专题7.6幂的运算与新定义问题强化训练30题-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题7.6幂的运算与新定义问题强化训练30题 一．解答题（共30小题） 1．定义：如果ac＝b，那么c为（a，b）的“幸福指数”，记为L（a，b）＝c．例如32＝9，那么2为（3，9）的“幸福指数”，记为L（3，9）＝2． （1）填空：L（2，8）＝　 　，L（﹣4，　 　）＝2； （2）若（﹣3，x）的“幸福指数”为3，（y，﹣8）的“幸福指数”也为3，求x+y的值． 2．如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ 　 　，（﹣3，9）＝ 　 　； （2）若（x，64）＝2，则x＝ 　 　； （3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值． 3．【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　 　； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 4．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2． （1）（2，32]＝ 　 　；若（﹣2，k]＝3，则k＝ 　 　； （2）已知（4，13]＝a，（2，3]＝b，（2，78]＝c，试求a，b，c满足的数量关系． 5．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233． （1）熟悉下列表示法，并填空： ∵21＝2，∴log22＝1， ∵22＝4，∴log24＝2， ∵23＝8，∴log28＝3， ∵24＝16，∴log216＝　 　，计算：log232＝　 　； （2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28＝　 　；（用对数表示结果） （3）于是我们猜想：logaM+logaN＝　 　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； （4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝　 　． 6．如果a、b、c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． （1）（2，8）＝ 　 　． （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明． （3）小明在研究这种记号时发现一个规律：（an，bn）＝（a，b）（n是正整数），请你帮他完成证明． 7．阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，若ac＝b，记作（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： ①若（3，x）＝3，则x＝　 　； ②若（y，4）＝2，则y＝　 　． （2）若（2，5）＝a，（2，3）＝b，（4，15）＝c，请推理a，b，c三个量的数量关系． 8．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　 　，（5，1）＝　 　； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象，（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， ∴3x＝4，即（3，4）＝x， ∴（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）． 9．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　 　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 10．规定新运算“*”：a*b＝2a×2b，如：1*3＝2×23＝16． （1）求（﹣2）*5的值； （2）若2*（2x+1）＝64，求x的值． 11．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　 　，； （2）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 12．规定：x•y＝3x•3y． （1）求2•5的值； （2）若1•（4x﹣3）＝81，求x的值； （3）判断，x•（y+z）与（x+y）•z是否相等，并说明理由． 13．阅读下列材料： 若a，b两数满足ax＝b，则称x为b的“对数”，记作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2． 请根据以上规定，回答下列问题： （1）根据上述规定要求，请完成填空： （3，27）＝　 　，（﹣2，16）＝　 　，（，　 　）＝3． （2）计算（5，10）﹣（5，2）． 14．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： ①（3，27）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； ②若，则x＝　 　． （2）若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c． 15．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3． （1）填空：f（2，4）＝　 　，f（4，64）＝　 　； （2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）； （3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值． 16．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2． （1）（﹣2，16]＝　 　；若（3，y]＝27，则y＝　 　； （2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值； 17．阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n＝am•an；②an＝m，知道a和n可以求m，我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：因为62＝36，所以[6，36]＝2． （1）[2，4]＝　 　，　 　； （2）分别计算[2，16]、[2，64]的值，试猜想[2，4]、[2，16]、[2，64]之间的等量关系式； （3）若记[3，x]＝5m，[3，y+1]＝5m+1，请用含x的代数式表示y． 18．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系； （3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值． 19．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　，D（16）＝　 　． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 20．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ 　 　，（ 　 　，﹣27）＝3； （2）若（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，请你尝试运用上述运算证明：a+b＝c； （3）进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合（2）、（3）探索的结论，计算： 　 　． 21．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 22．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值． 23．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，16）＝　 　，（8，1）＝　 　，（ 　 　，）＝﹣2． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4）， 小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（32，100000）﹣（8，1000）； ②请尝试运用这种方法证明（2024，15）＝（2024，3）+（2024，5）． 24．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果ac＝b，那么【a，b】＝c．例如：因为23＝8，所以【2，8】＝3． （1）根据上述规定，填空：【4，64】＝　 　，【5，1】＝　 　，【　 　，81】＝4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：【3n，4n】＝【3，4】，小明的理由如下： 设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即【3，4】＝x，所以【3n，4n】＝【3，4】． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①试说明：【7，5】+【7，9】＝【7，45】； ②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y+2）n】＝【　 　，　 　】（x＞﹣1，y＞1）． 25．对于整数a，b定义新运算；a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m，n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）当m＝1，n＝100时，2※1的值为 　 　； （2）若4m﹣n＝3，1※4＝7，求2※2的值． 26．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）22⊕23＝　 　； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值； 27．当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如101102． （1）类比十进制的计数原理：12035＝1×104+2×103+0×102+3×101+5，把一个二进制数转化为十进制数的方法为：101102＝1×24+0×23+1×22+1×21+0＝22． 请你将二进制数100112转化为十进制数：则100112＝ 　 　； （2）二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝102． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，102﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①101102+11012＝ 　 　2； ②1101012﹣111102＝ 　 　2． 28．教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，m＞n时，教材给出根据幂的定义证明am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n是正整数，m＞n）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n是正整数，m＞n）． （2）当m＝3，n＝﹣2时，根据负整数指数幂的定义， 得a3÷a﹣2＝a3÷　 　＝a3•a2＝a5， ∵a3﹣（﹣2）＝a5， ∴a3÷a﹣2＝a3﹣（﹣2）． （3）当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：am•a﹣n＝am﹣n（a≠0）． 29．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 小明在研究这种运算时发现一个结论：L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）． 小明给出了如下的证明： 设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y， 由规定，得ax＝m，ay＝n， ∴ax÷ay＝a（x﹣y）， ∴L（a，）＝x﹣y， ∴L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）． 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　 　，L（ 　 　，36）＝﹣2； （2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）； （3）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 30．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（3，81）＝　 　；（ 　 　，﹣125）＝3； （2）求证：（5，4）+（5，9）＝（5，36）． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.6幂的运算与新定义问题强化训练30题 一．解答题（共30小题） 1．定义：如果ac＝b，那么c为（a，b）的“幸福指数”，记为L（a，b）＝c．例如32＝9，那么2为（3，9）的“幸福指数”，记为L（3，9）＝2． （1）填空：L（2，8）＝　3　，L（﹣4，　16　）＝2； （2）若（﹣3，x）的“幸福指数”为3，（y，﹣8）的“幸福指数”也为3，求x+y的值． 【分析】（1）根据ac＝b，那么c为（a，b）的“幸福指数”，记为L（a，b）＝c直接求解即可得到答案； （2）根据ac＝b，那么c为（a，b）的“幸福指数”，记为L（a，b）＝c直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵23＝8，（﹣4）2＝16， ∴L（2，8）＝3，L（﹣4，16）＝2， 故答案为：3，16； （2）∵（﹣3，x）的“幸福指数”为3， ∴x＝（﹣3）3＝﹣27， ∵（y，﹣8）的“幸福指数”也为3， ∴y3＝﹣8， ∴y＝﹣2， ∴x+y＝﹣27+（﹣2）＝﹣29． 2．如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ 　3　，（﹣3，9）＝ 　2　； （2）若（x，64）＝2，则x＝ 　±8　； （3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值． 【分析】（1）据题意，由23＝8，（﹣3）2＝9可求得此题结果； （2）由（±8）2＝64可得（±8，64）＝2，从而得到此题结果是±4； （3）由42＝16，23＝8可得，a＝16，b＝2，又由24＝16，可求得此题结果为4． 【详解】解：由已知：如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）∵23＝8，（﹣3）2＝9， ∴（2，8）＝3，（﹣3，9）＝2， 故答案为：3，2； （2）∵（±8）2＝64， ∴（8，64）＝2或（﹣8，64）＝2， ∴x＝±8， 故答案为：±8； （3）∵42＝16，23＝8， ∴（4，16）＝2，（2，8）＝3， ∴a＝16，b＝2， 又∵24＝16， ∴（b，a）＝（2，16）＝4． 3．【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　3　； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义得到km＝9，kn＝27，kp＝243，则可证明km•kn＝kp，再由同底数幂乘法计算法则得到km+n＝kp，即可证明m+n＝p． 【详解】解：（1）∵23＝8， ∴（2，8）＝3， 故答案为：3； （2）∵（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p， ∴km＝9，kn＝27，kp＝243， ∴km•kn＝9×27＝243， ∴km•kn＝kp，即km+n＝kp， ∴m+n＝p． 4．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2． （1）（2，32]＝ 　5　；若（﹣2，k]＝3，则k＝ 　﹣8　； （2）已知（4，13]＝a，（2，3]＝b，（2，78]＝c，试求a，b，c满足的数量关系． 【分析】（1）4a＝13，2b＝3，2c＝78，根据已知条件中的新定义得到25＝32，（﹣2）3＝﹣8，再求出答案即可； （2）根据已知条件中的新定义得到4a＝13，2b＝3，2c＝78，再根据78＝13×3×2，利用同底数幂相乘法则求出答案即可． 【详解】解：（1）∵xn＝y，我们规定（x，y]＝n，25＝32， ∴（2，32]＝5，k＝（﹣2）3＝﹣8， 故答案为：5，﹣8； （2）∵xn＝y，我们规定（x，y]＝n， ∴4a＝13，2b＝3，2c＝78， ∵78＝13×3×2， ∴4a•2b•2＝2c， 22a+b+1＝2c， ∴c＝2a+b+1． 5．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233． （1）熟悉下列表示法，并填空： ∵21＝2， ∴log22＝1， ∵22＝4， ∴log24＝2， ∵23＝8， ∴log28＝3， ∵24＝16， ∴log216＝　4　，计算：log232＝　5　； （2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28＝　log232　；（用对数表示结果） （3）于是我们猜想：logaM+logaN＝　logaMN　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； （4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝　loga　． 【分析】（1）根据指数和对数的定义进行解答即可； （2）由（1）中结果可得答案； （3）利用“指数”和“对数”的定义，以及同底数幂的乘法进行计算即可； （4）利用（3）中的方法以及同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】解：（1）∵24＝16， ∴log216＝4， ∵25＝32， ∴log232＝5， 故答案为：4，5； （2）由（1）可得，log24+log28＝2+3＝5＝log232， 故答案为：log232； （3）logaM+logaN＝logaMN， 证明：设x＝logaM，y＝logaN，则ax＝M，ay＝N， ∴ax•ay＝MN， 即ax+y＝MN， ∴x+y＝logaMN， ∴logaM+logaN＝logaMN； （4）logaM﹣logaN＝loga， 证明：设x＝logaM，y＝logaN，则ax＝M，ay＝N， ∴ax÷ay， 即ax﹣y， ∴x﹣y＝loga， ∴logaM﹣logaN＝loga． 