（趣味奥数）第三讲 分解质因数-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

分解质因数 密码锁的奥秘 在繁华都市边缘的一个宁静小镇上，住着一位小有名气的发明家 —— 林教授。林教授醉心于各种奇思妙想的发明创造，他的家中摆满了各式各样新奇古怪的玩意儿，有能自动清扫房间的智能机器人，还有可以模拟四季变换气味的空气调节器。 一天，林教授正在实验室里埋头苦干，他最新研制出了一个超级密码锁，这个密码锁可不一般，它不是靠传统的数字组合来开锁，而是需要输入一个特定的数，这个数是由几个质数相乘得到的结果。林教授对自己的这个发明得意不已，他想着先把密码锁带回家，给同样热爱科学的儿子小林一个惊喜，顺便考考他。 回到家后，林教授神秘兮兮地把密码锁放在客厅桌子上，对小林说：“儿子，看看老爸的新发明，这可是个超酷的密码锁，要是你能打开它，里面可有一份神秘大礼哦！给你个提示，密码是 210，你得把它分解成几个质数相乘的形式，找到那些质数就是密码。” 小林一听，眼睛瞬间亮了起来，他迫不及待地坐在桌前，开始研究这个密码难题。他首先知道最小的质数是 2，那就先用 210 除以 2，得到 105。小林心想，105 还能继续分解，它不是质数，那就再试试除以 3，因为能被 3 整除的数各个数位上数字之和也能被 3 整除，1 + 0 + 5 = 6，能被 3 整除，所以 105 除以 3 得 35。 此时，小林面前的数字变成了 35，他琢磨着，35 不能被 3 整除了，试试 5，果不其然，35 除以 5 等于 7，而 7 恰好是质数。这下小林兴奋地跳了起来，他大喊：“老爸，我知道啦！210 = 2×3×5×7，这几个就是密码。” 林教授笑眯眯地走过来，看着兴高采烈的小林，欣慰地说：“儿子，真不错！你掌握了分解质因数这个数学法宝，这在很多科学研究和实际生活里都大有用处呢。就像这个密码锁，如果密码是个超级大的数，想要破解它，就得一步一步耐心地把它分解成质数相乘，质数可是数学里最基础、最神秘的砖石。” 从那以后，小林对数学的兴趣愈发浓厚，他跟着林教授学习更多高深的数学知识，父子俩一起探索科学的奇妙世界，而那个密码锁也被摆在小林的书架上，成为他开启数学智慧之门的纪念品。 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。 把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。 1：有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 【标准答案】7岁、8岁、9岁和10岁 【思路分析】我们先把5040分解质因数：5040＝24×32×5×7. 再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10. 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁． 1.张阿姨用 112 元钱去买窗帘布若干米，由于窗帘布每米降价 1 元，因此，张阿姨所带的钱可以比原来多买 2m．原来每米多少元？ 2. 有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁，又知它们年龄的乘积是360．问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？ 3．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？ （例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组） 2： 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【标准答案】 【思路分析】把420分解质因数420＝2×2×3×5×7. 为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20. 分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是：　　 4．用短除法分解质因数． 12  28  42  21 5．两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？ 6．学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法? 3：．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？ 【思路分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，首先把1998分解质因数，因为我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小，据此把1998的质因数适当调整计算即可求出长、宽、高，进而求出它的长、宽、高的和的最小可能值，据此解答。 【标准答案】 1998＝2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的二个数应越接近越好，有2×3×3×3＝6×9时，即1998＝6×9×37时，这三个自然数最接近，所以长方体的长、宽、高分别为6厘米、9厘米、37厘米，它们的和为6＋9＋37＝52（厘米），即长方体的长宽高的和的最小值可能是52厘米。 点睛：此题考查的是分解质因数，解题的关键是利用分解质因数的方法求出长方体的长、宽、高。 7．已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。 8．把若干个自然数1、2、3、…连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 9．（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？ 4：两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少？ 【思路分析】先将分解质因数，得到，由于是两个相邻的奇数相乘，可以让67和5一组，37和两个3一组。 【标准答案】（）（）； ，所以和为。 点睛：本题不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的。 10.如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？ 11.有3张扑克牌，牌面数字都在10以内．把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人．每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23．问：这3张牌的数字分别是多少？ 12.