（趣味奥数）第一讲 分数的加减巧算-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

分数的加减巧算 烘焙店里的数学挑战 在小镇的街角，有一家温馨的烘焙店，店主老亨利手艺精湛，他做的面包和蛋糕总是供不应求。 有一天，店里来了两个机灵的小学徒，杰克和艾米。老亨利想考考他们，看看谁更有数学头脑，能帮着把店里的原料用量算得又快又准。 正值秋季，店里要推出新款南瓜香料蛋糕，需要混合几种不同甜度的糖浆。老亨利拿出三个装着糖浆的罐子，说：“杰克，艾米，这一罐里的糖浆是之前蛋糕用量的 1/3，这一罐是之前用量的 1/5，还有这一罐是之前用量的 1/6，我现在要调配出一个新口味，需要把这三种糖浆混合起来，总量得是之前蛋糕用糖浆量的几分之几呀？” 杰克一听，立刻拿出纸和笔，就要把三个分数通分相加。他先找到 3、5、6 的最小公倍数是 30，然后把分数化为同分母： 1/3 = 10/30，1/5 = 6/30，1/6 = 5/30。 再相加：10/30 + 6/30 + 5/30 = (10 + 6 + 5) / 30 = 21/30 = 7/10。 杰克算出答案后，有点小得意，觉得自己算得又快又准。 这时艾米却眨眨眼睛，她发现了更简便的方法。她笑着说：“师傅，您看啊，1/3 就是 2/6，现在有 1/6，加起来就是 3/6 也就是 1/2 啦，然后 1/5 直接加进去，1/2 等于 5/10，1/5 等于 2/10，5/10 + 2/10 不就是 7/10 嘛！” 老亨利听了，赞许地拍拍艾米的肩膀，说：“艾米，你这办法巧啊，在忙的时候能省不少时间呢！” 杰克有点不服气，心想下一题一定要扳回一城。 第二天，店里要调整一款全麦面包的配方，减少一些面粉，增加其他配料。老亨利又出题了：“这次咱们原来的面粉用了 4/5 袋，现在要减掉 1/4 袋，再加上 1/10 袋新的杂粮粉，最后一共用多少袋粉呢？” 杰克抢先说：“师傅，我来！” 他还是按通分的办法，5、4、10 的最小公倍数是 20，4/5 = 16/20，1/4 = 5/20，1/10 = 2/20。 式子就是：16/20 - 5/20 + 2/20 = (16 - 5 + 2) / 20 = 13/20。 杰克算完，眼巴巴地看着师傅。 艾米不慌不忙地说：“师傅，我还有个法子。4/5 先减 1/4，4/5 等于 16/20，1/4 等于 5/20，减完是 11/20，再加上 1/10，1/10 化成 2/20，11/20 + 2/20 同样是 13/20，不过这样算，每次找的公倍数小一些，算起来更快。” 老亨利哈哈大笑，说：“你们俩都很棒，杰克的方法稳扎稳打，艾米的巧算能提高效率，以后咱们店里的配料计算就靠你们俩啦！” 从那以后，杰克和艾米一个负责常规核算，一个负责巧用巧算找更优方案，烘焙店的生意因为配方调配得精准又高效，愈发红火，他们俩也在这一次次的实践中，对数学的奇妙运用越发得心应手。 在解答一些较复杂的分数加减法问题时，必须从整体上观察试题，找到它们排列的规律及其数字特征，分析有无类似裂项公式的特点。这是解题的重点和关键。 常用方法： 1. 公式法：直接运用公式来计算，如运用等差数列求和公式等。 2. 图解法：将算式的意思用图表示出来，从而找出简便计算方法。 3. 裂项法：将一个分数拆分为两个或几个分数的差或和，使部分分数互相抵消，从而使计算简化。通常裂项公式为： =- 4. 分组法：运用运算定律，将原式重新组合，把能凑整或能化简的部分结合在一起简算。 5. 代数法：将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 1：计算。 【思路分析】根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可。 【标准答案】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 1.计算． ＋＋＋……＋ 2. 计算． ＋＋＋＋＋ 3．计算． ＋＋＋……＋ 2：7． 【思路分析】本题由各加数的特征可以看出整数部分是一个公差为1的等差数列，分数部分分母可以表示为：1×2，2×3，3×4，4×5…20×21．那么原式=++++…+． 那么通过式的变形及分数裂项求解即可． 【标准答案】 =++++…+． =（1+2+3+4+…+20）+（1﹣+﹣+-+-…+﹣） =（1+20）×10+1﹣ =210+ =． 4．计算． ＋＋＋……＋＋ 5．＋＋＋＋＋ 6．计算： 3：15．计算+++…+． 【思路分析】 先探索规律：=×（﹣），=×（﹣），=×（﹣）…，=×（﹣），代入原式，然后利用分配律提取，就会出现前后项相抵消，继而求得结果． 【标准答案】 +++…+ =×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣） =×（﹣+﹣+﹣+…+﹣） =×（﹣） =×（﹣） =× = =． 7．计算： 8．计算： 9． 