七下期中压轴题专练（十大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

浙教版七下期中考压轴题专练 目录 压轴题题型讲练 类型一、平行线性质与判定 1 类型二、平行线的模型大M与铅笔头 3 类型三、平行线的动点问题 5 类型四、二元一次方程整体思想 7 类型五、二元一次方程公共解 8 类型六、二元一次方程组应用题 10 类型七、含参多项式的运算 12 类型八、乘法公式运用 13 类型九、乘法公式与几何背景 15 类型十、常考创新题 17 类型一、平行线性质与判定 1．如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　 A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 2．如图，已知，交于点，且，平分，点是上的一个定点，点是所在直线上的一个动点，则点在运动过程中，与的关系不可能是　　 A． B． C． D． 3．如图1，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，则　 ． 类型二、平行线的模型大M与铅笔头 4．如图，已知，和分别平分和，若，则　　． 5．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 6．如图，已知，点，分别为，之间的点． （1）如图1，若，求的度数； （2）若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数． 7．已知：点在直线上，点在直线上，． （1）如图1，连，平分，平分，求的度数． （2）如图2，若，射线，分别在，的内部，且，当时，求的值． （3）如图3，在（1）的条件下，在直线上有一动点（点不与点重合），平分，若，请直接写出　 （结果用含的式子表示）． 类型三、平行线的动点问题 8．如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，． （1）的度数为 　　． （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当直线与的夹角为时，求的值． 9．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当为 　　度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 10．已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． （1）若，求的度数． （2）如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 类型四、二元一次方程整体思想 11．已知的解是，则方程组的解是　　． 12．若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是　　 A． B． C． D． 13．方程组有正整数解，则整数的值为 　　． 14．已知关于和的方程组为常数），得到下列结论： ①无论取何值，都有； ②若，则； ③方程组有非负整数解时，； ④若和互为相反数，则，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 类型五、二元一次方程公共解 16．关于，的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是　　 A． B． C． D． 17．已知方程组与有相同的解，则　　． 18．若方程组和方程组有相同的解，求，的值． 19．已知关于，的二元一次方程组为实数） （1）若方程组的解始终满足，求的值； （2）已知方程组的解也是方程为实数，且的解 ①探究实数，满足的关系式； ②若，都是整数，求的最大值和最小值． 20．已知关于，的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 类型六、二元一次方程组应用题 21．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背张，座垫张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　9　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 22．要制作200个，两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图①．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图②，切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作种木盒个，则制作种木盒 　 　个；若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材 　　张； （2）该200张木板材恰好能做成200个和两种规格的无盖木盒，请分别求出，木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数． 23．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 （1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 　1650　元； （2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 　　箱．（直接写出答案） 24．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）． （1）填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 （2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ （3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 类型七、含参多项式的运算 25．已知、、满足，，则　　． 26．使的乘积不含和，则、的值为　　 A．， B．， C．， D．， 27．如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为　　 A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7 28．已知 （1）设，是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由； （2）若，且的值与无关，求的值． 29．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：　　． （2）满足条件的整数有且只有4个，则　　． 类型八、乘法公式运用 30．若满足，则　　 A．5 B．11 C．25 D．26 31．