（趣味奥数）第四讲 分数大小比较-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

分数大小比较 烘焙大赛中的较量 在甜品爱好者云集的小镇上，每年都会举办一场盛大的烘焙大赛，各路烘焙高手都汇聚于此，使出浑身解数，只为争夺 “甜品之王” 的桂冠。 今年的参赛选手中，有两位备受瞩目。一位是经营着镇上最温馨面包房的艾米莉阿姨，她的点心以细腻口感和传统风味著称；另一位是刚从大城市学成归来的年轻小伙杰克，他带来了新潮的烘焙理念和创意造型。 比赛进入白热化阶段，决赛的题目是制作一款奶油蛋糕，并且要在规定时间内完成装饰。评判的关键除了外形和口感，还有对原料用量比例的精准掌控，而这其中就涉及到分数大小的比较。 艾米莉阿姨凭借多年经验，迅速调配起面糊。她知道制作蛋糕胚时，面粉和鸡蛋的比例十分关键，按照她的配方，需要用 3/5 杯的面粉搭配 2/3 杯的鸡蛋液，这样烤出来的蛋糕胚才足够松软。 与此同时，杰克在另一边也有条不紊地操作着。他的配方有些不同，需要 4/7 杯的面粉搭配 3/4 杯的鸡蛋液。杰克心里暗自想着，自己这个从名师那里学来的独特比例，肯定能让蛋糕在口感上更胜一筹。 就在两人即将把蛋糕送进烤箱时，评委提出要他们解释一下各自选用的原料比例有何优势。艾米莉阿姨率先开口：“各位评委，我选用的面粉和鸡蛋比例是 3/5 和 2/3 。为了让大家看得更清楚，我把它们通分一下，3/5 就等于 9/15 ，2/3 等于 10/15 ，很明显 2/3 大于 3/5 ，这意味着我用的鸡蛋液相对更多，能让蛋糕更加湿润、蓬松，吃起来像云朵般轻盈。” 评委们纷纷点头，杰克见状，不慌不忙地说道：“评委们，我这边面粉和鸡蛋的比例是 4/7 和 3/4 。同样通分来比较，4/7 等于 16/28 ，3/4 等于 21/28 ，显然 3/4 大于 4/7 ，我这个比例下鸡蛋液占比更大，而且结合我独特的搅拌手法和烘焙温度，蛋糕不仅湿润，还会有一种别样的醇厚口感，能给味蕾带来全新冲击。” 评委们听完两人的解释，都露出了赞许的笑容。在后续的品尝环节，艾米莉阿姨的蛋糕凭借经典的美味让人回味悠长，杰克的蛋糕则以创新的口感惊艳众人。最终，这场比赛难分伯仲，两人共同获得了冠军奖杯，而他们巧用分数大小比较来优化配方的故事，也在小镇上传为佳话，激励着更多年轻人探索数学在生活中的奇妙应用。 比较两个分数的大小，有两种基本方法。第一种是：如果两个分数分母相同，分子大的分数较大；第二种是：如果两个分数分子相同，分母小的分数较大；或者统一分母，或者统一分子，再进行比较。 有时候可另辟蹊径，例如相减比较，如果差大，那么减数就小；相除比较，若上是真分数，则被除数小于除数，若商是假分数，则被除数大于除数；交叉相乘比较分数和（b、d都大于0），如果ad=bc，那么＞；倒数比较，倒数大的分数小于倒数小的分数；化成小数或循环小数比较等等。 在解题中必须认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活动用解题方法，不断开拓解题思路，提高解题能力。 1：比较，与的大小。 答案：＜＜ 【思路分析】 分析：常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这三个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 【标准答案】 详解：的倒数为＝， 的倒数为＝， 的倒数为＝， 三个分数的倒数都是整数部分为1，分子为1111，则分母越大，分数越小，所以＞＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜＜。 点睛：本题考查非常规分数的大小比较方法，要灵活运用比较倒数法。 1.试比较与的大小。 2. 比较下面三个分数的大小。                        3．由小到大排列下列分数： 、、、。 2：你能把下面的4个分数按照从大到小的顺序排列吗？                   【标准答案】＞＞＞ 【思路分析】此题是考查多个分数的大小比较．直接比较不容易比较，可以画出示意图进行比较．如下图所示，把4个相同的长方形平均分成3份、4份、5份、6份，然后依次涂色1份、1份、2份、5份，观察这四个长方形中涂色部分，可知， 5份＞2份＞1份（第一个长方形）＞1份（第二个长方形），即＞＞＞． 4．请把、、、和按从小到大的顺序排列． 答案：＜＜＜＜ 详解：＝   ＝   ＝   ＝   因为＜＜＜＜，所以＜＜＜＜ 5．比较和的大小。 6．比较大小。 和   和   和 3：比较分数大小。 