天，那么每天修多少米正好在规定时间完工？（即不延期，也不提前） 6．学生划船，如每船4人，则少3只船，如每船6人，就空了2个位子，划船几人？租了几只船？ 3：某校安排学生宿舍，如果每间4人，则有6人没有床位，如果每间6人，则空了2间宿舍，该校有宿舍多少间？学生多少人？ 【思路分析】如果每间4人，则有6人没有床位，即如果每间4人，则人数多6人；如果每间6人，则空了2间宿舍，即如果每间6人，则人数少6×2＝12人；对比两次分配的方法，盈6，亏12，两次分配的人数差为6－4＝2人，则房间数为（12＋6）÷（6－4）＝9（间），总人数为4×9＋6＝42人。 【标准答案】 2×6＝12（人） （12＋6）÷（6－4） ＝18÷2 ＝9（间） 4×9＋6 ＝36＋6 ＝42（人） 答：该校有宿舍9间，学生42人。 7．某班组织野营活动，需租借小木船过河，若每只船10人，则还空有两人的座位；若每只船乘12人，则可少租一只船，而且刚好坐满。这时每人可节省0.5元，问租用一只小船要多少元？ 8．用一根绳子测量井的深度，用绳子对折来量，井外余6米；用绳子一折四来量，井外余1米。井深和绳子各多少？ 9．用一根绳子测量，将绳子对折来量，井外余4米；将绳子三折来量，井外余2米。井深和绳子各多少米？ 4：用绳子测游泳池的水深，绳子两折时，余6分米，绳子三折时还差4分米，求绳长和游泳池的深度。 【思路分析】绳子两折时，余6分米，即绳子的长度是游泳池深度的2倍多12分米，绳子三折时还差4分米，即绳子的长度是游泳池深度的3倍少12分米；对比两次测量可知，绳子多折一次，长度就由原来的多12分米边成少12分米，即绳子1折的长度是12＋12＝24分米，即游泳池深度是24分米，绳长24×2＋6×2＝60分米。 【标准答案】 6×2＝12（分米） 3×4＝12（分米） （12＋12）÷（4－3） ＝24÷1 ＝24（分米） 24×2＋6×2 ＝48＋12 ＝60（分米） 答：绳长60分米，游泳池深24分米。 10.同学们去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，还有2人留在岸边。共有几只船？划船的同学是多少人？ 11.某校学生参加劳动，分成若干组，每组8人，觉得每组人数太少，把每组改为12人，因此减少2组，参加劳动的学生共有多少人？ 12.同学们乘车去春游，若每车坐55人，则还可再坐30人；若每车坐50人，则还可再坐10人，问共有车几辆？共有学生多少人？ 分数的起源 人类历史上最早产生的数是自然数，随着生产活动的发展，在度量和均分时很难正好得到整数的结果，这样就产生了分数。 看似简单的分数，它的产生可经历了一个漫长过程。刚开始人们也只是使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现了三分之一，三分之二等简单的分数。今天我们认识分数也是按这样一个过程进行的。 2000多年前，中国有了分数，但是当时分数表现形式与现在不一样，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。当除不尽时，把余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式。现在的分数形式是阿拉伯人发明的。 为什么叫分数呢？分数这个名称能直观而生动地表示这种数的特征。分数是为度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。 1：一个旅游团支旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间，少2个房间。旅馆有房间多少？旅游团有多少人？ 答案：旅馆有房间10间，旅游团有48人。 【思路分析】 分析：6人一间，多2个房间，即6人一间，则人数缺6×2＝12人；若4人一间，少2个房间，则若4人一间，人数多出4×2＝8人；对比两次分配方法，盈12人，亏8人，两次分配的差为6－4＝2人，则房间数为（12＋8）÷（6－4）＝10间，人数为（10－2）×6＝48人。 【标准答案】 详解：6×2＝12（人） 4×2＝8（人） （12＋8）÷（6－4） ＝20÷2 ＝10（间） （10－2）×6 ＝8×6 ＝48（人） 答：旅馆有房间10间，旅游团有48人。 