专题01平行线压轴题（5大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

专题01 平行线压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行线M模型 2 类型二、平行线铅笔头模型 3 类型三、平行线与三角板问题 5 类型四、平行线与折叠问题 6 类型五、平行线与动点有关问题 7 压轴能力测评 9 一、角度之间的关系 1、互余角等于900；互补的角和等于1800 2、三角形的内角和等于1800；四边形内角和3600 3、三角形的外角等于不相邻的内角和； 结论： 证明： 2、 M型模型（也称“猪蹄模型”） 结论： 三、铅笔头模型 结论： 类型一、平行线M模型 例1．如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在，所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不和、重合），连接并延长到，设．要使得为定值，则　　． 变式1-1．已知：点在直线上，点在直线上，． （1）如图1，连，平分，平分，求的度数． （2）如图2，若，射线，分别在，的内部，且，当时，求的值． （3）如图3，在（1）的条件下，在直线上有一动点（点不与点重合），平分，若，请直接写出　或　（结果用含的式子表示）． 变式1-2．．如图，已知，点为平面内一点，过点作射线、，与相交于点，与相交于点． （1）如图1，当点在直线、之间区域内时，若，，求的度数； （2）分别在、的内部作射线、交于点，使得．且为整数）． ①如图2，当点在直线、之间区域内时，与交于点，若，，求的度数； ②如图3，当点在直线上方时，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 类型二、平行线铅笔头模型 例2．已知． （1）如图1，求的大小，并说明理由． （2）如图2，与的角平分线相交于点． ①若，，则　　． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图3，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 变式2-1．如图所示，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，．分别在和的平分线上取点，，连结，则　　，　　． 变式2-2．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 类型三、平行线与三角板问题 例3．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，平行时，则所有满足条件的的值为 　　． 变式3-1．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点，不能同时落在直线和之间． （1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点，分别放在，上，若，则的度数为 　　；（直接写出结论，不说明理由） （2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； （3）解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 变式3-2．如图，直线一副三角尺，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点以每秒3度的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，，设旋转时间为 ①在旋转过程中，若边，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点每秒2度的速度按顺时针方向旋转，对应点为，请求出当边时的值． 类型四、平行线与折叠问题 例4．图1是一张足够长的纸条，其中，点、分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，　 　（用含和的代数式表示） 变式4-1．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，． （1）若，则 的度数为 　　． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 　　（用含的代数式表示） 变式4-2．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为长方形（如图；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图，在两次折叠过程中，两条折痕、所成的角为　　度． 类型五、平行线与动点有关问题 例5．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 变式5-1．如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、，，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒．（1）如图1，直接写出下列答案： ①的度数是 　　； ②当旋转时间　　秒时，射线过点． （2）如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． （3）若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 变式5-2．如图1，已知点，分别是直线，上的点，，且． （1）的度数为 　　． （2）如图2，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，当射线旋转到与重合时，两条射线同时停止旋转． ①当，是否存在，使得？请说明理由． ②如图3，当时，射线和射线交于点，用含的代数式表示的度数． ③在②的条件上，过点作交于点，在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 1．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是 　　（用含的代数式表示）． 2．已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为点，固定含的三角 尺不动，将含的三角尺绕顶点转动，当点在直线的下方时， 使三角尺中的边与三角尺的一边平行．则 可能符合条件的度数为 　　． 4．，直线交于点，交于点，点在上，点在直线右侧、且在直线和之间，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图1，连接，若平分，，，．求的度数； （3）如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，，的平分线交于点，． （1）试说明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，线段上有点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，求的值． 6．已知，，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 7．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 8．如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点． （1）直接写出，，之间的关系：　 　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 9．当的其中一边与的某一边平行时的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当为 　　度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线压轴题解析版 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行线M模型 2 类型二、平行线铅笔头模型 6 类型三、平行线与三角板问题 9 类型四、平行线与折叠问题 15 类型五、平行线与动点有关问题 17 压轴能力测评 21 一、角度之间的关系 1、互余角等于900；互补的角和等于1800 2、三角形的内角和等于1800；四边形内角和3600 3、三角形的外角等于不相邻的内角和； 结论： 证明： 2、 M型模型（也称“猪蹄模型”） 结论： 三、铅笔头模型 结论： 类型一、平行线M模型 例1．