精品解析：内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

鄂尔多斯市西四旗2024～2025学年第一学期期末联考试卷 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：一轮复习集合～解析几何. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若与方向相同，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 8 B. C. D. 5. 已知直线：，：，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 2或-5 D. 5或-2 6. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 7. 已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 10. 已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 存在点P，使得 C. 面积的最大值是1 D. 存在点P，使得为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知偶函数满足：当时，，则______. 13. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为________cm. 14. 已知圆和圆与x轴和直线都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为，且两圆半径的乘积为5，则k的值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求四边形的周长； （2）求四边形的面积． 17. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 18. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为2的等边三角形，且平面平面，点E是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值； （3）求点到直线的距离的最小值. 19. 已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点（）处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”. （1）若，是函数关于的“切线数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式； （3）若（），是否存在（），使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂尔多斯市西四旗2024～2025学年第一学期期末联考试卷 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：一轮复习集合～解析几何. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数乘法求复数，进而有，根据其对应点坐标确定所在象限. 【详解】由，则， 所以在复平面内z对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A 3. 已知向量，，若与方向相同，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行可得的值，利用与方向相同验证可得结果. 【详解】由与方向相同得，， ∴，解得， 当时，，，，与方向相同， 当时，，，，与方向相反，不合题意. 综上得，. 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切函数的和角公式，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 5. 已知直线：，：，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 2或-5 D. 5或-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行，结合一般式方程建立方程，分别验根，可得答案. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得或. 当时，直线：与直线：重合，不符合题意； 当时，直线：与直线：平行，符合题意. 综上，. 故选：A. 6. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，计算可求得. 【详解】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比， 所以，，，成等比数列， 又，，所以，， 所以. 故选：C. 7. 已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作C的准线的垂线，垂足为，结合抛物线定义及三角形的性质有求周长最小值. 【详解】由题知，准线方程为，过点P作C的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，又， 所以， 当且仅当M，P，三点共线时取得最小值， 故周长的最小值是. 故选：C 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【详解】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象， 令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数周期求解判断A，根据余弦型函数的对称性判断B，根据余弦型函数的单调性判断C，根据对称中心结论求解判断D. 【详解】由题意可知，解得，故A错误； 由上得， 令，，解得，， 当时，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 当时，， 因为函数在上单调递减， 易得在上单调递减，且， 所以，故C正确； 令，，解得，， 所以的对称中心为（），故D错误. 故选：BC. 10. 已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理可得A错误，B正确；由线面垂直的的性质可得C正确，D错误； 【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，因为，，，所以，故B正确； 选项C中，因为，，所以，又，所以，故C正确； 选项D中，因为，，，所以，故D错误. 故选：BC. 11. 曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 存在点P，使得 C. 面积的最大值是1 D. 存在点P，使得为钝角 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由已知表示出曲线C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设结论成立，推理出曲线存在，符合题意；C选项，点P在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点，验证为钝角. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意可知C的方程为. 因为点在曲线C上，而点不在曲线C上，所以曲线C不关于x轴对称，故A错误； 若，则，所以这样的点P存在，故B正确； ，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点， 此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C正确； 取曲线C上点，此时， 在曲线C上再寻找一个特殊点，， 则，即， 两边平方并整理得，解得， 即或. 因为，则取点， 此时，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是判断曲线C的方程表示的几何图形，根据已知条件并数形结合P点的位置，再通过找特殊点得出即或，并取点，从而解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知偶函数满足：当时，，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合对数运算，可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以. 故答案为：. 13. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为________cm. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式以及圆柱的体积公式，可得答案. 【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为， 圆柱形容器中液态原料的体积为，解得， 即圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为. 故答案为：. 14. 已知圆和圆与x轴和直线都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为，且两圆半径的乘积为5，则k的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设出圆心与半径，根据圆的标准方程，将问题转化为一元二次方程有解问题，利用韦达定理求得两圆心所在直线的斜率，根据正切的二倍角公式，可得答案. 【详解】圆和圆与x轴和直线都相切，且一个交点， 设a，b分别是圆和圆的半径，，，其中， 所以，所以a，b是的两个不同的根， 又，所以，解得，所以， 而直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于方程思想的应用，将问题转化为一元二次方程有解问题，利用韦达定理求参数，即可使问题解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前n项和公式求基本量，进而写出通项公式； （2）根据的符号，讨论、，结合等差数列前n项和公式求. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，则； 当时，，则， 当时，， 当时，. 综上，. 16. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求四边形的周长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【小问1详解】 因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 17. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. 【小问2详解】 设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 18. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为2的等边三角形，且平面平面，点E是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值； （3）求点到直线的距离的最小值. 【答案】（1）取的中点F，连接，， 又，点F是的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点F，可得，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）取的中点O，由面面垂直、线面垂直的性质定理得，，以O为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法求出可得答案； （3）设，，求出点到直线的距离，分、、可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点O，连接，，如图所示， 因为为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以，， 又，得，所以以O为坐标原点，直线，， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 设，， 所以， 又，设平面的法向量为， 所以， 令，解得，， 所以平面的法向量. 又，， 设平面的法向量为，所以， 令，解得，， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 解得，所以； 【小问3详解】 设，， 所以， 又，所以点到直线的距离 ， 当时，； 当时，， 而，当时，取最小值， 此时. 综上，点到直线的距离的最小值为. 19. 已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点（）处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”. （1）若，是函数关于的“切线数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式； （3）若（），是否存在（），使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 由，得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，即， 由，得（）， 设，则. 已知，由，得，所以（）. 函数的定义域为，， 所以函数在上单调递增， ①当（，）时， ， ， 所以数列在时单调递减，故数列不是周期数列； ②当（，）时， ， ， 所以数列在时单调递增，故数列不是周期数列. 综上所述，当时，不存在（）， 使得关于的“切线数列”为周期数列. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，结合导数的几何意义，求得切线方程，进而求得的值； （2）根据题意，利用导数的几何意义求得切线方程为，令，得到，结合，证得，进而得到，结合等比数列的通项公式，即可求解； （3）根据题意，利用导数的几何意义，求得切线方程为，得到，设，利用导数求得函数在上单调递增，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 令，得，即. 【小问2详解】 由，得， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 令，得，即. 因为，所以，， 即，所以（）， 所以 ， 又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，利用函数的基本性质，以及导数求得函数的单调性与最值，同时在解决问题时要注意这一特殊性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $