4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时 等差数列的前n项和的性质）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 第2课时 等差数列的前n项和的性质 4.2.2　等差数列的前n项和 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.准确理解等差数列的定义，即数列中任意两项的差为常数。 2.掌握等差数列前n项和的最值问题． 3.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列前n项和的一些性质. 情景导入 问题1 你能说出等差数列的前n项和公式吗？ 情景导入 旧知回顾 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． 情景导入 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝2，a5＝3a3， 则S10＝(　　) A．－92 B．－70 C．54 D．80 旧知回顾 B　 课本例题 例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 课本例题 课本例题 Sn关于n的图象是抛物线y=-x2+11x上一系列弧立的点, n只能取正整数. 如图4.2-4所示。 也可求抛物线的对称轴, 开口向下时, 越接近对称轴的点函数值越大, 开口向上时, 越接近对称轴的点, 函数值越小. 分析 所以数列{an}的前3项都是正数, 从第4项起为负数, Sn有最大值, 是S3. 分析 所以数列{an}的前3项都是正数, 从第4项起为负数, Sn有最大值, 是S3. 课本练习 1．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？ 典例剖析 题型1 求数列{|an|}的前n项和 在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，求数列{|an|}的前n项和． 在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，求数列{|an|}的前n项和． 在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，求数列{|an|}的前n项和． (1)已知数列{an}，求数列{|an|}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0或an＜0． (2)在求{|an|}的前n项和时，要充分利用{an}的前n项和公式，这样可简化解题过程． (3)当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示． 方法总结： 典例剖析 方法归纳 1.设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　) A．2X＋Z＝3Y　 B．4X＋Z＝4Y C．2X＋3Z＝7Y　 D．8X＋Z＝6Y 【答案】D　【解析】设数列{an}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，所以2(Y－X)＝X＋R－Y，得R＝3Y－3X．又因为2(R－Y)＝Y－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，D正确． 课堂小测 课堂小测 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．42 【答案】C　【解析】∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，∴2×(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24． 课堂小测 3．(2024年月考)等差数列{an}的前n项和为Sn， 若公差d＞0，(S8－S5)(S9－S5)＜0，则(　　) A．|a7|＝0　 B．|a8|＝0 C．|a7|＞|a8|　　　 D．|a7|＜|a8| 【答案】D　 【解析】(S8－S5)(S9－S5)＜0，即(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0． 又{an}为等差数列，则有a6＋a7＋a8＝3a7，a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)， (a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0⇔a7(a7＋a8)＜0， a7与(a7＋a8)异号．又由公差d＞0，必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|． 4．有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为________． 【答案】1 472　【解析】等差数列2,6,10，…，190中，公差d1＝4．等差数列2,8,14，…，200中，公差d2＝6．∵4,6的最小公倍数是12，∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d＝12，∵新数列最大项n≤190，∴2＋(n－1)×12≤190，解得n≤50/3，∴n＝16．∵新数列中第16项a16＝2＋(16－1)×12＝182，∴由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列为2,14,26，…，182，各项之和为S16＝×(2＋182)＝1 472． 课堂小测 5．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2． (1)求证：{an}是等差数列； (2)求当Sn最大时n的值； (3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n． 解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n． 故{an}的通项为an＝34－2n． 所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2． 故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列． 课堂小测 (2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． (3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0． 当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2． 当n≥18时，S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544． 易错分析 1、混淆等差数列前n项和的性质，如 Sn​、S2n​−Sn​、S3n​−S2n​ 等之间的关系。 2、对等差数列前n项和公式的理解不透彻 3、计算错误 1.等差数列前n项和的性质 连续n项和的性质：若数列{an​}是等差数列，那么连续n项的和Sn​,S2n​−Sn​,S3n​−S2n​,…也构成等差数列。这一性质揭示了等差数列前n项和之间的等差关系。 奇偶项和的性质：在等差数列中，若项数为奇数，则中间项等于前n项和除以n；若项数为偶数，则中间两项的和等于前n项和除以n再乘以2。这一性质有助于快速求解等差数列中特定项的和。 2.等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 增减性：等差数列的前n项和随着n的增大而增大（当公差d>0时）或减小（当公差d<0时）。这一性质反映了等差数列前n项和的增减趋势。 课堂小结 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝___________ Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d eq \f(na1＋an,2) 【解析】　设等差数列{an}的公差为d．∵a1＝2，a5＝3a3，∴2＋4d＝3(2＋2d)，解得d＝－2．∴S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝－70． 解：∵a1＝－60，a11＝－30， ∴公差d＝eq \f(a11－a1,11－1)＝eq \f(－30－－60,10)＝3． ∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63． 由an＜0，得3n－63＜0，n＜21． ∴数列{an}的前20项是负数， 第20项后都是非负数． 设Sn，Sn′分别表示数列{an}与{|an|}的前n项和，则当n≤20时， Sn′＝－Sn＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－60n＋\f(nn－1,2)×3))＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(123,2)n； 当n＞20时， Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝－60n＋eq \f(nn－1,2)×3－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－60×20＋\f(20×19,2)×3)) ＝eq \f(3,2)n2－eq \f(123,2)n＋1 260． ∴数列{|an|}的前n项和 Sn′＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(123,2)n，n≤20，,\f(3,2)n2－\f(123,2)n＋1 260，n>20.)) 解：eq \f(an,bn)＝eq \f(\f(a1＋a2n－1,2),\f(b1＋b2n－1,2))＝eq \f(\f(na1＋a2n－1,2),\f(nb1＋b2n－1,2))＝eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(22n－1,32n－1＋1)＝eq \f(2n－1,3n－1)． 题型2　等差数列前n项和性质的应用 两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n,3n＋1)，求eq \f(an,bn)． 【分析】利用eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn)来求解． 等差数列的前n项和的常用性质 (1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列． 1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形 (1)Sn＝n·eq \f(a1＋an,2)； (2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n； (3)eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为\f(d,2)的等差数列))． 2．求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路 (1)将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． (2)当a1＞0，d＜0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))的项数n使Sn取最大值；当a1＜0，d＞0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))的项数n使Sn取最小值． $$