6．如果a、b、c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． （1）（2，8）＝ 　3　． （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明． （3）小明在研究这种记号时发现一个规律：（an，bn）＝（a，b）（n是正整数），请你帮他完成证明． 【分析】（1）设（2，8）＝x，根据这种记号的定义列关于x的方程并求解即可； （2）根据这种记号的定义得到三个等式，再根据同底数幂的乘法运算法则证明即可； （3）设（an，bn）＝s，（a，b）＝t，根据这种记号的定义得到两个等式，再利用幂的乘方运算法则证明s＝t即可． 【详解】（1）解：设（2，8）＝x，则2x＝8， ∵2x＝8＝23， ∴x＝3， ∴（2，8）＝3． 故答案为：3． （2）m+n＝p． 证明：∵（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p， ∴km＝9，kn＝27，kp＝243， ∵km•kn＝km+n＝9×27＝243， ∴km+n＝kp， ∴m+n＝p． （3）证明：设（an，bn）＝s，（a，b）＝t， 则（an）s＝bn，at＝b， ∴（an）s＝ans＝bn＝（at）n＝ant， ∴ns＝nt， ∵n是正整数， ∴s＝t， ∴（an，bn）＝（a，b）． 7．阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，若ac＝b，记作（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： ①若（3，x）＝3，则x＝　27　； ②若（y，4）＝2，则y＝　±2　． （2）若（2，5）＝a，（2，3）＝b，（4，15）＝c，请推理a，b，c三个量的数量关系． 【分析】（1）根据新运算，得到x＝33，y2＝4，进行求解即可； （2）根据新运算，2a＝5，2b＝3，4c＝15，根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用进行判断即可． 【详解】解：（1）①x＝33＝27； 故答案为：27； ②∵22＝4，（﹣2）2＝4， ∴y＝±2； 故答案为：±2； （2）∵（2，5）＝a，（2，3）＝b，（4，15）＝c， ∴2a＝5，2b＝3，22c＝15， ∴2a•2b＝2a+b＝22c， ∴a+b＝2c． 8．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　3　，（5，1）＝　0　； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象，（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， ∴3x＝4，即（3，4）＝x， ∴（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）． 【分析】（1）根据规定的运算规则即可求解． （2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，可得3x+y＝3x•3y＝20，则（3，20）＝x+y，即可证得结果． 【详解】（1）解：∵33＝27， ∴（3，27）＝3． ∵50＝1， ∴（5，1）＝0． 故答案为：3；0． （2）证明：设（3，4）＝x，（3，5）＝y， 则3x＝4，3y＝5， ∴3x+y＝3x•3y＝4×5＝20， ∴（3，20）＝x+y， ∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）． 9．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　2　； （5，1）＝　0　； （3，27）＝　3　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　（5，14）　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 【分析】（1）根据上述规定即可得到结论； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵33＝27， ∴（3，27）＝3； 故答案为：2，0，3； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y， 则5x＝2，5y＝7， ∴5x+y＝5x•5y＝14， ∴（5，14）＝x+y， ∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）， 故答案为：（5，14）； （3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n 所以2x＝3，即（2，3）＝x， 所以（2n，3n）＝（2，3）． 10．规定新运算“*”：a*b＝2a×2b，如：1*3＝2×23＝16． （1）求（﹣2）*5的值； （2）若2*（2x+1）＝64，求x的值． 【分析】（1）根据定义的新运算可得（﹣2）*5＝2﹣2×25，然后进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算可得2*（2x+1）＝22x+3，从而可得2x+3＝6，然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）由a*b＝2a×2b可得 （﹣2）*5＝2﹣2×25＝23＝8． （2）由a*b＝2a×2b可得2*（2x+1）＝22×22x+1＝22x+3． 因为2*（2x+1）＝64＝26， 所以2x+3＝6， 解得． 11．