专题01 一次函数的综合（七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题01 一次函数的综合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、一次函数的图象与性质压轴 3 类型二、一次函数中的旋转问题（45度） 3 类型三、一次函数中的翻折问题 4 类型四、一次函数中的新定义问题 6 类型五、一次函数中的最值问题 8 类型六、方案分配压轴 9 类型七、最大利润压轴 11 压轴能力测评 13 知识点1：一次函数的定义及图象 一次函数定义：如果（是常数，k≠0），那么叫做x的一次函数，叫比例系数。当时，一次函数变为，正比例函数是一种特殊的一次函数。 画一次函数图象： 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取两点； 2）当时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取两点。 一次函数的性质 知识点2：一次函数的图像特征 　 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，随的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，随的增大而减小 【小结】 一次函数的性质：一般地，一次函数有下列性质： （1）时，图象经过一、二、三象限，随的增大而增大； （2）时，图象经过一、三、四象限，随的增大而增大； （3）时，图象经过一、二、四象限，随的增大而减小； （4）时，图象经过二、三、四象限，随的增大而减小。 知识点3：用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）。 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式或； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出待定系数的值； ④将所求得的系数的值代入到函数的一般形式中。 知识点4：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 类型一、一次函数的图象与性质压轴 例1．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 例2．函数，当自变量时，这个函数的最大值为，则a的值为 ． 变式1-1．已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则 ； （2）当时，函数有最大值14，则的值为 ． 变式1-2．若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 变式1-3．一次函数，当时，，则的值是 ． 类型二、一次函数中的旋转问题（45度） 例3．如图，直线与直线相交于点，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为 ． 例4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 变式2-1．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 变式2-2．将一次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数解析式为 ． 变式2-3．直线绕原点旋转后得到的直线解析式为 ． 类型三、一次函数中的翻折问题 例5．如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 例6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 变式3-1．将函数的图象作如下变换：保留其在x轴及其上方部分的图象，再将x轴下方部分的图象沿x轴翻折，得到如图所示的“V”形图．已知关于x的一次函数的图象与“V”形图左、右两侧分别交于点A、B．有下列说法： ①是直角三角形； ②有且仅有一个实数m，使； ③当时，是等腰三角形； ④当时，的面积是． 其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-2．如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点M为y轴上一点，把直线沿翻折，点B刚好落在x轴上，则点M的坐标为 ．    变式3-3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集 (3)将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点处，连接、，求的面积． 类型四、一次函数中的新定义问题 例7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 例8．定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点． 例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是． (1)则点的变换点的坐标是 ； (2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标． (3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围． 变式4-1．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 变式4-2．我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数． (1)根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______； (2)试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为； (3)如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标． 变式4-3．对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 类型五、一次函数中的最值问题 例9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式． (2)直接写出当时，x的取值范围． (3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标． 例10．若实数满足，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-1．已知直线，，，若无论取何值，总是取，，中的最小值，则的最大值是 ． 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 变式5-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 类型六、方案分配压轴 例11．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 例12．北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生级地震．一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车（辆，当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数能取得最大值？最大是多少吨？ 变式6-1．某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 变式6-2．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 变式6-3．某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 类型七、最大利润压轴 例13．一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 例14．新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元． (1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元； (2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润． 变式7-1．兰州市某中学在年月成功举办了第十一届校园科技节，学校准备购买一些奖品奖励获奖学生，已知个汽车航模和个手摇发电机共需元，个汽车航模和个手摇发电机共需元． (1)求汽车航模和手摇发电机的单价各是多少元； (2)学校准备购买这两种奖品共只，要求购买汽车航模只，记购买两种奖品的总费用为元． ①求与的函数关系式； ②当时，求购买两种奖品的总费用是多少？ 变式7-2．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 变式7-3．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 一、单选题 1．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在y轴的正半轴上，若点B关于直线的对称点恰好落在x轴上，则直线所对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是线段的中点，点在直线上，为轴上一动点，当最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点都在双曲线上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，已知正比例函数与反比例函数交于A、B两点，点C是第三象限反比例函数上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是3，则点C的坐标是 ． 7．如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 8．对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“奇妙点”．若是“奇妙点”，则 ；已知一次函数（为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一 “奇妙点”的坐标是 ． 三、解答题 9．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作与轴平行的射线，交直线于点，点是射线上的动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与直线的交点为（点不与点、点重合），连接，当时，请求出对应的点坐标． 11．在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点A，与轴交于点B，与直线交于点． (1)______，_____； (2)求的面积； (3)是线段上的一个动点（点不与点O，A重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，，设点的横坐标为． ①连接，当的面积是面积的时，求的值； ②当时，直接写出的值． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一次函数的综合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、一次函数的图象与性质压轴 3 类型二、一次函数中的旋转问题（45度） 5 类型三、一次函数中的翻折问题 13 类型四、一次函数中的新定义问题 19 类型五、一次函数中的最值问题 25 类型六、方案分配压轴 30 类型七、最大利润压轴 34 压轴能力测评 38 知识点1：一次函数的定义及图象 一次函数定义：如果（是常数，k≠0），那么叫做x的一次函数，叫比例系数。当时，一次函数变为，正比例函数是一种特殊的一次函数。 画一次函数图象： 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取两点； 2）当时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取两点。 一次函数的性质 知识点2：一次函数的图像特征 　 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，随的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，随的增大而减小 【小结】 一次函数的性质：一般地，一次函数有下列性质： （1）时，图象经过一、二、三象限，随的增大而增大； （2）时，图象经过一、三、四象限，随的增大而增大； （3）时，图象经过一、二、四象限，随的增大而减小； （4）时，图象经过二、三、四象限，随的增大而减小。 知识点3：用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）。 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式或； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出待定系数的值； ④将所求得的系数的值代入到函数的一般形式中。 知识点4：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 类型一、一次函数的图象与性质压轴 例1．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 例2．函数，当自变量时，这个函数的最大值为，则a的值为 ． 【答案】1 【详解】解：当时， 当时， 如图所示， 又∵当自变量时，这个函数的最大值为， ∴当时， 解得； 当时， 解得，舍去 综上所述，a的值为1． 故答案为：1． 变式1-1．已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则 ； （2）当时，函数有最大值14，则的值为 ． 【答案】 10 2或 【详解】解：（1）把点代入一次函数的表达式中，得， 解得， 故答案为：10； （2）当时，随增大而增大，则当时，有最大值， ，解得； 当时，随增大而减小，则当时，有最大值， ，解得， 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 变式1-2．若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 变式1-3．一次函数，当时，，则的值是 ． 【答案】或 【详解】解：当时，随的增大而增大， 时，， 时，；时，， ，解得：， ； 当时，随的增大而减小， 时，， 时，；时，， ，解得：， ， 的值是或， 故答案为：或． 类型二、一次函数中的旋转问题（45度） 例3．如图，直线与直线相交于点，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：（1）当直线绕点A逆时针旋转，如图， 令直线与x轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，过点B作的垂线，交线绕点A旋转后所得直线于点D，过点D作轴于点F，过点A作于点E， 则， ∵， ∴， 把代入得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴与x轴交点坐标为； （2）当直线绕点A顺时针旋转，如图， 令直线与x轴相交于点Q，延长交于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 即点B为的中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， 综上所述，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及点的平移，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法和性质，用待定系数法求解函数表达式的方法，以及分类讨论思想的应用． 