先阅读下面的例题，再解决问题：例题：若，求和的值，解：， ， ， ，， ，， ，． 问题： （1）若，求和的值． （2）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由． 32．如图，点在长方形的边上，且四边形、四边形均为正方形，延长交于点，设，，的面积记为，四边形的面积记为，长方形的面积记为． （1）用、的代数式表示和； （2）若，求的值； （3）若，，求的长． 33．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，； （2）若，且，求的值； （3）若，试说明 是完全平方式． 类型九、乘法公式与几何背景 34．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是　　 A． ①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 35．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：． （1）由图2，可得等式 　 　； （2）利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值． （3）如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积． 36．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，根据图中的面积写出关于、的等量关系式：　 　； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片 　　张； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 类型十、常考创新题 37．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．阅读下列材料： 一般地，个相同的因数相乘记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． （1）计算以下各对数的值： 　　，　　，　　． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 　　；且，， （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论． 39．我们规定两数、之间的一种运算，记作，：如果，那么，． 例如，，对于任意自然数，可以证明，，． 理由如下：设，，则，，，，，，，． （1）根据以上规定求出：，　　；，　　； （2）①说明等式，，，成立的理由； ②并计算； （3）类比猜想：． 40．给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式． （1）关于的二次多项式的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对，4，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对，，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，直接写出的值为 　　． 41．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． （2）请你利用上面的结论计算： ． 42．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：　 　； （2）如图3，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为、的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 　　． （3）利用图2得到的结论，解决问题： 若实数、、满足，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版七下期中考压轴题专练 目录 压轴题题型讲练 类型一、平行线性质与判定 1 类型二、平行线的模型大M与铅笔头 4 类型三、平行线的动点问题 8 类型四、二元一次方程整体思想 12 类型五、二元一次方程公共解 15 类型六、二元一次方程组应用题 18 类型七、含参多项式的运算 22 类型八、乘法公式运用 24 类型九、乘法公式与几何背景 27 类型十、常考创新题 30 类型一、平行线性质与判定 1．如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　 A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【答案】：C; 【解析】：解：，， ①正确；过点作， ，， ，， 设，，则，， ， ，②正确； ， ， ，③错误； ，④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 选：． 2．如图，已知，交于点，且，平分，点是上的一个定点，点是所在直线上的一个动点，则点在运动过程中，与的关系不可能是　　 A． B． C． D． 【答案】：D; 【解析】：解：，， 平分，， 如图，当点在和之间时，过点作， ， ，， ， ，故不符合题题意； 当点在上方时，如图，过点作， ， ，， ，，， ， ，故不符合题题意；符合题意； 当点在下方时，如图，过点作， ， ，，， ， ，故不符合题题意； 选：． 3．如图1，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，则　 ． 【答案】：（1）见解析 ; （2）①200 ; ②或 ; 【解析】：解：（1），， ，， ； （2）①如图2，过作交于， ，，，， ，， ，， ； ②如图3，过作交于， ，，， ，， ，， ， ． 如图4，过作交于， ，，， ，， ，， ， ， 综上所述，或， 答案：或． 类型二、平行线的模型大M与铅笔头 4．如图，已知，和分别平分和，若，则　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图，过作，过作， ，， ，， ，， 设，，，， 和分别平分和，，， ，，， ， ，， 解得：，； 答案：． 5．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 【答案】：（1）550 ; （2） ; （3） ； 【解析】：解：（1）如图1，过点作， ，，． ， 又，， ； （2）， 理由：如图2，过点作，则， ， ，， ，， ，即； （3）如图3，过点作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 同（1）易得，， ， ． 6．如图，已知，点，分别为，之间的点． （1）如图1，若，求的度数； （2）若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数． 【答案】：（1）1000 ; （2）①360 ; ②180 ; 【解析】：解：（1）过点作， ，， ，， ； （2）①，是定值，理由如下： 如图，过作，过作， ， ，而，， ，，， ； ②如图，平分，平分， ， ， 由①得：， ， ． 7．已知：点在直线上，点在直线上，． （1）如图1，连，平分，平分，求的度数． （2）如图2，若，射线，分别在，的内部，且，当时，求的值． （3）如图3，在（1）的条件下，在直线上有一动点（点不与点重合），平分，若，请直接写出　 （结果用含的式子表示）． 【答案】：【答案】：（1）900 ; （2） ; （3） 或　 ； 【解析】：解：（1）如图1，过点作， ． ，．． ．即：， 、分别平分和， ，， ，， ，， ； （2）如图2，过点，作，， ，，， ，，，， ，， ， ， ，， ； （3）如图3，由题意可知：平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ． 当在点右侧时，． 答案：或． 类型三、平行线的动点问题 8．如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，． （1）的度数为 　　． （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当直线与的夹角为时，求的值． 【答案】：（1）600 ; （2） ①400; ②6； 【解析】：解：（1）延长与相交于点，如图1， ，， ，， ， 答案为：； （2）①Ⅰ如图2， ，， ， 射线运动的时间（秒， 射线旋转的角度； Ⅱ如图3所示， ，， ， 射线运动的时间（秒， 射线旋转的角度（不符合题意，舍去）， 综上所述，的度数为； ②如图4，设直线与交于点，则， ，， ， ，， ， ， ， 解得：． 9．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当为 　　度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【答案】：（1）15 ; （2） ; ； ；（3）或9或21或27或30； 【解析】：解：（1）当时，， 图形如下：答案15； （2）设：，， ①如图，当时， ，，故； ②当时，同理可得：， ③当时，同理可得：； （3）①当时，，； ②当时，，； ③当时，，； ④当时，，； ⑤当时，，； 综上，或9或21或27或30． 10．已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． （1）若，求的度数． （2）如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】：（1）600 ; （2）①360；②； 【解析】：解：（1）如图1，由翻折的性质得：， ， 四边形是矩形， ，， ，， ． （2）①如图2，， ，， ， 由翻折的性质得：， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ． ②如图3， ，， 由翻折得， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ， ，，，， ，． 类型四、二元一次方程整体思想 11．已知的解是，则方程组的解是　　． 【答案】：； 【解析】：解：将代入得：， 将代入方程组得： 解得：， 答案：． 12．若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解析】：解：关于，的方程组，解为， 关于，的方程组中， 解得：， 即第二个方程组的解是， 选：． 13．方程组有正整数解，则整数的值为 　　． 【答案】：，； 【解析】：解：，①②，得，把代入②，得， 方程组有正数解，，，解得， 方程组有正整数解，，， ，的整数为，，，0，1，2， 分别代入，， 使，为正整数解的的值为， 、， 答案：，． 14．已知关于和的方程组为常数），得到下列结论： ①无论取何值，都有； ②若，则； ③方程组有非负整数解时，； ④若和互为相反数，则，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：C; 【解析】：解：方程组， ①②得，即，故①正确； 若，则，解得， ，故②正确； 解方程组，得， 方程组有非负整数解时，有， ，或1，故③不正确； 若和互为相反数，则， ，，故④正确． 选：． 15．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 【答案】：C; 【解析】：解：由，解得，当时，， 将代入，①错误，故不符合要求； ，令， 解得， 当时，，②正确，故符合要求； ， 无论取什么实数，的值始终不变，③正确，故符合要求； ， 解得，④正确，故符合要求， 正确的有②③④， 选：． 类型五、二元一次方程公共解 16．关于，的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：当，得． ． 当，得． ． 这个公共解是． 选：． 17．已知方程组与有相同的解，则　　． 【答案】：; 【解析】：解：根据方程组与有相同的解得出方程组： ，解方程组得：， 把代入方程，得 ，解得：， 把代入方程，得， 解得：， ． 答案：． 18．若方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】：； 【解析】：解：将和组成方程组得，，解得，， 将分别代入和得，， 解得． 19．已知关于，的二元一次方程组为实数） （1）若方程组的解始终满足，求的值； （2）已知方程组的解也是方程为实数，且的解 ①探究实数，满足的关系式； ②若，都是整数，求的最大值和最小值． 【答案】：（1） ; （2）①；②当时，取得最大值10；当时，取得最小值； 【解析】：解：（1），②①得：，即， 把代入中得：，解得：； （2）①把代入方程组第一个方程得：，方程组的解为， 代入得：，即； ②由，得到， ，都是整数，，，，，， 当，即时，取得最大值10；当，即时，取得最小值． 20．已知关于，的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】：（1），； （2）；（3） ；（4）或 ； 【解析】：解：（1）方程，，解得：， 当时，；当时，， 方程的所有正整数解为：，； （2）由题意得：，解得， 把代入，解得； （3），， 当时，，即固定的解为：， （4）， ①②得：，，， 恰为整数，也为整数，是1的约数， 或， 或． 类型六、二元一次方程组应用题 21．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背张，座垫张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　9　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】：任务一：9，3；2，6；任务二：该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；任务三：需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张； 【解析】：解：任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：，， ，为非负整数，或或， 方法二：裁切靠背9张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背2张和坐垫6张； 故答案为：9，3；2，6； 任务二：（张， 该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅； 任务三：应该是设张靠背9张和坐垫3张．