4：计算：++++……+ 【标准答案】 ++++…+      =（1-）+（-）+（-）+…+（-）      =1-+-+-+…+-      =1-      = 【思路分析】观察题中的算式，发现：每个分数的分子都是1，分母可以写成两个相邻自然数的乘积，如2=1×2,6=2×3,12=3×4…；然后拆分分数：每个分数都可以写成两个分子都是1，分母是相邻自然数的分数的差的形式，如=1-，=-，=-……；整理算式：原式=（1-）+（-）+（-）+…+（-），通过观察整理后的算式可知，前后两个不同运算符号的分数相加等于0． 有一 10. 11.计算：＋＋＋…＋． 12. 我国古代是如何计算异分母分数加减法的 分数加减法在我国《九章算术》中也有具体的讲述， 如下： 分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分， 使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是 “母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一” 这里“实”是分子,“法”是分母，“实如法而一” 也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还 注意到两点： 其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。 就是分子小于分母时便以分数形式保留。 其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。 按所述法则计算，我们来看一个例子： 由此可见，早在两千多年以前，我国分数四则运算法则已经如此先进，身为炎黄子孙应由衷感到无比骄傲和自豪。 1：计算。 【思路分析】根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可。 【标准答案】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 1.计算． ＋＋＋……＋ 答案：17 详解：＋＋＋……＋ = = =34÷2 =17 2. 计算． ＋＋＋＋＋ 答案： 详解：＋＋＋＋＋ =1-+-+-+-+-+- =1- = 3．计算． ＋＋＋……＋ 答案： 详解：＋＋＋……＋ =+-+-+……+- =+- = 2：7． 【思路分析】本题由各加数的特征可以看出整数部分是一个公差为1的等差数列，分数部分分母可以表示为：1×2，2×3，3×4，4×5…20×21．那么原式=++++…+． 那么通过式的变形及分数裂项求解即可． 【标准答案】 =++++…+． =（1+2+3+4+…+20）+（1﹣+﹣+-+-…+﹣） =（1+20）×10+1﹣ =210+ =． 4．计算． ＋＋＋……＋＋ 答案： 详解：＋＋＋……＋＋ =1-+-+-+……+- =1- = 5．＋＋＋＋＋ 答案： 详解：原式＝2× ＝2× ＝2× ＝ 6．计算： 答案：886 详解：解：因为，所以 3：15．计算+++…+． 【思路分析】 先探索规律：=×（﹣），=×（﹣），=×（﹣）…，=×（﹣），代入原式，然后利用分配律提取，就会出现前后项相抵消，继而求得结果． 【标准答案】 +++…+ =×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣） =×（﹣+﹣+﹣+…+﹣） =×（﹣） =×（﹣） =× = =． 7．计算： 答案： 详解：解：设，那么， 点睛：利用合理转化，通过错位相减，抵消掉中间项，从而使计算简便． 8．计算： 答案：81.4. 详解： 9． 答案： 详解：原式 4：计算：++++……+ 【标准答案】 ++++…+      =（1-）+（-）+（-）+…+（-）      =1-+-+-+…+-      =1-      = 【思路分析】观察题中的算式，发现：每个分数的分子都是1，分母可以写成两个相邻自然数的乘积，如2=1×2,6=2×3,12=3×4…；然后拆分分数：每个分数都可以写成两个分子都是1，分母是相邻自然数的分数的差的形式，如=1-，=-，=-……；整理算式：原式=（1-）+（-）+（-）+…+（-），通过观察整理后的算式可知，前后两个不同运算符号的分数相加等于0． 有一 10. 答案： 详解：原式 11.计算：＋＋＋…＋． 答案： 分析：仔细观察数据，把每个分数进行拆分，化成分数相减的形式，通过加减相互抵消，求得结果． 详解：＋＋＋…＋ ＝×（﹣）＋×（﹣）＋×（﹣）＋…＋×（﹣） ＝×（2＋＋＋…＋－） ＝×（2＋﹣＋﹣＋…＋﹣﹣） ＝×（2＋﹣﹣） ＝× ＝ 点睛：此题如果按常规来做很复杂，必须运用某些技巧，寻找简便计算的方法．此题分母具有一定规律，通过拆项的方法，简化计算的过程． 12. 答案： 详解：＝＝－＝－ ＝＝－＝－ ＝＝－＝－…… ＝＝－＝－ 原式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$