将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组. 分数的起源 人类历史上最早产生的数是自然数，随着生产活动的发展，在度量和均分时很难正好得到整数的结果，这样就产生了分数。 看似简单的分数，它的产生可经历了一个漫长过程。刚开始人们也只是使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现了三分之一，三分之二等简单的分数。今天我们认识分数也是按这样一个过程进行的。 2000多年前，中国有了分数，但是当时分数表现形式与现在不一样，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。当除不尽时，把余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式。现在的分数形式是阿拉伯人发明的。 为什么叫分数呢？分数这个名称能直观而生动地表示这种数的特征。分数是为度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。 1：有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 【标准答案】7岁、8岁、9岁和10岁 【思路分析】我们先把5040分解质因数：5040＝24×32×5×7. 再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10. 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁． 1.张阿姨用 112 元钱去买窗帘布若干米，由于窗帘布每米降价 1 元，因此，张阿姨所带的钱可以比原来多买 2m．原来每米多少元？ 答案：8元 详解：112＝2×2×2×2×7, 2×2×2＝8,与7就差1,所以原来每米8元,现在每米7元. 检验一下,原来每米8元,可买112÷8＝14米,现在每米7元,可买112÷7＝16米,可比原来多买16－14＝2米,符合已知条件. 答：原来每米8元. 2. 有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁，又知它们年龄的乘积是360．问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？ 答案：6岁 分析：360是年龄的乘积，故可将360分解质因数，再将这些质因数依据题意，组合成4个连续自然数的乘积．再经过比较、分析，便可找到年龄最大的小朋友的年龄数． 详解：解：360=2×2×2×3×3×5 =3×（2×2）×5×（2×3） =3×4×5×6 答：年龄最大的小朋友是6岁． 3．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？ （例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组） 答案：30组 分析：先将12、300分别进行质因数分解：12=22×3，300=22×3×52， （1）确定a的值．依题意a只能取12或12×5=60或12×25=300； （2）确定b的值； 当a=12时，b可取12，或12×5，或12×25； 当a=60，300时，b都只能取12； 所以，满足条件的a、b共有5组： a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12； （3）确定a，b，c的组数． 对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，52×2，52×22，52×3，52×2×3，52×22×3，即25，50，100，75，150，300； 所以满足条件的自然数a、b、c共有：5×6=30（组）． 此类题的关键是认真审题，弄清数量间的关系，然后根据题中给出的条件，进行比较、分析，进而得出结论． 详解：12=22×3，300=22×3×52， a=12或a=12×5=60或a=12×25=300； 当a=12时，b=12或b=12×5或b=12×25； 当a=60，300时，b都只能取12； 满足条件的a、b共有5组： a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12； 对于a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：25，50，100，75，150，300． 所以满足条件的自然数a、b、c共有：5×6=30（组） 答：满足上述条件的自然数a，b，c共有30组． 2： 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【标准答案】 【思路分析】把420分解质因数420＝2×2×3×5×7. 为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20. 分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是：　　 4．用短除法分解质因数． 12  28  42  21 答案：12＝2×2×3  28＝2×2×7  42＝2×3×7  21＝3×7 5．两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？ 答案：60 详解：解法一：180＝22×32×5，30＝2×3×5. 对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60. 解法二：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找 30， 60， 90， 120，…. 这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是．逐一去检验，有时会较费力． 6．学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法? 答案：共有三种分法，即：分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人． 分析：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数．为此，先把1430分解质因数：1430=2×5×11×13 从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数． 详解：解：1430=2×5×11×13 2×5×11=110，13 2×5×13=130，11 11×13=143，2×5=10 所以共有三种分法，即：分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人． 3：．