4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，通过高斯算法案例导入，从1+2+…+100到一般等差数列，以倒序相加法推导公式，搭建从特殊到一般的认知支架，衔接数列定义与函数思想。 其亮点在于融入逻辑推理（公式推导）、数学抽象（函数观点）和数学建模（实际应用）核心素养，通过问题链引导探究，题型专练覆盖“知三求二”等，助力学生提升运算能力与推理意识，为教师提供系统教学资源。

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第1课时) ·选择性必修第二册· 1 学习目标 2 3 通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养. 通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养． 通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 情景导入 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 01 引入新知 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉. 借助AI看看高斯的正面 引入新知 高斯同学的算法：逐项相加, 思 考 高斯算法有何巧妙？ 高斯算法能否优化？ 能否推广？ 引入新知 思 考 高斯算法如何优化？ 新课探究 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 02 新课探究 操作 倒序相加法求和 新课探究 若是等差数列，若，则. 思考 数列是一个等差数列，那么等差数列的前n项和是否也可以用此方法求？ 新课探究 等差数列前n项和公式 公式辨析 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 新课探究 联立 思考 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（3）吗？ 新课探究 等差数列前n项和公式推导 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 新课探究 函数观点 牛刀小试 解 析 新课探究 等差数列前n项和的性质 思考： 牛刀小试 解 析 应用新知 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 03 应用新知 应用新知 分析 应用新知 分析 应用新知 分析 应用新知 分析 应用新知 规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. 题目条件 建立方程（组） 方程（组） 求出未知量 注意整体 代入思想 等差数列的通项公式 等差数列的前n项和公式 (2)利用等差数列的性质解题. 正整数满足， 则 简化计算 牛刀小试 牛刀小试 重要题型 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 04 重要题型专练 题型一 等差数列五个基本量“知三求二” 例题 重要题型专练 题型一 等差数列五个基本量“知三求二” 例题 重要题型专练 题型二 由前n项和判断数列是否是等差数列 例题 重要题型专练 题型二 由前n项和判断数列是否是等差数列 例题 重要题型专练 题型三 公式法求等差数列的和 例题 重要题型专练 题型三 公式法求等差数列的和 例题 重要题型专练 题型三 公式法求等差数列的和 例题 重要题型专练 题型四 等差数列“和比”求“项比” 例题 重要题型专练 题型四 等差数列“和比”求“项比” 例题 重要题型专练 题型五 倒序求和法的应用 例题 重要题型专练 题型五 倒序求和法的应用 例题 重要题型专练 方法总结 方法规律：倒序求和法的适用条件 真题感知 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 05 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 06 课堂笔记 课堂笔记 小结及课后作业 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 07 课堂小结 化归转化思想，方程思想. 等差数列的 前n项和 倒序求和： 应用 等差数列基本量的计算 累加法求通项 倒序求和 作业布置 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、3题. 课后练习答案 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 07 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第3题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第3题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第3题.） 详解 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 200多年前，高斯10岁时，他的算术老师提出问题： 高斯的算法： 变式问题1： 高斯算法： 变式问题2： 变式问题1： 令 ①+②得： 所以 用优化后的方法，解决变式问题2： 令 得： 所以，即 得 等差数列的前项和公式——（1） ①对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项 和末项，就可以求得前项和． ②将（1）变形可得，所以就是等差 数列前项的平均数． 练1：已知是等差数列的前项和，，则 ． 在等差数列中，，，所以， . 故答案为：. 练2：设等差数列前项和为，若，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 由题意可知， 则， 则. 故选：C. 练3：记为等差数列的前项和.若，则（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 ，，， . 故选：C. 等差数列的前项和公式——（1） 等差数列的通项公式 ——（2） （2）代入公式（1），可得 ——（3） 练4：记为等差数列的前项和.若，则 因为为等差数列的前项和，设等差数列的公差为. 所以，故；又，故， 所以. 故答案为：100. 练5：记为等差数列的前项和，若，，则 . 因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. ——（3） 即等差数列的前n项和为常数项为零的关于n的二次函数， 简记为：，其中. 将公式（3）整理得： ——（4） 练6：等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（     ） A． B． C． D． 由等差数列的前和公式可知：是定义在上的二次函数， 所以，当，公差时，对称轴在轴右侧，且有最大值，C符合要求. 故选：C. 若等差数列的前n项和，则数列为等差数列吗？ 如果是，表示出其首项和公差. 设的首项为，公差为，则， 所以，， 所以， 所以，数列为等差数列，公差为，首项为. 练7：已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列. 求的通项公式. 由是首项为3，公差为1的等差数列，得，则. 当时，； 当时，， 因为满足上式， 所以的通项公式为. 例1：已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 对于等差数列的前n项和公式的相关量,,,,中， 已知三个量就可以确定其他量，即知三求二 例1：已知数列是等差数列． （1）若，，求； 对于（1），可以直接利用公式求和. 解：（1）因为，，根据公式， 可得． 例1：已知数列是等差数列． （2）若，，求； （2） 中，可以先利用和的值求出，再利用 公式求和； 解: 因为，，所以．根据公式， 可得． 例1：已知数列是等差数列． （3）若，，，求． （3） 已知公式中的，和， 解方程即可求得． 解：把，，代入， 得 例1：已知数列是等差数列． （3）若，，，求． （3） 已知公式中的，和， 解方程即可求得． 整理，得． 所以． 解得，或(舍去)． 解： 练8. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列 的前n项和 ． （1） , , ； （2） , , ； （3） , , ；（4） , , ． 解：（1）由题意 ， ， ，所以 （2）由题意 ， ， ， 所以 . 解：（3）由题意 ， ， ， ， 所以 （4）由题意 ， ， ，由 ，得 ,解得 ,所以 . 练8. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列 的前n项和 ． （1） , , ； （2） , , ； （3） , , ；（4） , , ． 已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 解：（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. 已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 解：（2）由(1)知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以(倒序)， 又由(1)得，所以，所以. 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可 采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和， 这一求和方法称为倒序相加法. 1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习） 如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 由，， 可得，，则． 故选：C. 2．（24-25高二下·江西九江·期末·改编） 已知等差数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式； 设等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 3．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，.求. 因为， 所以 4．（25-26高三上·湖南常德·开学考试） 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（     ） A．14 B．30 C．42 D．60 因为等差数列的首项，公差为，所以 故选：B. 5．（24-25高二下·北京房山·期末） 在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（    ） A．18 B．36 C．54 D．72 在等差数列中，已知， 则该数列前8项和的值为. 故选：B. 6．（江西南昌·模拟预测·改编） 已知数列的通项公式，求数列的前项和. ，则，得，又，∴时，，而，， ∴数列的前项和， 而，， ∴，故. 1． 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 2．等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和， 这五个量可以＂ ＂． 一般是利用公式列出 的方程组，解出 ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 3．若数列是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （1） 因为等差数列中，，，， 所以，； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （2）因为等差数列中，，，，所以 ，解得； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （3）因为等差数列中，，，，所以 ，整理得， 解得，或（舍去），； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （4）因为等差数列中，，，， ，. 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ （1）通项公式为，所以， （2）通项公式为，所以， 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ （3） 因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数， 故最小是100，最大是995， 所以， 故和为， 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ （4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100， 所以在小于100的正整数中共有13个数被7整除余2， 每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7， 所以. $