张靠背2张和坐垫6张， 根据题意得：，解得：， （张， 需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张． 22．要制作200个，两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图①．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图②，切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作种木盒个，则制作种木盒 　 　个；若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材 　　张； （2）该200张木板材恰好能做成200个和两种规格的无盖木盒，请分别求出，木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数． 【答案】：（1）， ；（2）故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张； 【解析】：解：（1）要制作200个，两种规格的顶部无盖木盒，制作种木盒个， 故制作种木盒个； 有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 答案：，； （2）使用甲种方式切割的木板材张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作种木盒个，则需要长、宽均为的木板个， 制作种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故， 解得：， 故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张． 23．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 （1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 　1650　元； （2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 　　箱．（直接写出答案） 【答案】：（1）1650 ; （2）①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；② 6 ； 【解析】：解：（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元， 答案：1650； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：，解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数，，或， ，，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 答案：6． 24．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）． （1）填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 （2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ （3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】：（1）见解析 ；（2） ；（3）19 ； 【解析】：解：（1）填表如下： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 4 1 1只横式无盖铁容器中 3 2 （2）设可以加工竖式长方体铁容器个，横式长方体铁容器个，依题意得： ，解得：， 答：可加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个； （3）设用块铁板裁成长方形铁片，块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片， 依题意，得：， ． ，，均为非负整数， ，． 当，时，； 当，时，． ， 最多可以加工成19个铁盒． 类型七、含参多项式的运算 25．已知、、满足，，则　　． 【答案】：1； 【解析】：解：， ，， ，， ， ，， ，， ．答案：1． 26．使的乘积不含和，则、的值为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】：C; 【解析】：解：原式， 由乘积不含和项，得到，， 解得：，， 选：． 27．如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为　　 A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7 【答案】：D; 【解析】：解：长为，宽为的大长方形的面积为：， 类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， 需要类卡片2张，类卡片6张，类卡片7张． 选：． 28．已知 （1）设，是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由； （2）若，且的值与无关，求的值． 【答案】：（1） ；（2）8 ； 【解析】：解：（1）， 把代入得：，即， 解得：， 则能化简为，此时； （2）， ， 由的值与无关，得到，即， 则原式． 29．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：　　． （2）满足条件的整数有且只有4个，则　　． 【答案】：（1） ；（2）2 ； 【解析】：解：（1）， ， ， 为正整数，， ，， 答案：． （2）， 的整数有且只有4个，这四个整数解为5，6，7，8， ，解得：， ． 答案：2． 类型八、乘法公式运用 30．若满足，则　　 A．5 B．11 C．25 D．26 【答案】：B; 【解析】：解：设，， ， ， ， ， 选：． 31．先阅读下面的例题，再解决问题：例题：若，求和的值，解：， ， ， ，， ，， ，． 问题： （1）若，求和的值． （2）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由． 【答案】：（1）；（2）当，时，代数式有最小值2019 ； 【解析】：解：（1）， ，，， ； （2） ． ，， ． 当，时， 即当，时，代数式有最小值2019． 32．如图，点在长方形的边上，且四边形、四边形均为正方形，延长交于点，设，，的面积记为，四边形的面积记为，长方形的面积记为． （1）用、的代数式表示和； （2）若，求的值； （3）若，，求的长． 【答案】：（1） ；；（2） ；（3） ； 【解析】：解：（1）点在长方形的边上，四边形和四边形为正方形，且，， ，， ， ； （2），， ， ，， ； （3），， ，， ， ，， ． 33．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，； （2）若，且，求的值； （3）若，试说明 是完全平方式． 【答案】：（1） ；；（2）0 ；（3）见解析 ； 【解析】：解：（1）， ． （2）， ． ． ， ， ． （3）当时，， ， ． 是完全平方式． 类型九、乘法公式与几何背景 34．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是　　 A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】：C; 【解析】：解：由拼图可知，，，因此①正确； 由于，因此③正确； 由于表示一个小长方形的面积，由拼图可知，，因此②不正确； 由于， 因此④不正确； 综上所述，正确的有①③， 选：． 35．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：． （1）由图2，可得等式 　 　； （2）利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值． （3）如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积． 【答案】：（1） ；（2）45 ；（3）20 ； 【解析】：解：（1）看成一个整体面积为：， 看成9个小长方形的和则为：， 即：， ， 答案：． （2）由． 得，． ，， ． （3） ， ，， 原式． 阴影部分的面积为20． 36．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，根据图中的面积写出关于、的等量关系式：　 　； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片 　　张； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】：（1） ; （2）3 ；（3）① 7 ；②16 ； 【解析】：解：（1）图2是边长为的正方形，因此面积为， 图2可以看作4个部分的面积和，即为， 所以关于、的等量关系式为：； 答案：； （2）， 所以要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片3张； 答案：3； （3）①，， ，即； ②设，，则，，， ， ， 故的值为16． 类型十、常考创新题 37．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B; 【解析】：解：，，， 解得，故（1）正确； ，， ，，故（2）正确； ，， 当时，则不成立，，， 、都是整数，或或， 或或0或或或， 满足题意的、的值可以为，，，，，，故（3）错误； ，，，， ，， ，，对任意有理数、都成立， ，故（4）错误． 综上：正确的有①②． 选：． 38．阅读下列材料： 一般地，个相同的因数相乘记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． （1）计算以下各对数的值： 　　，　　，　　． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 　　；且，， （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论． 【答案】：（1）2；4；6 ；（2） ；（3）； （4）； 【解析】：解：（1），，； （2），； （3）； （4）证明：设，， 则，， ， 即． 39．我们规定两数、之间的一种运算，记作，：如果，那么，． 例如，，对于任意自然数，可以证明，，． 理由如下：设，，则，，，，，，，． （1）根据以上规定求出：，　　；，　　； （2）①说明等式，，，成立的理由； ②并计算； （3）类比猜想：． 【答案】：（1）3，0； ; （2）①见解析 ；②14 ；（3）6； 【解析】：解：（1）设，，则，故，即，； 设，，则， 故，即，； 答案：3，0； （2）①设，，，，则，， 故，则，， 即，，，； ②设，，，，则，， 故，则，， 即，，，； 答案：14； （3）设，，，，则，， 故，则，， 即，，，． 答案：6． 40．给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式． （1）关于的二次多项式的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对，4，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对，，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，直接写出的值为 　　． 【答案】：（1），2，；（2） ；（3）-6 ； 【解析】：解：（1）关于的二次多项式的特征系数对为，2，， 答案：，2，； （2）有序实数对，4，的特征多项式为：， 有序实数对，，的特征多项式为：， ； （3）根据题意得，令， 则， ， ， ， 答案：． 41．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． （2）请你利用上面的结论计算： ． 【答案】：（1）；；；； 【解析】：解：（1）； ； ； ； （2）． 答案：（1）；；； 42．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：　 　； （2）如图3，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为、的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 　　． （3）利用图2得到的结论，解决问题： 若实数、、满足，，求的值． 【答案】：（1） ；（2） ；（3）-20 ； 【解析】：解：（1）由图2知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 答案：． （2）有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片， 又， 从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，可以拼成的正方形的最大边长为． 故答案为：． （3）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$