如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在，所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不和、重合），连接并延长到，设．要使得为定值，则　3　． 【答案】：答案3． 【解析】：解：过点作，过作，则， ，，，， ，， 设，则， ， ， ， ， 当时，为定值． 答案：3． 变式1-1．已知：点在直线上，点在直线上，． （1）如图1，连，平分，平分，求的度数． （2）如图2，若，射线，分别在，的内部，且，当时，求的值． （3）如图3，在（1）的条件下，在直线上有一动点（点不与点重合），平分，若，请直接写出　或　（结果用含的式子表示）． 【答案】：（1）900；（2）；（3）或． 【解析】：解：（1）如图，过点作，． ，． ． ．即：， 、分别平分和， ，， ，， ，， ； （2）如图，过点，作，， ，，， ，，，， ，，， ， ，，； （3） 如图，由题意可知：平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ． 当在点右侧时，． 答案：或． 变式1-2．．如图，已知，点为平面内一点，过点作射线、，与相交于点，与相交于点． （1）如图1，当点在直线、之间区域内时，若，，求的度数； （2）分别在、的内部作射线、交于点，使得．且为整数）． ①如图2，当点在直线、之间区域内时，与交于点，若，，求的度数； ②如图3，当点在直线上方时，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】：（1）950；（2）①1050；②. 【解析】：解：（1）过点作，如图所示： ，，，， ，即， ，， ； （2）①过点作，如图2所示： 当时，， ，， 设，， ，， ，， ， ，，， ，， 由（1）可知：， ， ，，， ； ②与的数量关系是：，理由如下： 延长到，过点作，如图3所示： ，，，， 设，，，， ，， ，， ，，， ，， 由（1）可知：，， ， ，． 类型二、平行线铅笔头模型 例2．已知． （1）如图1，求的大小，并说明理由． （2）如图2，与的角平分线相交于点． ①若，，则　　． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图3，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 【答案】：（1）3600；（2）①600；②；（3）540. 【解析】：解：（1）过作，， ，，， ，； （2）①由（1）知， ，，， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， 答案：； ②由（1）知， ， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， 即； （3）设，则，由题意得，解得， 答案：的度数为． 变式2-1．如图所示，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，．分别在和的平分线上取点，，连结，则　260　，　　． 【答案】：260；40． 【解析】：解：过点作，过点作，过点 作，如图： ，，， ，， ，即， ，， 平分，平分， 设，，； ， ， ，，，， ，，， ， 的值为，答案：260；40． 变式2-2．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 【答案】：（1）1100；（2）；（3）。 【解析】：解：（1）如图1，过点作． ． ，．． ． ． ． （2）如图2，过点作． ，即． ，，． ，即．． ． （3）当在的左侧，如图3． ，． 又，，即． 当在的右侧，如图4． ，． 又，． ． 类型三、平行线与三角板问题 例3．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，平行时，则所有满足条件的的值为 　30或120　． 【答案】：（1）①； 【解析】：解：由题意得，，， （1）如图1，当时，延长交于点， ①在上方时， ，，，， ， ，， ，即，， ②在下方时，， ，，，，， ，， ，即， （不符合题意，舍去）， （2）当时，延长交于点， ①在上方时，，如图， 根据题意得：， ，，， ，即， ， ，此时应该在下方，不符合题意，舍去； ②在下方时，如图， 根据题意可知：， ，， ， 即，， 综上所述：满足条件的的值为30或120． 答案：30或120． 变式3-1．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点，不能同时落在直线和之间． （1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点，分别放在，上，若，则的度数为 　　；（直接写出结论，不说明理由） （2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； （3）解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】：（1）1000；（2）1100 ；(3)或； 【解析】：解：（1），， （两直线平行，同旁内角互补）， ，， ； 答案：； （2）过点作，如图1所示： 依题意得：，， ，，， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （邻补角概念）； （3）存在，射线与相交所夹锐角的度数为或． 分两种情况讨论如下： ①当点在上方时，设交于点，如图2所示： 依题意得：， 设，则， ，， 解得：，， ， （两直线平行，同旁内角互补）； ②当点在下方时，延长交于点，如图3所示： 依题意得：， 设，则， ， （邻补角概念）， ， 解得：，， ，（两直线平行，同旁内角互补）． 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 变式3-2．如图，直线一副三角尺，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点以每秒3度的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，，设旋转时间为 ①在旋转过程中，若边，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点每秒2度的速度按顺时针方向旋转，对应点为，请求出当边时的值． 【答案】：（1）600；（2）①10 s ；②6或42s； 【解析】：解：（1）如图①中， ，， 平分，， ，， ， ． （2）①如图②中， ，， ，， ，． 在旋转过程中，若边，的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ，， ，， ， ，． 如图③中，当时，延长交于． ，， ，， ， ，． 综上所述，满足条件的的值为或． 类型四、平行线与折叠问题 例4．图1是一张足够长的纸条，其中，点、分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，　　（用含和的代数式表示） 【答案】：； 【解析】：解：由折叠可知， ，．， ， 同理， ，．， ； 答案：． 变式4-1．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，． （1）若，则 的度数为 　　． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 　　（用含的代数式表示） 【答案】：；； 【解析】：解：（1）延长至，由翻折可得， ， ，， 答案：； （2）延长到点，由翻折可得， ， ，，，， ，， 答案：。 变式4-2．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为长方形（如图；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图，在两次折叠过程中，两条折痕、所成的角为　45　度． 