1.粉笔盒里装的白粉笔支笔是彩色粉笔的5倍，教师们每天用去白粉笔20支，彩色粉笔6支。若干天后盒子中余下的白粉笔60支，而彩色粉笔已断用了2天，粉笔盒中原有白粉笔、彩色粉笔各多少支？ 答案：粉笔盒中原有白粉笔300支，彩色粉笔60支。 分析：“每天用去白粉笔20支，彩色粉笔6支。若干天后盒子中余下的白粉笔60支，而彩色粉笔已断用了2天”，即每天用白粉笔20支，彩色粉笔6支，若干天后，白粉笔剩下60支，彩色粉笔少6×2＝12支；因为白色粉笔是彩色粉笔的5倍，如果每天白色粉笔用20支，彩色粉笔用4支，则当剩下白色粉笔60支时，彩色粉笔应该剩下60÷5＝12支；对比两次的分配方法，亏12，盈12，两次分配彩色粉笔的数量差为6－4＝2支，所以一共用了（12＋12）÷（6－4）＝12天，彩色粉笔有（12－2）×6＝60支，白色粉笔60×5＝300支。 详解：20÷5＝4（支） 60÷5＝12（支） 2×6＝12（支） （12＋12）÷（6－4） ＝24÷2 ＝12（天） （12－2）×10 ＝10×10 ＝60（支） 60×5＝300（支） 答：粉笔盒中原有白粉笔300支，彩色粉笔60支。 点睛：本题中分配的对象有白色粉笔和彩色粉笔两种，根据白色粉笔与彩色粉笔的倍数关系将题中的分配方法按照白色粉笔与彩色粉笔的倍数关系进行分配，从而得到两次分配彩色粉笔的盈与亏是解决本题的关键。本题还可以采用假设法与方程法解。 2. 四年级同学参加植树活动，如果每班种10棵树，还剩6棵树苗；如果剩下的每班再种2棵，就少4棵树苗。四年级一共植树多少棵？ 答案：56棵 分析：如果每班种10棵树，还剩6棵树苗，即每班种10棵树，还多6棵树苗；如果剩下的每班再种2棵，就少4棵树苗，即若每班种12棵，则少4棵；即盈6，亏4，两次分配的差为12－10＝2，班级数为（6＋4）÷2＝5（个），树苗棵数为：5×10＋6＝56棵。 详解：10＋2＝12（棵） （6＋4）÷（12－10） ＝10÷2 ＝5（个） 5×10＋6 ＝50＋6 ＝56（棵） 答：四年级一共植树56棵。 点睛：根据题意求出盈与亏是解决本题的关键，本题也可以使用方程方法求解。 3．学校给住宿的新生安排宿舍，如果按7人一间安排比按8人一间多用两间宿舍，有多少住宿的新生？ 答案：112人 分析：按7人一间安排比按8人一间多用两间宿舍，即若每间房住7人，人数会多7×2＝14人；用“多出的人数÷多用的房间数”即可算得房间总数，在用房间总数×每间房的人数＋多（或－少）的人数即可算出总人数。 详解：2×7＝14（人） 14÷（8－7） ＝14÷1 ＝14（间） 14×7＋2×7 ＝98＋14 ＝112（人） 答：有112个住宿的新生。 点睛：将本题中多用的房间数转化成多出的人数是解决本题的关键。本题也可以使用方程法解。 2： 学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，如果每辆车乘28人，则有13名同学上不了车；如果每辆车乘32人，则还有3个空座。一共有同学几名？ 【思路分析】如果每辆车乘28人，则有13名同学上不了车，即每辆车乘28人，人数多出13人；如果每辆车乘32人，则还有3个空座，则每辆车乘32人，人数缺少3人；对此两次乘车的方法，第二次比第一次每辆车多乘32－28＝4人，则就要多乘人数13＋3＝16人；用多乘的人数÷两次乘车的人数差＝车数，再用车数×每车乘人数＋多（或－少）的人数＝总人数。 【标准答案】 （13＋3）÷（32－28） ＝16÷4 ＝4（辆） 4×28＋13 ＝112＋13 ＝125（人） 答：一共有125名同学。 点睛：解决本题的关键是对比两次乘车方法差异以及造成这个人数差异的原因，算出盈与亏。此题也可以用方程求解。 4．用一根长绳测量井的深度。如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折多5米，表示绳子长度是井深的2倍多10米。） 答案：绳子长度是36米；井深13米。 分析：如果绳子两折时，多5米，即绳子长度是井深的2倍多5×2＝10米；如果绳子三折时，差1米，绳子长度是井深的3倍少3×1＝3米；用多出的绳子长度加上缺少的绳子长度再除以（3－2），即可计算出井深多少米，然后根据绳子的对折可计算出绳子的长度。 详解：2×5＝10（米） 1×3＝3（米） （10＋3）÷（3－2） ＝13÷1 ＝13（米） （13＋5）×2 ＝18×2 ＝36（米） 答：绳子长度是36米，井深13米。 点睛：解答此题的关键是分析出2折多5米，其实是多单根绳子的10米，3折少1米，其实是少了单根绳子的3米，然后再用两数之和除以3－2即可得到井深，然后再依据题意计算出绳子的长度即可。 5．筑一条公路，如果每天修240米，修完全路就得延期5天，如果每天修300米，修完全路就提前两天，那么每天修多少米正好在规定时间完工？（即不延期，也不提前） 答案：280米 分析：如果每天修240米，修完全路就得延期5天，即若按照原定时间计算，每天修240米，则就会少修240×5＝1200米；如果每天修300米，修完全路就提前两天，即若按照原定时间计算，每天修300米，就会多修300×2＝600米；两次修路的长度差为1200＋600＝1800米，每天修路的长度差为300－240＝60米，则原定时间为1800÷60＝30天，总长度为（30＋5）×240＝8400米，原计划每天修8400÷30＝280米。 详解：240×5＝1200（米） 300×2＝600（米） （1200＋600）÷（300－240） ＝1800÷60 ＝30（天） （30＋5）×240 ＝35×240 ＝8400（米） 8400÷30＝280（米/天） 答：每天修280米正好在规定时间完工。 点睛：将本题中的延期或提前的天数转化成少修或多修的米数，计算出盈与亏是解决本题的关键。 6．学生划船，如每船4人，则少3只船，如每船6人，就空了2个位子，划船几人？租了几只船？ 答案：划船的有40人，租用了7只船。 分析：如每船4人，则少3只船，即如每船4人，人数多4×3＝12人；如每船6人，就空了2个位子，即如每船6人，人数少2人；对比两次的分配方法，盈12，亏2，两次分配的人数差为6－4＝2人，则船数为（12＋2）÷（6－4）＝7只，人数为6×7－2＝40人。 详解：4×3＝12（人） （12＋2）÷（6－4） ＝14÷2 ＝7（只） 6×7－2 ＝42－2 ＝40（人） 答：划船的有40人，租用了7只船。 点睛：将本题中少的船只数转化成多的人数，计算出盈与亏是解决本题的关键。本题也可以使用方程法求解。 3：某校安排学生宿舍，如果每间4人，则有6人没有床位，如果每间6人，则空了2间宿舍，该校有宿舍多少间？学生多少人？ 【思路分析】如果每间4人，则有6人没有床位，即如果每间4人，则人数多6人；如果每间6人，则空了2间宿舍，即如果每间6人，则人数少6×2＝12人；对比两次分配的方法，盈6，亏12，两次分配的人数差为6－4＝2人，则房间数为（12＋6）÷（6－4）＝9（间），总人数为4×9＋6＝42人。 【标准答案】 2×6＝12（人） （12＋6）÷（6－4） ＝18÷2 ＝9（间） 4×9＋6 ＝36＋6 ＝42（人） 答：该校有宿舍9间，学生42人。 7．某班组织野营活动，需租借小木船过河，若每只船10人，则还空有两人的座位；若每只船乘12人，则可少租一只船，而且刚好坐满。这时每人可节省0.5元，问租用一只小船要多少元？ 答案：租用一只小船要用24元。 分析：若每只船10人，则还空有两人的座位，即若每只船10人，则人数差2人；若每只船乘12人，则可少租一只船，则每只船乘12人，人数少12×1＝12人，对比两次的分配方法，亏2，亏12，两次分配的人数差为12－10＝2人，则船数为（12－2）÷（12－10）＝5只，人数为（5－1）×12＝48人；少租用一只船，每人可以节约0.5元，则一只船的租用价格为48×0.5＝24元。 详解：12×1＝12（人） （12－2）÷（12－10） ＝10÷2 ＝5（只） （5－1）×12 ＝4×12 ＝48（人） 48×0.5＝24（元） 答：租用一只小船要用24元。 点睛：本题中将少租的船数转化成人数，从而统一两次分配的单位是解决本题的关键。本题也可以使用方程法。 8．用一根绳子测量井的深度，用绳子对折来量，井外余6米；用绳子一折四来量，井外余1米。井深和绳子各多少？ 答案：井深4米，绳长20米。 分析：用绳子对折来量，井外余6米，即绳子的长度是井深度的2倍多12米；用绳子一折四来量，井外余1米，即绳子长为井深的4倍多4米；对比两次测量可知，盈12，盈4，则井深（12－4）÷（4－2）＝4米，绳子长4×2＋6×2＝20米。 