专题8.4.1完全平方公式（2大考点10大题型强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题8.4.1完全平方公式（2大考点10大题型强化训练） 1.能推导出完全平方公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理， 2.体会探索和推导公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想， 知识点01 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练】 1．若4x2+4x+m＝（2x+1）2，则m的值为（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 2．下列算式中，可用完全平方公式计算的是（　　） A．（1+x）（1﹣x） B．（﹣x﹣1）（﹣1+x） C．（x﹣1）（1+x） D．（﹣x+1）（1﹣x） 3．①若x2+kx+4是完全平方式，则k＝　 　； ②若x2﹣18xy+m是完全平方式，则m＝　 　； ③若x2﹣14x+m2是完全平方式，则m＝　 　； ④若9x2+6xy+m是完全平方式，则m＝　 　． 4．计算： （1）（x）2； （2）（xy）2． 5．计算： （1）（﹣5a+4b）2； （2）（2ab）2； （3）（ab）2； （4）（﹣mn）2． 6．计算： （1）（1+4a）2； （2）（﹣5+3y）2； （3）（x2﹣6y）2； （4）； （5）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）； （6）． 知识点02 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 【即学即练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(   ) A． B． C． D． 2．（2023·河南驻马店·二模）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2023·湖南衡阳·模拟预测）如图所示的图中，将边长为的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是（　　）    A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·广东清远·期末）如左图所示，将长为，宽为的两个全等的长方形分成四个全等的直角三角形，将四个直角三角形按右图的方式拼合成一个大的正方形，请用，表示大正方形的面积 ．    题型一、完全平方公式 1．（2024·湖南邵阳·二模）下列计算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)； 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型二、利用完全平方公式进行简便计算 6．（23-24七年级下·山西晋中·期中）利用乘法公式计算，下列方法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算： (1)； (2)； 题型三、已知代数式是完全平方公式求字母的值 8．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A．4 B． C． D．无法确定 9．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 题型四、利用完全平方公式求式子的值 11．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为________； （2）若，求的值． 12．（天津市西青区2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷）已知，，则的值为（  ） A． B． C． D． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 14．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 15．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 题型五、利用完全平方公式的推广求代数式的值 16．（21-22六年级下·山东烟台·期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性； (2)若，，，你能很快求出的值吗？ 题型六、完全平方公式的几何背景 17．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的形状拼图． (1)图2中的图形阴影部分的边长为　　　；（用含、的代数式表示） (2)观察图2，请写出代数式、、之间的关系式：　　　． (3)若，，求的值． 18．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 19．（24-25八年级上·四川巴中·期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)若，，求的值； (2)当时，求出图中阴影部分的面积． 题型七、完全平方公式的规律探究问题 20．（18-19八年级上·广西百色·期中）观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 题型八、利用完全平方公式的非负性求值 21．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以，， 所以，． 问题： (1)若，求和的值； (2)已知，，是等腰的三边长，且，满足，求的周长． 题型九、利用完全平方公式解决最值问题 22．（20-21八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 23．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 题型十、完全平方公式的新定义问题 24．（18-19八年级上·江苏南通·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”. （1）试分析28是否为“神秘数”； （2）2019是“神秘数”吗？为什么？ （3）说明两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数． （4）设两个连续奇数为2k+1和2k－1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）若m为任意整数，的值总能被3整除，则整数k不能取（   ） A． B．0 C．1 D．4 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习），则代数式（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 6．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，则的值为（   ） A．25 B．19 C．29 D．31 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将一边长为的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为的正方形（其中）拼接在一起，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若，则 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ， ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）把加上一个单项式 （写出一个即可），使其成为一个完全平方式． 12．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是 ． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 三、解答题 15．（2024八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，求和的值． 17．（2024九年级上·贵州·专题练习）先学习下面内容，再解决问题． 例题：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴． 问题： (1)若，求的值． (2)若a，b，c是等腰的三边长，其中a，b满足，求的周长． 18．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 19．