【答案】：450； 【解析】：解：设，， 由折叠性质可知，，， 由，得，， 故， 答案：45． 类型五、平行线与动点有关问题 例5．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】：（1）300；（2）300；；（3）或82.5。 【解析】：解：（1）． 又，．，； （2）设灯转动时间为秒， 又，， ， ，， ，； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行． 依题意得 ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得（不合题意） 综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 变式5-1．如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、，，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒．（1）如图1，直接写出下列答案： ①的度数是 　　； ②当旋转时间　　秒时，射线过点． （2）如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． （3）若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 【答案】：（1）①1160；②16（2）；（3）①；②。 【解析】：解：（1）①，， ， 答案：； ②射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， 当秒后，过点时，旋转了， 此时，，， 故答案为：16； （2）由图2， 射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， 设， ， ， 又射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， 当秒后，旋转了，即：，， ，，此时旋转时间是秒； （3）①依图3， 根据题意有：，，， 在△中，， ，， ②的旋转速度要比的旋转速度快， 当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图4所示， ，， ，， ，，在△中，， 即：，，． 变式5-2．如图1，已知点，分别是直线，上的点，，且． （1）的度数为 　　． （2）如图2，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，当射线旋转到与重合时，两条射线同时停止旋转． ①当，是否存在，使得？请说明理由． ②如图3，当时，射线和射线交于点，用含的代数式表示的度数． ③在②的条件上，过点作交于点，在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】：（1）1350；（2）①不存在；②；（3）不变，。 【解析】：（1）解：，且，， 答案：； （2）解：①不存在，使得，理由如下： 由题意可得，， ，， ，， 要使，，即， 解得， ，不存在，使得； ②过点作， ，，， ，，， ，， ； ③，保持不变，理由如下： ，， ， ，． 1．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是 　　（用含的代数式表示）． 【答案】：; 【解析】:解：，，， （图，（图， （图． 答案：． 2．已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】:解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形，，， ， 又，，，， ，， 即：， ，， ，，， ．选：． 3．如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点转动，当点在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺的一边平行．则可能符合条件的度数为 　、 和　． 【答案】：、 和; 【解析】:解：由题意可知，点在直线的下方 如图所示，当时，； 如图所示，，； 如图所示，，， 答案：、 和． 4．，直线交于点，交于点，点在上，点在直线右侧、且在直线和之间，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图1，连接，若平分，，，．求的度数； （3）如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系，并说明理由． 答案】：(1)看解析;(2);(3)； 【解析】:解：（1）如图1，延长交于， ，， 是的外角，； （2）如图1，连接， ，， 由（1）知：， ，．，， ，，， 平分，， ，， 解得； （3）平分，设， ，， 在四边形中，，， 是的外角，， 又平分，， 即，整理可得，． 5．如图，，的平分线交于点，． （1）试说明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，线段上有点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，求的值． 【答案】：（1）见解析;（2）见解析；（3）的值是5或； 【解析】:（1）证明：，， 平分，； （2）解：，， ，， ，， ，平分； （3）解：有两种情况： ①当在的下方时，如图5，设， ，，， ，， ，， ，， ； ②当在的上方时，如图6， 同理得：，，． 综上所述，的值是5或． 6．已知，，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则　75　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【答案】：（1）75;（2）；（3）1420； 【解析】:解：（1）如图，延长交于， ，， 是的外角，， 答案：75； （2）． 理由：，， 是的外角，， ； （3）， 设，则，，，， 又，，， 平分，， ，， 即，解得，， 在中，． 7．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 【答案】：（1）550;（2）；（3）； 【解析】:解：（1）如图1，过点作， ，，．， 又，，； （2）， 理由：如图2，过点作，则， ， ，， ，， ，即； （3）如图3，过点作的平行线． ，，， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 同（1）易得，， ， ． 8．如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点． （1）直接写出，，之间的关系：　　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】：（1）;（2）750；（3）的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒； 【解析】:解：（1），， 是的外角，， ． 答案：； （2），，， ，， ，，， 平分，， ，，， ，， ，， ． （3）①当时，延长交边于， ，， ，，， 当绕点旋转时，，秒， ②当时， ，， ，， 当绕点旋转时，，秒， ③当时，即与在同一直线上时， ，当绕点旋转时，，秒， ④当时， ，． 当旋转时，．（秒． ⑤当时， ，，． 当旋转时，．（秒． 答案：的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 9．当的其中一边与的某一边平行时的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当为 　15　度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【答案】：（1）15;（2）见解析；（3）或9或21或27或30； 【解析】:解：（1）当时，， 图形如下： 答案：15； （2）设：，， ①如图，当时，，，故； ②当时，同理可得：， ③当时，同理可得：； （3）①当时，，； ②当时，，； ③当时，，； ④当时，，； ⑤当时，，； 综上，或9或21或27或30． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$