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　4　，； （2）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）先根据新定义得到ax﹣2＝m，a3x﹣6＝n，a2x+2＝mn，进而得到mn＝a4x﹣8，进而得到2x+2＝4x﹣8，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵24＝16， ∴L（2，16）＝4； ∵， ∴； 故答案为：4；； （2）∵L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2， ∴ax﹣2＝m，a3x﹣6＝n，a2x+2＝mn， ∴mn＝ax﹣2•a3x﹣6＝a4x﹣8， ∴a4x﹣8＝a2x+2， ∴2x+2＝4x﹣8， ∴x＝5． 12．规定：x•y＝3x•3y． （1）求2•5的值； （2）若1•（4x﹣3）＝81，求x的值； （3）判断，x•（y+z）与（x+y）•z是否相等，并说明理由． 【分析】（1）根据规定和同底数幂的乘法计算即可； （2）根据规定和同底数幂的乘法得到一个关于x的一元一次方程，然后解方程即可求得x的值； （3）根据规定和同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：（1）∵x•y＝3x•3y， ∴2•5＝32•35＝37＝2187； （2）∵1•（4x﹣3）＝81， ∴31•3（4x﹣3）＝34， ∴4x﹣2＝4， ∴x； （3）x•（y+z）＝（x+y）•z， 理由：∵x•（y+z）＝3x•3y+z＝3x+y+z， （x+y）•z＝3y+x•3z＝3x+y+z， ∴x•（y+x）＝（x+y）•z． 13．阅读下列材料： 若a，b两数满足ax＝b，则称x为b的“对数”，记作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2． 请根据以上规定，回答下列问题： （1）根据上述规定要求，请完成填空： （3，27）＝　3　，（﹣2，16）＝　4　，（，　　）＝3． （2）计算（5，10）﹣（5，2）． 【分析】（1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题中所给新定义运算及同底数幂除法的逆用可进行求解． 【详解】解：（1）∵33＝27，（﹣2）4＝16， ∴（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4， ∵， ∴； 故答案为3；4；； （2）设（5，10）＝p，（5，2）＝q，则有5p＝10，5q＝2， ∴， ∴p﹣q＝1， ∴（5，10）﹣（5，2）＝1． 14．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： ①（3，27）＝　3　，（﹣2，﹣32）＝　5　； ②若，则x＝　±2　． （2）若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c． 【分析】（1）①由33＝27，（﹣2）5＝﹣32，以及题意可知，（3，27）＝3，（﹣2，﹣32）＝5，然后作答即可；②由，以及题意可知，，计算求解即可； （2）由题意知，3a＝5，3b＝6，3c＝30，由5×6＝30，可得3a⋅3b＝3c，即3a+b＝3c，进而结论得证． 【详解】（1）①解：∵33＝27，（﹣2）5＝﹣32， ∴由题意知，（3，27）＝3，（﹣2，﹣32）＝5， 故答案为：3，5； ②解：∵， ∴由题意知，，即，解得，x＝±2， 故答案为：±2； （2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c， ∴由题意知，3a＝5，3b＝6，3c＝30， ∵5×6＝30， ∴3a⋅3b＝3c，即3a+b＝3c， ∴a+b＝c． 15．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3． （1）填空：f（2，4）＝　2　，f（4，64）＝　3　； （2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）； （3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值． 【分析】根据“若an＝b，那么f（a，b）＝n”的意义，逐项进行计算即可． 【详解】解：（1）∵22＝4， ∴f（2，4）＝2， ∵43＝4×4×4＝64， ∴f（4，64）＝3， 故答案为：2，3； （2）∵（﹣3）4＝81，53＝125， ∴f（﹣3，81）＝4，f（5，125）＝3， ∴原式＝4﹣3＝1； （3）∵（﹣2）5＝﹣32，43＝64，而f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3， ∴a＝﹣2，b＝64， 又∵（﹣2）6＝64， ∴f（a，b） ＝f（﹣2，64） ＝6． 16．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2． （1）（﹣2，16]＝　4　；若（3，y]＝27，则y＝　327　； （2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值； 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：4a＝12，4b＝5，4c＝y，再结合a+b＝c，进一步可得答案． 【详解】解：（1）由题意可得：（﹣2，16]＝4， ∵（3，y]＝27， ∴y＝327； 故答案为：4，327； （2）∵如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n， ∴由（4，12]＝a，可得4a＝12， （4，5]＝b，可得4b＝5， （4，y]＝c，可得4c＝y， ∵a+b＝c， ∴4a+b＝4c， ∵4c＝y，4a•4b＝4a+b＝12×5＝60， ∴y＝60． 17．阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n＝am•an；②an＝m，知道a和n可以求m，我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：因为62＝36，所以[6，36]＝2． （1）[2，4]＝　2　，　3　； （2）分别计算[2，16]、[2，64]的值，试猜想[2，4]、[2，16]、[2，64]之间的等量关系式； （3）若记[3，x]＝5m，[3，y+1]＝5m+1，请用含x的代数式表示y． 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算[2，16]、[2，64]的值，即可求解； （3）由题意得x＝35m，y+1＝35m+1，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【详解】解：（1）[2，4]＝2， ， 故答案为：2，3． （2）依题意，[2，4]＝2，[2，16]＝4、[2，64]＝6， ∴[2，4]+[2，16]＝[2，64]； （3）根据题意得： x＝35m，y+1＝35m+1， ∴y+1＝35m+1＝35m×3＝3x， ∴y＝3x﹣1． 18．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　3　，（﹣2，﹣32）＝　5　； （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系； （3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值． 【分析】（1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据5×6＝30，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解． 【详解】解：（1）∵53＝125，（﹣2）5＝﹣32， ∴（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5， 故答案为：3，5； （2）a+b＝c，理由如下： ∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c， ∴4a＝5，4b＝6，4c＝30， ∵5×6＝30， ∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c， ∴a+b＝c； （3）设（m，8）＝x，（m，3）＝y，（m，t）＝z，则mx＝8，my＝3，mz＝t， 由（m，8）+（m，3）＝（m，t）可得x+y＝z， ∴t＝mz＝mx+y＝mx×my＝8×3＝24．， 19．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　，D（16）＝　4　． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简． 【详解】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 20．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ 　3　，（ 　﹣3　，﹣27）＝3； （2）若（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，请你尝试运用上述运算证明：a+b＝c； （3）进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合（2）、（3）探索的结论，计算： 　3　． 【分析】（1）根据题意可得43＝64，（﹣3）3＝﹣27，进而求解； （2）由（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，得5a＝3，5b＝8，5c＝24，即知5a•5b＝5c，从而a+b＝c； （3）设（2，5）＝a，，由结论得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得：43＝64，（﹣3）3＝﹣27， ∴（4，64）＝3，（﹣3，﹣27）＝3， 故答案为：3，﹣3； （2）∵（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c， ∴由新定义可得：5a＝3，5b＝8，5c＝24， ∵3×8＝24， ∴5a•5b＝5c， ∴a+b＝c； （3） ， 设（2，5）＝a，，， ∴， ∵23＝8， ∴c＝3， ∴． 故答案为：3． 21．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”； （2）根据（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，可以求得（4m）n的值； （3）根据（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，可以求得（﹣2）m﹣n的值． 【详解】解：（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对”， 理由：∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，﹣3≠﹣1 ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； （2）由题意可知： ， ∴mn＝3， ∴（4m）n＝4mn＝43＝64； （3）由题意可得： ∴， ∴m﹣n＝3+1＝4， 则（﹣2）m﹣n＝（﹣2）4＝16． 22．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值． 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：（1）22⊕23 ＝22×3+22+3 ＝26+25 ＝64+32 ＝96； （2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时． 2p⊕2q ＝2pq+2p+q ＝（2p）q+2p×2q ＝3q+3×5 ＝6+15 ＝21． 23．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，16）＝　2　，（8，1）＝　0　，（ 　3　，）＝﹣2． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4）， 小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（32，100000）﹣（8，1000）； ②请尝试运用这种方法证明（2024，15）＝（2024，3）+（2024，5）． 