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图①，小华同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题： (1)根据图②，写出一个代数恒等式： ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值； (3)小华同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，6张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 ， ． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数 ； (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.4.1完全平方公式（2大考点10大题型强化训练） 1.能推导出完全平方公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理， 2.体会探索和推导公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想， 知识点01 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练】 1．若4x2+4x+m＝（2x+1）2，则m的值为（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 【分析】将（2x+1）2利用完全平方公式进行计算即可求得m的值． 【解答】解：（2x+1）2＝4x2+4x+1， ∴m＝1． 故选：B． 2．下列算式中，可用完全平方公式计算的是（　　） A．（1+x）（1﹣x） B．（﹣x﹣1）（﹣1+x） C．（x﹣1）（1+x） D．（﹣x+1）（1﹣x） 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对每个选项解析逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵（1+x）（1﹣x）符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， ∴A选项不符合题意； ∵（﹣x﹣1）（﹣1+x）＝（﹣1﹣x）（﹣1+x）， ∴B选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， ∴B选项不符合题意； ∵（x﹣1）（1+x）＝（x﹣1）（x+1）， ∴C选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， ∴C选项不符合题意； ∵（﹣x+1）（1﹣x）＝（﹣x+1）2， ∴D选项可用完全平方公式计算，符合题意． 故选：D． 3．①若x2+kx+4是完全平方式，则k＝　±4　； ②若x2﹣18xy+m是完全平方式，则m＝　81y2　； ③若x2﹣14x+m2是完全平方式，则m＝　±7　； ④若9x2+6xy+m是完全平方式，则m＝　y2　． 【分析】①这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，故k＝±4； ②先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可； ③先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可； ④先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可． 【解答】解：①中间一项为加上或减去x和2的积的2倍， 故k＝±4； ②中间项为两数乘积的2倍，即：18xy＝2•x•9y， 而首项为x的平方， 所以尾项为（9y）2， 故m＝81y2； ③∵x2﹣14x+m＝x2﹣2•x•7+m2， ∴m2＝72， ∴m＝±7； ④∵9x2+6xy+m＝（3x）2+2•3x•y+m， ∴m＝y2． 故答案为±4；81y2；±7；y2． 4．计算： （1）（x）2； （2）（xy）2． 【分析】（1）利用完全平方公式进行运算即可； （2）利用完全平方公式进行运算即可． 【解答】解：（1）（x）2 ＝x2 ； （2）（xy）2 ＝（）2+2 ． 5．计算： （1）（﹣5a+4b）2； （2）（2ab）2； （3）（ab）2； （4）（﹣mn）2． 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）（﹣5a+4b）2 ＝（﹣5a）2+2×（﹣5a）×4b+（4b）2 ＝25a2﹣40b+16b2， （2）（2ab）2 ＝（2a）2﹣2×2a×（b）+（）2 ＝4a2， （3）（ab）2 2 ， （4）（﹣mn）2 ． 6．计算： （1）（1+4a）2； （2）（﹣5+3y）2； （3）（x2﹣6y）2； （4）； （5）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）； （6）． 【分析】（1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝1+8a+16a2； （2）原式＝25﹣30y+9y2； （3）原式＝x4﹣12x2y+36y2； （4）原式＝4x2x； （5）原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1； （6）原式x2+2xy+4y2x2﹣2xy+4y2x2+8y2． 知识点02 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 【即学即练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 图乙中求边长为的正方形的面积得到数学公式． 【详解】解：由图可得边长为的正方形的面积． 故选C． 2．（2023·河南驻马店·二模）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据题意列出关系式，利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：根据题意得：， 则还需取C纸片的张数是6张． 故选：C． 3．（2023·湖南衡阳·模拟预测）如图所示的图中，将边长为的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形面积等于分成的四部分面积之和，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，大正方形面积为：，分成的四部分面积分别为：、、、， ， 能验证的乘法公式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握图形面积公式是解题关键． 4．（22-23七年级下·广东清远·期末）如左图所示，将长为，宽为的两个全等的长方形分成四个全等的直角三角形，将四个直角三角形按右图的方式拼合成一个大的正方形，请用，表示大正方形的面积 ．    【答案】/ 【分析】根据图形可知正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，由此问题可求解． 【详解】解：由图可知：正方形的面积为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型一、完全平方公式 1．（2024·湖南邵阳·二模）下列计算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整数指数幂的运算及整式加减和乘法公式，解题关键是熟练掌握运算法则、乘法公式． 根据幂的运算法则，整式加减及积的乘方、完全平方公式逐选项判断即可． 【详解】解：A. ，此选项正确，符合题意；     B. ，此选项不正确，不符合题意； C. ，此选项不正确，不符合题意；     D. ，此选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】． 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式展开求解即可； （2）变形后利用完全平方公式进行计算求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 题型二、利用完全平方公式进行简便计算 6．（23-24七年级下·山西晋中·期中）利用乘法公式计算，下列方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 7．（2024七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果； （）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果； 本题考查了平方差公式及完全平方公式，掌握平方差公式及完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）原式 ， ． 题型三、已知代数式是完全平方公式求字母的值 8．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A．4 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据完全平方公式的结构即可求得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 故选：C． 