例4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象分别交、轴于点、， 令，得， ， ， ， ， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， ， 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 变式2-1．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 变式2-2．将一次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数解析式为 ． 【答案】或 【详解】解：在一次函数中，令，则，令，则， ∴直线经过点， ①当一次函数的图象绕点顺时针旋转时， 可得的对应点为，的对应点为， 设对应的函数解析式为：， 将点，代入得：， 解得， ∴顺时针旋转时，对应的函数解析式为：； ①当一次函数的图象绕点逆时针旋转时， 可得的对应点为，的对应点为， 设对应的函数解析式为：， 将点，代入得：， 解得， ∴逆时针旋转时，对应的函数解析式为：； 故答案为：或． 变式2-3．直线绕原点旋转后得到的直线解析式为 ． 【答案】或 【详解】解：在直线上任意选取两个点， 当它们绕原点O顺时针旋转得到的点的直线过和， 设直线解析式是， 则， 解得，即为：． 当它们绕原点O逆时针旋转得到的点的直线过和， 设直线解析式是， 则， 解得，即为：． 综上，直线绕原点旋转后得到的直线解析式为或， 故答案为：或． 类型三、一次函数中的翻折问题 例5．如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图， 当时，，当时，， ， 一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折， ， 设x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 则，解得， x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 函数G的解析式为， 如图，当时， 显然，，不符合题意； 如图，当时， 此时，点P，Q都在的函数图象上， ， ； 如图，当时， 此时，点P在的函数图象上，点Q在的函数图象上， ， ， ， ； 综上，当时，都有， 故答案为：． 例6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 【答案】5 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 变式3-1．将函数的图象作如下变换：保留其在x轴及其上方部分的图象，再将x轴下方部分的图象沿x轴翻折，得到如图所示的“V”形图．已知关于x的一次函数的图象与“V”形图左、右两侧分别交于点A、B．有下列说法： ①是直角三角形； ②有且仅有一个实数m，使； ③当时，是等腰三角形； ④当时，的面积是． 其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由题意知，变换后的图象解析式为， ∵， ∴当时，， ∴的图象经过点， 如图， ∵，与轴的夹角均为， ∴， ∴是直角三角形；①正确，故符合要求； ∵是经过点且与“V”形图左、右两侧分别交于点A、B的一系列的直线， ∴的线段长度从连续增大， ∴有且仅有一个实数m，使；②正确，故符合要求； ∵， ∴当时，是等腰三角形； 由题意知，， ∴不是等腰三角形；③错误，故不符合要求； 当时，令，解得，，则，即， 同理可得，， 由勾股定理得，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 变式3-2．如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点M为y轴上一点，把直线沿翻折，点B刚好落在x轴上，则点M的坐标为 ．    【答案】或 【详解】解：如图所示，当点在轴正半轴上时，    设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有， ∵，， ，， ， ， 点的坐标为． 设点坐标为，则，， ， ， ， ； 如图所示，当点在轴负半轴上时，     ， 设点坐标为，则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． 变式3-3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点处，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：将代入，得． ∴， 将代入，即 ∴； （2）根据函数图象可知： 或 （3）∵一次函数的关系式为， 当时，， ∴， ∴图象沿轴翻折后，得， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 则，，，， ∴的面积为8． 类型四、一次函数中的新定义问题 例7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 【答案】 3 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； ∴由边界值的定义可知，函数的边界值为3； ∵（，）边界值是5，，函数的最大值是5， ∴当时，； 解得，， 当时，； ∴， 解得，， 故答案为：3，． 例8．定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点． 例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是． (1)则点的变换点的坐标是 ； (2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标． (3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)k的取值范围为 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴点的变换点的坐标是； 故答案为：； （2）解：设， 当时，， 解得，， ∴， ∴； 当时， 解得，， ∴， ∴； 综上，点M的坐标为或； （3）解：由题意知，上的点的变换点的图象如图所示， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∵变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ， ∴由图象可知，， ∴k的取值范围为． 变式4-1．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1））解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ∴， 解得， ∵点又在上， ， 又∵， ∴， 解得， ∴． 变式4-2．我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数． (1)根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______； (2)试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为； (3)如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)点P的坐标为． 【详解】（1）解：由题意得一次函数的交换函数是； 故答案为：； （2）解：由题意得一次函数的交换函数是； 联立得，解得， ∴， ∴一次函数与其交换函数的交点坐标为； （3）解：∵点是一次函数与其交换函数的交点， ∴，解得， ∴，， 令，则，， ∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为， 令，则，解得， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，取得最小值， ∵， ∴，， 作于点， 此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴点P的坐标为． 变式4-3．