详解：6×2＝12（米） 4×1＝4（米） （12－4）÷（4－2） ＝8÷2 ＝4（米） 4×2＋6×2 ＝8＋12 ＝20（米） 答：井深4米，绳长20米。 点睛：本题中的绳子几折后剩余的米数是指每一段绳子均剩余的米数。本题也可以使用方程法解。 9．用一根绳子测量，将绳子对折来量，井外余4米；将绳子三折来量，井外余2米。井深和绳子各多少米？ 答案：井深2米，绳子长12米。 分析：绳子对折来量，井外余4米，即绳子的长度是井的2倍多8米；将绳子三折来量，井外余2米，即绳子的长度是井的3倍多6米；对比两次的测量方法，盈8米，盈6米，两次测量的倍数差为3－2＝1（倍），则井的深度为（8－6）÷（3－2）＝2米，绳子长度为2×2＋8＝12米。 详解：2×4＝8（米） 3×2＝6（米） （8－6）÷（3－2） ＝2÷1 ＝2（米） 2×2＋8 ＝4＋8 ＝12（米） 答：井深2米，绳子长12米。 点睛：对比两次的测量方法算出盈与亏是解决本题的关键。要注意绳子对折或三折后井外余的米数是指绳子每一段余的米数。 4：用绳子测游泳池的水深，绳子两折时，余6分米，绳子三折时还差4分米，求绳长和游泳池的深度。 【思路分析】绳子两折时，余6分米，即绳子的长度是游泳池深度的2倍多12分米，绳子三折时还差4分米，即绳子的长度是游泳池深度的3倍少12分米；对比两次测量可知，绳子多折一次，长度就由原来的多12分米边成少12分米，即绳子1折的长度是12＋12＝24分米，即游泳池深度是24分米，绳长24×2＋6×2＝60分米。 【标准答案】 6×2＝12（分米） 3×4＝12（分米） （12＋12）÷（4－3） ＝24÷1 ＝24（分米） 24×2＋6×2 ＝48＋12 ＝60（分米） 答：绳长60分米，游泳池深24分米。 10.同学们去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，还有2人留在岸边。共有几只船？划船的同学是多少人？ 答案：共有5只船，划船的同学有32人。 分析：如果每只船坐4人，则少3只船，即如果每只船坐4人，人数多3×4＝12人；如果每只船坐6人，还有2人留在岸边，即如果每只船坐6人，人数多2人；对比两次分配的方法，盈12，盈2，两次分配的人数差为6－4＝2人，则船有（12－2）÷（6－4）＝5只，人数有（5＋3）×4＝32人。 详解：3×4＝12（人） （12－2）÷（6－4） ＝10÷2 ＝5（只） （5＋3）×4 ＝8×4 ＝32（人） 答：共有5只船，划船的同学有32人。 点睛：将本题中缺少的船只数转化多的人数是解决本题的关键，本题也可以使用方程法求解。 11.某校学生参加劳动，分成若干组，每组8人，觉得每组人数太少，把每组改为12人，因此减少2组，参加劳动的学生共有多少人？ 答案：48人 分析：分成若干组，每组8人，则若每组8人，人数刚好分完；把每组改为12人，因此减少2组，即若每组12人，则人数少2×12＝24人；对比两次分配方法，盈0，亏24，两次分配的人数差为12－8＝4人，则组数为24÷4＝6组，总人数为6×8＝48人。 详解：2×12＝24（人） 24÷（12－8） ＝24÷4 ＝6（组） 6×8＝48（人） 答：参加劳动的学生有48人。 点睛：把本题中的减少的组数转化成人数缺少的数量，算出盈与亏是解决本题的关键。 12.同学们乘车去春游，若每车坐55人，则还可再坐30人；若每车坐50人，则还可再坐10人，问共有车几辆？共有学生多少人？ 答案：共有4辆车，共有学生190人。 分析：若每车坐55人，则还可再坐30人，即每车坐55人，人数少30人；若每车坐50人，则还可再坐10人，即每车坐50人，人数少10人；对比两次分配方法可知，亏30，亏10，两次分配的人数差是55－50＝5人，则车数为（30－10）÷（55－50）＝4辆，人数为4×55－30＝190人。 详解：（30－10）÷（55－50） ＝20÷5 ＝4（辆） 4×55－30 ＝220－30 ＝190（人） 答：共有4辆车，共有学生190人。 点睛：此题属于盈亏问题，考查了关系式（大亏数－小亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$