9．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式得到或，然后把等式右边展开，从而得到M的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴或， 即或， ∴或． 则符合M的整式有3个， 故选：C． 10．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 题型四、利用完全平方公式求式子的值 11．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为________； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式， （1）直接根据完全平方公式的结构特征列式计算即可； （2）先将等式移项，再根据完全平方公式配成，问题随之得解． 【详解】解：（1）∵关于x的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 即， 解得：，， ∴． 12．（天津市西青区2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷）已知，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形求解和整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键； 把已知条件两边平方，根据完全平方公式展开，然后代入数据计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ； 故选：A 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 14．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)53 (2)14 【分析】（1）根据，，求和解答即可． （2）根据完全平方公式解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 题型五、利用完全平方公式的推广求代数式的值 16．（21-22六年级下·山东烟台·期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性； (2)若，，，你能很快求出的值吗？ 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）利用完全平方公式把等式右边进行化简，然后问题可求解； （2）根据题中的结论可直接进行求解． 【详解】（1）解：等式右边 ； 等式左边， ∴； （2）解：∵，，， ∴ =3． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型六、完全平方公式的几何背景 17．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的形状拼图． (1)图2中的图形阴影部分的边长为　　　；（用含、的代数式表示） (2)观察图2，请写出代数式、、之间的关系式：　　　． (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键． （1）根据小正方形的边长与原长方形的长与宽的关系得出结论； （2）根据大正方形、小正方形，与四周的4个长方形的面积之间的关系得出等式； （3）根据（2）的结论，代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可知：图②中画有阴影的小正方形的边长， 故答案为：； （2）解：观察发现，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小长方形的面积， 即：； （3）解：由（2）得：； ∵，， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)20； (2)； (3)7． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据化简求解即可得到答案； （2）根据化简求解即可得到答案； （3）根据化简求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：20； （2）解：， ， ， ， 解得：； （3）解：， ， ， 四边形，是正方形，， ，， ， 即：， ． 19．（24-25八年级上·四川巴中·期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)若，，求的值； (2)当时，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景的应用完全，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、，利用，，求出，根据，整体代入进行计算即可； （2）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由图可得，， ∵， ∴． 题型七、完全平方公式的规律探究问题 20．（18-19八年级上·广西百色·期中）观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 【答案】等式成立. 【分析】仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论． 【详解】解:第 n行的式子为： 左式=     =     = = 右式= = =… ∴左式=右式     ∴等式成立. 【点睛】完全平方公式． 题型八、利用完全平方公式的非负性求值 21．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以，， 所以，． 问题： (1)若，求和的值； (2)已知，，是等腰的三边长，且，满足，求的周长． 【答案】(1)， (2)的周长为13或14 【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答； （2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出，的值，然后分两种情况，进行计算即可解答． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴或4， 分两种情况： 当时，的周长为， 当时，的周长为， 所以的周长为13或14 【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 题型九、利用完全平方公式解决最值问题 22．（20-21八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 23．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，最小值为16， 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据变形得，再结合非负性，即可作答． 【详解】解：有最小值16，过程如下： 原式，此时． 题型十、完全平方公式的新定义问题 24．（18-19八年级上·江苏南通·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”. （1）试分析28是否为“神秘数”； （2）2019是“神秘数”吗？为什么？ （3）说明两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数． （4）设两个连续奇数为2k+1和2k－1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？ 【答案】（1）28是“神秘数”；（2）2019不是“神秘数”；（3）由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍；（4）不是“神秘数”. 【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算； 【解题方法提示】分析题意，对于（1）（2），结合神秘数的定义，看是否可以将28与2092写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案； 对于（3），两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数； 对于（4），设这两个连续奇数分别为2k+1和2k-1，所以有(2k+1)2-(2k-1)2=8k，判断8k是否是神秘数就可得出答案． 【详解】（1）28=82-62是“神秘数” （2）2019不是“神秘数” 设2 019是由y和y－2两数的平方差得到的， 则y2－(y－2)2＝2 019，解得：y＝505.75，不是偶数， ∴2 019不是“神秘数”.     （3） (2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)， ∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. （4）(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，是8的倍数，但不是4的倍数，根据定义得出结论，不是“神秘数”. 【点睛】平方差公式，完全平方公式． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方公式的形式为求解即可． 【详解】解：A．不是完全平方式； B．是完全平方式； C．不是完全平方式； D．不是完全平方式． 故选：B． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，先由题意表示出增加后新正方形的边长，分别求出原正方形与新正方形的面积，相减即可得到增加的面积． 【详解】解：根据题意得：， ∴新正方形的面积增加了 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）若m为任意整数，的值总能被3整除，则整数k不能取（   ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被3整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案． 【详解】解： ， ∵的值总能被3整除， ∴总能被3整数， ∴整数k为，1，4均满足条件，当时，，不能被3整除， 故选：B 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习），则代数式（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，由得，把当作一个整体，利用完全平方公式即可得解． 【详解】解： ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，先对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理，即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 6．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，则的值为（   ） A．25 B．19 C．29 D．31 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 整理得， 解得的值是5或， 故选：D． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将一边长为的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为的正方形（其中）拼接在一起，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，正确识图是关键，掌握完全平方公式：． 先证明，求出和的长，再根据面积和求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，得，，， ， ． 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若，则 【答案】0 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，根据非负性求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，根据完全平方和公式及完全平方差公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 两式相加得， 解得； 两式相减得， 解得； 故答案为：；． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）把加上一个单项式 （写出一个即可），使其成为一个完全平方式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查完全平方公式，根据构造完全平方式即可． 【详解】解：因为①； ②； ③； ④． 故答案为：（或或或等，答案不唯一）． 12．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 先用完全平方公式对代数式进行变形，然后确定其最小值即可． 【详解】解：， 则的最小值为． 故答案为． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将已知等式利用完全平方公式变形可得，由此即可得． 【详解】解：∵①，， ∴②， 由②①得：， ∴， 故答案为：10． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 【答案】35 【分析】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，由图1、图2阴影部分的面积为5和30可得，，由完全平方公式得出的值即可． 【详解】解：设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2中大正方形的边长为，因此面积为，阴影部分的面积为， 图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30， ，， ， ， 即两个正方形的面积和为35， 故答案为：35． 三、解答题 15．（2024八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3969 (2)9604 (3) (4) 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，求和的值． 【答案】， 【分析】此题考查了完全平方公式，根据和，构造完全平方式，利用整体思想进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∴． 17．（2024九年级上·贵州·专题练习）先学习下面内容，再解决问题． 例题：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴． 问题： (1)若，求的值． (2)若a，b，c是等腰的三边长，其中a，b满足，求的周长． 【答案】(1)4 (2)13或14 【分析】（1）根据完全平方公式把已知条件变形得到，再根据非负数的性质求出，然后把的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质列式求出的值，再根据等腰三角形的定义分两种情况讨论即可求解． 本题考查了等腰三角形的定义，完全平方公式的应用，三边关系的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或4， 分两种情况： 当时，，的周长为， 当时，，的周长为， 18．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 19．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图①，小华同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题： (1)根据图②，写出一个代数恒等式： ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值； (3)小华同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，6张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 ， ． 【答案】(1) (2)； (3)长为或，宽为或 【分析】本题考查整式的乘法，多项式的因式分解，完全平方公式的几何意义，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式，因式分解的应用，利用面积不变证明代数恒等式，即可． （1）根据正方形的面积等于，等于各个小矩形的面积之和，即可； （2）由（1）得，，把，代入，即可求出； （3）根据题意，得到长方形的面积为：，根据因式分解，即可求出长方形的边长． 【详解】（1）解：由题意得：． 故答案为：． （2）解：由（1）得，， ∴当，时，， ∴， ∴． （3）解：由题意得：长方形的面积为：， ∴， ∴长方形的边长为：长为或，宽为或． 故答案为：长为或，宽为或． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数 ； (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)见解析，当时，代数式的值最小，最小值是2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍． （1）先根据两平方项确定出这两个数是x和2，再根据完全平方公式求解即可； （2）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：9； （2）， ∴这个代数式的值总是正数， 当时，的最小值是． 4 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$