对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：， 解得：， 直线为， 设经过点的双曲线为：， 代入得：， ∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 类型五、一次函数中的最值问题 例9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式． (2)直接写出当时，x的取值范围． (3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【详解】（1）解：把代入，可得， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入，可得， ∴； 把，代入， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据图象可得，当时，或． （3）解：一次函数的解析式为，令，则， ∴一次函数与y轴的交点为， 此时，最大，P即为所求， 令，则， ∴， ∴， ∴的最大值为． 例10．若实数满足，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：实数满足， ，则， 当均为非负数时，，则， 由一次函数性质可知，随的增大而增大， 是非负数， ，则当时，的最大值为； 当均为非正数时，，则， 由一次函数性质可知，随的增大而增大， 是非正数， ，则当时，的最大值为； 当为非负数、为非正数时，，则， 由一次函数性质可知，随的增大而减小， 是非正数， ，则当时，的最大值为； 当为非正数、为非负数时，，则， 由一次函数性质可知，随的增大而减小， 是非负数， ，则当时，的最大值为； 综上所述，的最大值为4， 故选：D． 变式5-1．已知直线，，，若无论取何值，总是取，，中的最小值，则的最大值是 ． 【答案】2 【详解】解：如图，的最大值在三条直线的公共部分所在的区域， ∵与的交点最高， ∴，的交点的值最大， 联立得， 解得， ∴的最大值为． 故答案为：． 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接交直线于，交轴于，如图： ，， ， 、、、四点共线， 最小，即周长最小，最小值为的长度， 由知，， ， 周长最小为， 故答案为：． 变式5-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， 当时，长的最小， ∵点D为的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短以及垂直平分线的性质，勾股定理等知识．掌握时，的长最小是解题的关键． 类型六、方案分配压轴 例11．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 【答案】(1)；；； (2) (3)从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元 【详解】（1）解：由题意得： 甲仓库运往果园：（）， 乙仓库运往果园： （）， 甲仓库运往果园所需运费：（元）， 乙仓库运往果园所需运费：（元）； 故答案：；；；； （2）解：， 即（）； （3）解：在一次函数中， ，且， ∴当时， y最小， （）， （）， 答：从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元． 例12．北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生级地震．一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车（辆，当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数能取得最大值？最大是多少吨？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资 (2)当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨 【详解】（1）解：设甲种货车每次满载能运送x吨物资，乙种货车每次满载能运送y吨物资． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资． （2）解：根据题意，得． ∵，， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 故当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨． 变式6-1．某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)， (2)当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的；当（为整数）时，乙旅行社更优惠；当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ，； （2）解：①当时，， 解得：， 当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的； ②当时，， 解得：； 当（为整数）时，乙旅行社更优惠； ③当时，， 解得：， 当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 变式6-2．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 变式6-3．某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 类型七、最大利润压轴 例13．一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 【答案】(1)， (2)定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元 【详解】（1）解：， ∵制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元， ∴，解得：． ∴y与x的函数关系式，x的取值范围为． （2）解：； ①当时，随的增大而减小， ， 时，利润最小， ，得，（不符合题意，舍去）． ②当时，利润为39600元，不符合题意， ③当时，随的增大而增大， ， 时，利润最小， ，得． 综上所述，定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元． 例14．新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元． (1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元； (2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元 (2)购进副春联时销售利润最大，最大利润为元 【详解】（1）解：设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，由题意可得： ， 解得：， 每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元； （2）解：设批发春联a副，总利润为W元， ∴， 由题意可得： ， 解得：， ∵在中，W随a的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，此时， 购进副春联时销售利润最大，最大利润为元． 变式7-1．兰州市某中学在年月成功举办了第十一届校园科技节，学校准备购买一些奖品奖励获奖学生，已知个汽车航模和个手摇发电机共需元，个汽车航模和个手摇发电机共需元． (1)求汽车航模和手摇发电机的单价各是多少元； (2)学校准备购买这两种奖品共只，要求购买汽车航模只，记购买两种奖品的总费用为元． ①求与的函数关系式； ②当时，求购买两种奖品的总费用是多少？ 【答案】(1)汽车航模的单价为元，手摇发电机的单价是元 (2)①；②当时，购买两种奖品的总费用是元 【详解】（1）解：设汽车航模的单价为元，手摇发电机的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 答：汽车航模的单价为元，手摇发电机的单价是元； （2）①， 与的函数关系式为； ②当时，（元）， 当时，购买两种奖品的总费用是元． 变式7-2．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 变式7-3．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 【答案】(1)该厂出口款普洱茶120吨，款普洱茶80吨 (2)向甲地出口款普洱茶70吨时，总运费最小，最小值为1190千元 【详解】（1）设该厂出口、两款普洱茶分别是，吨， 由题意得，解得， 该厂出口款普洱茶120吨，款普洱茶80吨； （2）由题意得向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨，向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨， ． 由题意得：，，， ， ， 随的增大而增大， 当时，总运费有最小值， 且（千元）． 答：向甲地出口款普洱茶70吨时，总运费最小，最小值为1190千元． 一、单选题 1．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在y轴的正半轴上，若点B关于直线的对称点恰好落在x轴上，则直线所对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令时，则有，解得：； 令时，则有， ∴， ∴， 连接，如图所示： ∵点B关于直线的对称点恰好落在x轴上， ∴，， ∴， 设点，则， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把点A坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 故选D． 2．如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 在中，当时，， 解得：， ， 在中，当时，， 解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 故选：C． 3．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是线段的中点，点在直线上，为轴上一动点，当最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示： 当时，， 点A的坐标为 当时，， 解得：， 点的坐标为． ∵在直线， ∴， 解得， ∴； 又是线段的中点， 点的坐标为， 则点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的函数解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． 故选：C． 4．如图，点都在双曲线上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点，都在双曲线上， ∴，， ∴，， 如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，则点，，，， 连接与x轴、y轴的交点即为点P、Q，此时，四边形的周长最小， 设直线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得， 所以直线的解析式为，． 即所在直线解析式为： 故选：C． 5．已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 二、填空题 6．如图，已知正比例函数与反比例函数交于A、B两点，点C是第三象限反比例函数上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是3，则点C的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：联立， 解得或， ， 设， 设直线为，则 ， 解得， 直线为， 过A作y轴的平行线交于点Q，则， ， ， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 7．如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设， 点在直线上，， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 将代入中， 整理，得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“奇妙点”．若是“奇妙点”，则 ；已知一次函数（为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一 “奇妙点”的坐标是 ． 【答案】 或 【详解】解：∵是“奇妙点”， ∴， 解得：或， 由点在一次函数图象上得：， 解得：， 故有：， 由奇妙点的定义得：， ∴， 解得：或 当时，；当时， 故另一奇妙点的坐标为， 故答案为：或；． 三、解答题 9．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作与轴平行的射线，交直线于点，点是射线上的动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与直线的交点为（点不与点、点重合），连接，当时，请求出对应的点坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：，点是点关于轴对称的点， ∴， ∵平行轴，点在直线上， 把代入得， ∴， 设点， 当点在点的下方时，如图： ， ， ， ， ， 直线的函数表达式为， ∵为直线与直线的交点， ∴解得： ， ； 当点在点的上方时，如图： ， ， ， ， ， 直线的函数表达式为， ∵为直线与直线的交点， ∴解得：， ； 综上所述，点的坐标为或． 11．在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵一次函数与一次函数相交于点 ∴B点即在上也在上， 由可得：， ∴； （2）解：∵； ∴B点的坐标为； 把点B代入可得即， ∴一次函数解析式为， 当时，，得， 即点A的坐标为， 当时，，即点C的坐标为，函数图象如图所示： 观察图象，得：当 时，一次函数的图象在一次函数的图象下方时， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：∵，，， ∴， 设点P的坐标为， 当点P在点B下方时，点P与点C重合时，与的面积相等，此时点P的坐标为， 当点P在点B上方时， ∴ 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一次函数相结合，一次函数图象的应用，用一次函数解不等式，求三角形的面积，求出两直线的交点坐标，利用一次函数与一元一次不等式的关系解不等式的数形结合思想解答问题是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点A，与轴交于点B，与直线交于点． (1)______，_____； (2)求的面积； (3)是线段上的一个动点（点不与点O，A重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，，设点的横坐标为． ①连接，当的面积是面积的时，求的值； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)4；6 (2)12 (3)①；②m的值为或 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ， 将点代入，得， 解得， 故答案为：4；6； （2）解：对于，令，则， ， ， 的面积为； （3）解：①对于，令，则， 解得， ， ， 当的面积是面积的时，， 解得； ②由点的横坐标为，可得，， 当在点C的左侧时，，， ， ， 解得； 当在点C的右侧时，，， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 2 / 53学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$