和            和 【思路分析】（1）两个数的分母都是分子的3倍加一个个位数，那么利用它们的倒数进行比较，倒数越大的，分数越小； （2）根据两个分数的共同特点，分母都比分子大2，可以用“比差法”解答，即“1－分数”的形式比较大小，差大的减数小，差小的减数大；据此解答。 【标准答案】（1）设A＝，B＝ ＝3＝3 ＝3＝3 所以＞； （2）， 因为＞，所以＜ 点睛：此题主要考查了分数比大小的特殊解法，需要多加练习，发现规律，进而解答，需要掌握“1－分数”的形式比较大小，差大的减数小，差小的减数大。 7．如果把假分数的分子和分母分别都加上1、2、3、…从开始写下前5个分数，比较它们的大小，你有什么发现？ 8．一个真分数，把它的分子和分母分别加上1得到，分子和分母分别加上2得到……从开始把前5个分数写下来，比较它们的大小，你有什么发现？ 9．不通分，还有其他方法比较和的大小吗？ 4：比较和的大小。 【标准答案】 答案： 【思路分析】分子分母的数据较大，可以求差再比较，差小就大，差大就小。 详解：＝1－　 ＝1－　 因为 所以。 点睛：本题考查了分数的大小比较，要灵活运用所学知识。 10.比1大吗？请用估算的方法进行判断。 11.已知，那么x、y、z的大小关系怎样？请按照从大到小的顺序排列，并写出判断的过程。 12.在、、中，从小到大排列的是( )． 分数的起源 中国是世界上最早使用分数的国家。无论在分数的应用还是计算方面都远远 早于其它国家，我国古代文献中有许多关于分数的记载。 比如在《左传》一书中就有这样的记载：春秋时期，诸 侯的城池，最大不能超过周国的，中等的不得超过， 小的不得超过。秦始皇时期，拟定了一年的天数为 365天。 《九章算术》是我国著名数学专著，成书于1800多年前，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法的计算方法。 1：比较，与的大小。 答案：＜＜ 【思路分析】 分析：常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这三个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 【标准答案】 详解：的倒数为＝， 的倒数为＝， 的倒数为＝， 三个分数的倒数都是整数部分为1，分子为1111，则分母越大，分数越小，所以＞＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜＜。 点睛：本题考查非常规分数的大小比较方法，要灵活运用比较倒数法。 1.试比较与的大小。 答案：＜ 分析：常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这两个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 详解：的倒数为， 的倒数为， 两个分数的倒数都是整数部分为10，分子为1，则分母越大，分数越小，所以＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜。 点睛：本题考查非常规分数的大小比较方法，要灵活运用比较倒数法。 2. 比较下面三个分数的大小。                        答案：＞＞ 分析：常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这三个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 详解：的倒数为＝， 的倒数为＝， 的倒数为＝， 三个分数的倒数都是整数部分为1，分子为1111，则分母越大，分数越小，所以＞＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜＜。 点睛：本题考查非常规分数的大小比较方法，要灵活运用比较倒数法。 3．由小到大排列下列分数： 、、、。 ( ) 答案：＜＜＜ 分析：先化成小数，再比较大小。 详解：≈0.6296、≈0.6129、≈0.6053、≈0.6273。 所以从小到大排列是：＜＜＜。 点睛：本题考查了分数大小比较，不好通分时可以化成小数。 2：你能把下面的4个分数按照从大到小的顺序排列吗？                   【标准答案】＞＞＞ 【思路分析】此题是考查多个分数的大小比较．直接比较不容易比较，可以画出示意图进行比较．如下图所示，把4个相同的长方形平均分成3份、4份、5份、6份，然后依次涂色1份、1份、2份、5份，观察这四个长方形中涂色部分，可知， 5份＞2份＞1份（第一个长方形）＞1份（第二个长方形），即＞＞＞． 