第10讲 二元一次方程组的基础（知识串讲+10考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第10讲 二元一次方程组的基础 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练二元一次方程的概念; 2.掌握二元一次方程的解 3.掌握二元一次方程组的定义。 1.二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【补充说明】 1）二元一次方程的解都是成对的两个数，一般用大括号联立起来表示，如x=2，y=4是二元一次方程的解，写成. 2）一般地，二元一次方程的解有无数个，例如中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解． 3）满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 4）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 2.二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【补充说明】 1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，如：，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 2）在方程组的每个方程中，相同的字母必须代表同一未知量. 3）二元一次方程组中的每个方程都是整式方程. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【补充说明】 1）二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解或无解. 2）二元一次方程组的解是方程组中每个方程的解，但方程组中单个方程的解不一定是这个方程组的解. 考点一：二元一次方程的识别 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程是二元一次方程，则（      ） A． B． C． D． 考点二：已知二元一次方程求参数 4．（24-25七年级上·云南文山·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）是关于，的二元一次方程，则 ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 考点三：二元一次方程组的解 8．（23-24七年级下·全国·期末）写出一个二元一次方程，使它的一个解为： ． 9．（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 10．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点四：已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 12．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 14．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 15．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则 ． 考点五：二元一次方程组的识别 17．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 18．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 19．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点六：已知二元一次方程组求参数值 21．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 22．（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是 ． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 考点七：判断是否是二元一次方程组的解 25．（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·北京海淀·期末）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 28．（2024七年级下·全国·专题练习）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 考点八：已知二元一次方程组的解求参数 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程组的解为．那么被“”遮住的两个数分别为（　　） A．3，10 B．4.10 C．10，4 D．10，3 30．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 31．（22-23七年级下·广西贵港·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 考点九：以开放性试题的形式考查二元一次方程（组） 32．（2024七年级上·全国·专题练习）写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ． 33．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势▪结论开放请写出一个以，为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ． 34．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）请写出一个二元一次方程组 ，使该方程组解为． 35．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）写出一个解为的方程组： （答案不唯一，写出一个即可）． 36．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）若是关于x，y的二元一次方程，请写出m的一个值 ． 考点十：二元一次方程整数解问题 37．（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 38．（2024七年级下·浙江·专题练习）请写出方程的一组正整数解 或 ． 39．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则 ，并直接写二元一次方程的所有正整数解 ． 40．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）写出二元一次方程的一组整数解： ．（写出一组即可） 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·吉林四平·期末）下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 5．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）某人身上只带有2元和5元两种货币，他买一件物品需支付27元，则付款恰好不用找零的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的所有正整数解（        ） A．2 B．4 C．1 D．3 9．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·贵州贵阳·一模）把这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为（      ） A．11 B．10 C．9 D．8 11．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程中，用的代数式表示，得 ． 12．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）在二元一次方程中，若互为相反数，则 ， 14．（23-24七年级下·云南大理·期末）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为 ． 15．（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 16．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）圆周上刻有1，2，3三个数字并把圆周三等分．现有一长一短两指针同时指在1处．每次操作只允许转长针或短针中的一根，并顺时针旋转．操作一次，记录一次．经过9次操作后，两针刚好回到初始位置，且记录得到的9次图形的形态均互不相同． (1)写出其中一种可行的方案． (2)问共有几种方案符合题干． 17．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 二元一次方程组的基础 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练二元一次方程的概念; 2.掌握二元一次方程的解 3.掌握二元一次方程组的定义。 1.二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【补充说明】 1）二元一次方程的解都是成对的两个数，一般用大括号联立起来表示，如x=2，y=4是二元一次方程的解，写成. 2）一般地，二元一次方程的解有无数个，例如中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解． 3）满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 4）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 2.二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【补充说明】 1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，如：，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 2）在方程组的每个方程中，相同的字母必须代表同一未知量. 3）二元一次方程组中的每个方程都是整式方程. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【补充说明】 1）二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解或无解. 2）二元一次方程组的解是方程组中每个方程的解，但方程组中单个方程的解不一定是这个方程组的解. 考点一：二元一次方程的识别 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”，即可解答． 【详解】A．是二元一次方程，此选项符合题意； B．是一元二次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； C．不是二元一次方程，此选项不符合题意； D．是一元一次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】⑤ 【分析】本题考查二元一次方程的识别，根据二元一次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①，不是方程； ②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程； ③整理得：，不是二元一次方程； ④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑤整理得：，是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的有：⑤， 故答案为：⑤． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程是二元一次方程，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：如果是关于x、y的二元一次方程，则． 故选：C． 考点二：已知二元一次方程求参数 4．（24-25七年级上·云南文山·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键． 由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ，，， 解得：，， 则， 故答案为： 5．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】解：存在． ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，，解得． 故当时，方程是关于x，y的二元一次方程． 考点三：二元一次方程组的解 8．（23-24七年级下·全国·期末）写出一个二元一次方程，使它的一个解为： ． 【答案】 （答案不唯一）． 【分析】本题考查了二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边成立的未知数的值叫二元一次方程的解． 根据二元一次方程的解的含义求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴使解为的二元一次方程可以为． 故答案为： （答案不唯一）． 9．（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 故答案为：（答案不唯一）． 10．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【详解】解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二元一次方程组的解，先根据题意得到，再根据x、y都是正整数，得到一定是3的倍数，据此讨论y的值，确定x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴一定是3的倍数， ∴当时，满足题意， 当时，满足题意； ∴二元一次方程的正整数解的个数是2个， 故选：B． 考点四：已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 12．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：7． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，直接把x，y的值代入进而计算得出答案，正确代入计算是解题关键． 【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：2024 ． 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程的解，：把分别代入方程和求解即可． 【详解】解：把分别代入方程和得：，， 解得：， 则． 故答案为：7． 考点五：二元一次方程组的识别 17．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 18．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 19．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：B． 20．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 考点六：已知二元一次方程组求参数值 21．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 22．（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是 ． 【答案】-2或-3 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：根据是关于，的二元一次方程组， 则，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 或，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 故填：-2或-3 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 考点七：判断是否是二元一次方程组的解 25．（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 26．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 27．（23-24七年级下·北京海淀·期末）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 28．（2024七年级下·全国·专题练习）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键． 【详解】解：A选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意； B选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； C选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； D选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 故选：． 考点八：已知二元一次方程组的解求参数 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程组的解为．那么被“”遮住的两个数分别为（　　） A．3，10 B．4.10 C．10，4 D．10，3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入，求出，再代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， 把代入，得：； 故选C． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入可得，则，即可求解． 【详解】解：把代入可得， 由题意得，解得， 故选：D． 31．（22-23七年级下·广西贵港·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．根据题意得到关于的二元一次方程解出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， 故选C． 考点九：以开放性试题的形式考查二元一次方程（组） 32．（2024七年级上·全国·专题练习）写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的定义及二元一次方程组解的定义， 根据二元一次方程的解的定义求得的值，然后写出一个符合题意的方程即可． 【详解】解：∵的一组解为， ∴， 解得：， 则它的解为， 那么所组成的方程组的解为的二元一次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 33．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势▪结论开放请写出一个以，为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义，所写方程组为、的和与差的两个方程即可． 【详解】解：方程组可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 34．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）请写出一个二元一次方程组 ，使该方程组解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次本题考查的是二元一次方程组解的定义，根据方程组的解找出与的和差倍分数量关系是解答此题的关键． 方程组的解为，找到与的数量关系，然后列出方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 35．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）写出一个解为的方程组： （答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握方程的解的定义，是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，即可得到答案． 【详解】解：是的二元一次方程可以是：，， 方程组可以是 故答案是：． 36．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）若是关于x，y的二元一次方程，请写出m的一个值 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．利用二元一次方程的定义，得出关于的一元一次不等式组，再解不等式组即可即可． 【详解】解：因为是关于、的二元一次方程， 所以且， 所以且， 的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一，除0，1外的任何一个值，只要写出一个即可）． 考点十：二元一次方程整数解问题 37．（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 先用x表示y，再根据x与y为正整数可得x为偶数，从而得到x的取值，即可求得． 【详解】解：根据题意得，， ∵ x和y为正整数， ∴ x为2的倍数， ∴或4， ∴或． 故答案为：或． 38．（2024七年级下·浙江·专题练习）请写出方程的一组正整数解 或 ． 【答案】 【分析】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．由题意求方程的解且要使，都是正整数，将方程移项将和互相表示出来，在由题意要求，根据以上两个条件可夹出合适的值从而代入方程得到相应的值． 【详解】解：由已知方程， 移项，系数化为1得， 又，都是正整数， 则有， 又， ， 又为正整数， 是3的倍数， 、4， 代入方程得相应、2， 方程的一组正整数解为：，． 故答案为：， 39．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则 ，并直接写二元一次方程的所有正整数解 ． 【答案】 1 ，， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 原二元一次方程为：， 当时，， 当时，， 当时，， 故二元一次方程的所有正整数解为：，，， 故答案为：1；，，． 40．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）写出二元一次方程的一组整数解： ．（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的解，令取一固定值，求出对应的y值即可． 【详解】解：对于， 当时，， 是二元一次方程的一组整数解， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知数的代数式表示另一个未知数是解决问题的关键． 对于方程，用含的代数式表示，得，由此可对选项A，B进行判断；用含的代数式表示，得，由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项A，B不正确，不符合题意； 对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项C不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（22-23七年级下·吉林四平·期末）下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； C．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义．先把代入求y的值，然后直接求解即可． 【详解】解：由题意得： 把代入，得：， ∴得到； ∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1． 故选：A． 5．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选B． 6．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要是考查了二元一次方程的解，准确计算是解题的关键．要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数的值即可． 【详解】解：由，得， ∵x，y都是正整数， ∴是正整数， 满足条件的x值只能是，，， 分别与之对应：，，， ∴，，． ∴有3组， 故选：D． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）某人身上只带有2元和5元两种货币，他买一件物品需支付27元，则付款恰好不用找零的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设付款时用了2元x张，5元y张，再利用买一件物品需支付27元，再建立二元一次方程求解即可． 【详解】解：设付款时用了2元x张，5元y张． ∴， ∵x和y只能取正整数． ∴当时，；当时，，当时，． ∴付款恰好不用找零的方法有3种； 故选：C． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的所有正整数解（        ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程，先由原方程得出，结合、取正整数，得出当，，，时，，，，，即可得解． 【详解】解：由原方程可得：， ∵、取正整数， ∴当，，，时，，，，， ∴ 二元一次方程的所有正整数解为，，，，共对， 故选：B． 9．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解， 故选：D． 10．（2024·贵州贵阳·一模）把这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为（      ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．根据每行、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B 11．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程中，用的代数式表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为“”，得， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】4 【分析】由二元一次方程的定义（含有两个未知数并且未知数的次数都是1的整式方程）进行解答即可．本题主要考查二元一次方程的定义，有理数的乘方，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ，， 解得：，， 故． 故答案为：4． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）在二元一次方程中，若互为相反数，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，相反数的定义，根据相反数的定义得到，再把代入原方程得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；． 14．（23-24七年级下·云南大理·期末）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解，设标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个，根据题意列出，然后出正整数解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设摸出标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴， ∴标有数字的球有个， 故答案为：． 16．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）圆周上刻有1，2，3三个数字并把圆周三等分．现有一长一短两指针同时指在1处．每次操作只允许转长针或短针中的一根，并顺时针旋转．操作一次，记录一次．经过9次操作后，两针刚好回到初始位置，且记录得到的9次图形的形态均互不相同． (1)写出其中一种可行的方案． (2)问共有几种方案符合题干． 【答案】(1)长针转3次，短针转6次 (2)4 【分析】该题考查了二元一次方程的非负整数解，将实际问题转化为数学问题思考是解题的关键． （1）根据圆周角的度数与每次转的关系确定每个指针转的次数具有特殊倍数关系即可解答； （2）根据实际问题列出二元一次方程，并找出其非负整数解即可解答． 【详解】（1）解：圆周角是，每次转，每个指针转一周需要3次，两个指针一共转9次，所以两个指针转的次数必须是3的倍数，如长针转3次，短针转6次，两针刚好回到初始位置； （2）解：设短针转次，长针转次，且都是3的倍数， 根据题意得：， 其非负整数解如下：， 所以共有四种方案符合题干． 17．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 【答案】(1)4，方式1：买10杯可乐；方式2：买7杯可乐，2杯奶茶；方式3：买4杯可乐，4杯奶茶；方式4：买1杯可乐，6杯奶茶． (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用． （1）设购买可乐x杯，奶茶y杯，根据总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出各购买方案； （2）由题意知，且，根据（1）可得出有2种购买方式． 【详解】（1）解：设买可乐和奶茶分别为x杯、y杯． 根据题意，得， 所以． 要使x为非负整数，y的取值必是偶数，且， 所以； 把y的值分别代入，得 ，，， 故有4种购买方式： 方式1：买10杯可乐； 方式2：买7杯可乐，2杯奶茶； 方式3：买4杯可乐，4杯奶茶； 方式4：买1杯可乐，6杯奶茶． （2）根据题意有：，且， 由（1）可知，满足条件的解有：，， 故每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有2种购买方式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$