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？ 【思路分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，首先把1998分解质因数，因为我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小，据此把1998的质因数适当调整计算即可求出长、宽、高，进而求出它的长、宽、高的和的最小可能值，据此解答。 【标准答案】 1998＝2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的二个数应越接近越好，有2×3×3×3＝6×9时，即1998＝6×9×37时，这三个自然数最接近，所以长方体的长、宽、高分别为6厘米、9厘米、37厘米，它们的和为6＋9＋37＝52（厘米），即长方体的长宽高的和的最小值可能是52厘米。 点睛：此题考查的是分解质因数，解题的关键是利用分解质因数的方法求出长方体的长、宽、高。 7．已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。 答案：24；30 分析：把这两个自然数表示为最大公因数和互质数的乘积，最小公倍数是最大公因数的倍数，据此表示出这两个数的和以及它们的最小公倍数与最大公约数的差，分析出最大公因数与54和114的关系，进而求得最大公因数，最后把最大公因数的值代入计算出这两个自然数的值即可。 详解：设这两个自然数分别是和，其中为它们的最大公约数，且与互质（） 由题意可知得，， 则是54和114的公因数。 54＝2×3×9，114＝2×3×19，54和114的最大公因数是6，的值可能是1，2，3，6。 当时，，，则，或，；1＋115≠54，5＋23≠54，所以不符合题意； 当时，，，则，，或，；1＋58≠27，2＋29≠27，所以不符合题意； 当时，，，则，或，；1＋39≠18，3＋13≠18，所以不符合题意； 当时，，，则，，1＋20≠9不符合题意；，，4＋5＝9符合题意。 所以，，， ，，这两个自然数分别是24和30。 答：这两个自然数分别是24和30。 点睛：根据等量关系计算出这两个数的最大公因数是解答题目的关键。 8．把若干个自然数1、2、3、…连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 答案：最小55，最大59。 分析：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零。由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了。 详解：5的倍数： ，，，，，… 发现只有25、50、75、100、…这样的数中才会出现多个因数5； 乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55， 如果乘到下一个5的倍数60，将会出现14个0，所以最大是59。 点睛：对于的末尾0的个数，可以用N分别除以5、除以25、除以125……然后相加即可。 9．（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？ 答案：12岁、14岁、16岁、18岁 分析：题中告诉我们，是四个人年龄的乘积，只要我们把分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 详解：，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 点睛：由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8.又因为，而，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18，也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 4：两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少？ 【思路分析】先将分解质因数，得到，由于是两个相邻的奇数相乘，可以让67和5一组，37和两个3一组。 【标准答案】（）（）； ，所以和为。 点睛：本题不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的。 10.如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？ 答案：10个 详解：因为210=1024，211=2048＞2000，每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=210，所以，N等于10个2与某个奇数的积． 11.有3张扑克牌，牌面数字都在10以内．把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人．每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23．问：这3张牌的数字分别是多少？ 答案：3，5和9 详解：13+15+23=51，51=3×17． 因为17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了3次， 3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种： ①1，6，10 　②1，7，9 　③1，8，8 ④2，5，10 　⑤2，6，9 　⑥2，7，8 ⑦3，4，10 　⑧3，5，9 　⑨3，6，8 ⑩3，7，7 　(11)4，4，9 (12)4，5，8 (13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6 只有第⑧种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23． 所以，这3张牌的数字分别是3，5和9． 答：这3张牌的数字分别是3，5和9． 12.将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组. 答案：第一组：24，65，77，45. 第二组：6，78，110，105. 详解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数. 6＝2×3 24＝23×3 45＝32×5 65＝5×13， 77＝7×11 78＝2×3×13 105＝3×5×7 110＝2×5×11 先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到 第一组：24，65，77，45. 第二组：6，78，110，105. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$