4．请把、、、和按从小到大的顺序排列． 答案：＜＜＜＜ 详解：＝   ＝   ＝   ＝   因为＜＜＜＜，所以＜＜＜＜ 5．比较和的大小。 答案：＜ 分析：和都是真分数，可通过比较这两个分数与1的差的大小来比较和的大小。 详解：1－ ＝－ ＝ 1－ ＝－ ＝ ＞，所以＜ 点睛：利用和这两个分数与1的差的大小来比较和的大小是解决此题的关键。 6．比较大小。 和   和   和 答案：＜；＞；＜ 分析：求出两个数的倒数，然后再比较这两个倒数的大小，根据“倒数大的分数比较小”的规律来比较这两个分数的大小；真分数的分子和分母加上同一个非零自然数，所得的新分数大于原分数；据此解答。 详解：因为＞＝10，所以＜； 因为＝3＜＝3，所以＞； 因为＜＝，所以＜ 点睛：本题主要考查分数的大小比较的方法，注意总结不易通分的两分数比较大小的方法。 3：比较分数大小。 和            和 【思路分析】（1）两个数的分母都是分子的3倍加一个个位数，那么利用它们的倒数进行比较，倒数越大的，分数越小； （2）根据两个分数的共同特点，分母都比分子大2，可以用“比差法”解答，即“1－分数”的形式比较大小，差大的减数小，差小的减数大；据此解答。 【标准答案】（1）设A＝，B＝ ＝3＝3 ＝3＝3 所以＞； （2）， 因为＞，所以＜ 点睛：此题主要考查了分数比大小的特殊解法，需要多加练习，发现规律，进而解答，需要掌握“1－分数”的形式比较大小，差大的减数小，差小的减数大。 7．如果把假分数的分子和分母分别都加上1、2、3、…从开始写下前5个分数，比较它们的大小，你有什么发现？ 答案：； 发现：不等于1的假分数分子和分母同时加上一个相同的数后，分数越来越小了。 分析：本题可以利用通分的方法进行比较，也可以用如下方式进行大小比较：都是假分数，越靠后的数越接近1，越接近1就说明分数越小。 详解：由分析得： 因为：＞＞＞＞，所以，即不等于1的假分数分子和分母同时加上一个相同的数后，分数越来越小了。 点睛：本题先要正确书写变化后的分数，再将这些分数通分，并比较大小。其中包含了找最小公分母，以及通分的运算，计算时要细心。 8．一个真分数，把它的分子和分母分别加上1得到，分子和分母分别加上2得到……从开始把前5个分数写下来，比较它们的大小，你有什么发现？ 答案：； 发现：真分数的分子和分母同时加上一个相同的数后，分数越来越大了。 分析：本题可以利用通分的方法进行比较，也可以用如下方式进行大小比较：都是真分数，都比1小，越靠后的数越接近1，越接近1就说明分数越大。 详解：由分析得： 因为：，所以：。即真分数的分子和分母同时加上一个相同的数后，分数越来越大了。 点睛：首先理解题意，从开始，分别在分子分母上加上数字1，并比较前5个数字；比较时，需要运用通分来求得最小公分母，最后，依据所发现的规律来进行描述。 9．不通分，还有其他方法比较和的大小吗？ 答案：＞；方法见解析 分析：方法1：可以化成分子相同的分数比较大小；方法2：可以把两个分数分别与比较大小，再比较两个分数的大小。 详解：方法1：，，因为，所以。 方法2：，，因此。 点睛：本题考查学生对于分数多种比较大小的方法的掌握，灵活选择方法。 4：比较和的大小。 【标准答案】 答案： 【思路分析】分子分母的数据较大，可以求差再比较，差小就大，差大就小。 详解：＝1－　 ＝1－　 因为 所以。 点睛：本题考查了分数的大小比较，要灵活运用所学知识。 10.比1大吗？请用估算的方法进行判断。 答案：，判断见解析。 分析：我们都知道>，而=，也就是>，因为分数加法求得+=1，进而可以得到。 详解：估算：，所以。 点睛：此题关键在于要想得到用估算的方法比较与的大小，然后利用分数加减法进一步比较。 11.已知，那么x、y、z的大小关系怎样？请按照从大到小的顺序排列，并写出判断的过程。 答案：判断过程见解析 分析：此题是三个算式和的大小比较，每式中第一个加数是字母，不为定数，第二个加数都是分数，根据分数的大小比较方法对这三个分数进行大小比较，由于和相等，哪个加数大，另一个加数就小，反之另一个加数就大；或者假设和均为1，用1分别减去其中一个加数，得出要比较的x、y、z的值，再加以比较，一样可以得出结果。 详解：（1）假设和均为1，，，， （2）， 点睛：不要被较复杂的式子吓到，可以用假设法；或者比较其中一个加数，得出另一个加数的大小。 12.在、、中，从小到大排列的是( )． 答案：＜＜ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$