4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时 等差数列的前n项和）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 第1课时 等差数列的前n项和 4.2.2　等差数列的前n项和 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 1.通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养. 2.通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养． 3.通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 学习目标 情景导入 情景1 新知探究 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？ 通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”,实现了“化和为积” 受此启发，我们得到下面的方法： 倒序相加 将上述两式相加，可得： 所以： 等差数列前n项和公式推导 公式辨析 ——（2） 等差数列前n项和的性质 思考： 等差数列前n项和Sn的最值 1．若a1＜0，d＞0，则等差数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最______值． 2．若a1＞0，d＜0，则等差数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最______值． 特别地，若a1＞0，d＞0，则______是Sn的最小值；若a1＜0，d＜0，则______是Sn的最大值． S1 小 大 S1 课本例题 知三求二 一般，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定 由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 探究 图4.2-3中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C列中分别是相应的Sn和an的值. 课本练习 5．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数． ∴此数列中间一项的值为29，项数为19． 已知数列{an}满足an＋1＝an－且a1＝4，设{an}的n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的n的值为(　　) A．5　 B．6　 C．5或6　 D．6或7 【答案】C　【解析】由an＋1＝an－，得an＋1－an＝－，又a1＝4，∴数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．∴Sn＝4n＋×＝－n2＋n，易知对称轴为n＝，又n∈N*，∴使得Sn取得最大值的n的值为5或6． 易错分析 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝11， 则a＝________，k＝________． 【答案】2　10　 【解析】设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3． 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k． 由Sk＝110， 得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10． 忽视an = Sn = S{n-1}成立的条件 ： 错解 ：直接由an = Sn = S{n-1}得出an+1 - an = 2，并认为数列是等差数列。 剖析 ：这个等式仅在n ≥ 2时成立。对于n = 1，应该有a1 = S1。因此，需要单独考虑n = 1的情况，不能一概而论。 对等差数列概念的理解不准确 ： 错解 ：认为只要从第2项起每一项与它的前一项的差是常数，数列就是等差数列。 剖析 ：等差数列的定义是从第2项起，每一项与它的前一项的差是常数，但首项可以是任意数。此外，等差数列的通项公式和前n项和公式需要根据公差d是否为零分别处理 易错总结 1．(成都月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝9，S6＝21，则数列{an}的公差是(　　) A．－1　 B．2　 C．1　 D．－2 【答案】C　【解析】由已知条件a3＋a6＝9，S6＝21，可得解得a1＝1，d＝1．∴数列{an}的公差是1． 随堂检测 典例剖析 题型一：求解d 、n、 an 2．（模拟）已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　) A．24 B．26 C．27 D．28 【答案】B　【解析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于＝22，再由前n项和为286＝＝11n，得n＝26． 3．(2024年昆明模拟)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，＝a2，则a8＝(　　) A．12　 B．13　 C．14　　　　 D．15 【答案】D　【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得＝1＋d，解得d＝2，d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15． 4．已知{an}是一个等差数列且a2＝1，a5＝－5． (1)求{an}的通项an； (2)求{an}前n项和Sn的最大值． 题型二：求解通项an及Sn最大值 an=a1+(n-1)d 对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”. 核心素养： 倒序相加法 掌握与应用 （两个公式） （三个条件） 逻辑推理、数学建模、数学运算。 课堂小结 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却 用下面的方法迅速算出了正确答案： 那么，对于一般的等差数列，如何求其前n项和呢？ 本节课我们一起学习. 对于数列①，设，那么高斯的计算方法可以表示为： ． 可以发现，高斯巧算的“秘密”,也就是其求和过程用的就是首尾配对法，利用了 得 由此得到等差数列的前项和公式——（1） 推广到求等差数列的前项和 —— ① —— ② ②将（1）变形可得，所以就是等差 数列前项的平均数． ③如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以 我们也可以用和来表示．把等差数列的通项公式 代入公式（1），可得——（2） 等差数列的前项和公式——（1） ①对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项 和末项，就可以求得前项和． 即等差数列的前n项和为常数项为零的关于n的二次函数， 简记为：，其中. 将公式（2）整理得： ——（3） 设的首项为，公差为，则， 所以，， 所以， 所以，数列为等差数列，公差为，首项为. 若等差数列的前n项和，则数列为等差数列吗？ 如果是，表示出其首项和公差. 解：(1)设{an}的公差为d， 由已知条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,a1＋4d＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－2.)) 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5． (2)Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2． 所以n＝2时，Sn最大且最大值为4． $$