【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 【详解】（1）解：∵42＝16，∴（4，16）＝2； ∵80＝1，∴（8，1）＝0； ∵3﹣2，∴（3，）＝﹣2； 故答案为：2，0，3； （2）①解：（32，100000）﹣（8，1000） ＝（25，105）﹣（23，103） ＝（2，10）﹣（2，10） ＝0； ②证明：设2024x＝3，2024y＝5，则2024x•2024y＝2024x+y＝3×5＝15 所以（2024，3）＝x，（2024，5）＝y，（2024，15）＝x+y， ∴（2024，3）+（2024，5） ＝x+y ＝（2024，15）， 即（2024，15）＝（2024，3）+（2024，5）． 24．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果ac＝b，那么【a，b】＝c．例如：因为23＝8，所以【2，8】＝3． （1）根据上述规定，填空：【4，64】＝　3　，【5，1】＝　0　，【　±2　，81】＝4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：【3n，4n】＝【3，4】，小明的理由如下： 设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即【3，4】＝x，所以【3n，4n】＝【3，4】． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①试说明：【7，5】+【7，9】＝【7，45】； ②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y+2）n】＝【　（x+1）　，　（y﹣1）（y+2）　】（x＞﹣1，y＞1）． 【分析】（1）根据乘方的意义即可得出答案； （2）①模仿题目中例子的证明方法设【7，5】＝x，【7，9】＝y，再根据乘方的意义即可得出答案； ②根据【3n，4n】＝【3，4】和【7，5】+【7，9】＝【7，45】的证明过程和结论猜想证明即可． 【详解】解：（1）∵43＝64， ∴【4，64】＝3． ∵50＝1， ∴【5，1】＝0． ∵（±2）4＝81， ∴【±2，81】＝4． 故答案是：3；0；±2； （2）①设【7，5】＝x，【7，9】＝y， 则7x＝5，7y＝9， ∴7x+y＝5×9＝45． ∴【7，45】＝x+y． ∴【7，5】+【7，9】＝【7，45】． ②设【（x+1）n，（y﹣1）n】＝m，则[（x+1）n]m＝（y﹣1）n，即[（x+1）m]n＝（y﹣1）n， ∴（x+1）m＝y﹣1，即【（x+1），（y﹣1）】＝m． ∴【（x+1）n，（y﹣1）n】＝【（x+1），（y﹣1）】． 同理可得：【（x+1）n，（y+2）n】＝【（x+1），（y+2）】， ∴【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y+2）n】＝【（x+1），（y﹣1）】+【（x+1），（y+2）】． 设【（x+1），（y﹣1）】＝a，【（x+1），（y+2）】＝b， 则（x+1）a＝y﹣1，（x+1）b＝y+2， ∴（x+1）a+b＝（y﹣1）（y+2）． ∴【（x+1），（y﹣1）（y+2）】＝a+b． ∴【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y+2）n】＝【（x+1），（y﹣1）（y+2）】． 故答案是（x+1）；（y﹣1）（y+2）． 25．对于整数a，b定义新运算；a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m，n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）当m＝1，n＝100时，2※1的值为 　3　； （2）若4m﹣n＝3，1※4＝7，求2※2的值． 【分析】（1）根据新定义运算法则可得2※1＝（21）1+（12）100，再计算即可； （2）由1※4＝7可得4n＝6，结合4m﹣n＝3，可得4m＝18，再计算即可． 【详解】解：（1）根据运算法则，2※1＝（21）1+（12）100＝2+1＝3． （2）∵1※4＝7，4m﹣n＝4m÷4n＝3， ∴（14）m+（41）n＝7，即1+4n＝7， ∴4n＝6， ∴4m＝18， ∴2※2＝（22）m+（22）n ＝4m+4n ＝18+6 ＝24． 26．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）22⊕23＝　96　； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值； 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：（1）22⊕23 ＝22×3+22+3 ＝26+25 ＝64+32 ＝96． 故答案为：96． （2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时， 2p⊕2q ＝2pq+2p+q ＝（2p）q+2p×2q ＝3q+3×5 ＝6+15 ＝21． 27．当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如101102． （1）类比十进制的计数原理：12035＝1×104+2×103+0×102+3×101+5，把一个二进制数转化为十进制数的方法为：101102＝1×24+0×23+1×22+1×21+0＝22． 请你将二进制数100112转化为十进制数：则100112＝ 　19　； （2）二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝102． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，102﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①101102+11012＝ 　100011　2； ②1101012﹣111102＝ 　10111　2． 【分析】（1）根据题意把二进制的数化为十进制数即可； （2）两式根据二进制计算法则计算即可得到结果． 【详解】解：（1）100112＝1×24+0×23+0×22+1×21+1 ＝16+0+0+2+1 ＝19； 故答案为：19； （2）①101102+11012 ＝1000112； ②1101012﹣111102 ＝101112． 故答案为：①100011；②10111． 28．教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，m＞n时，教材给出根据幂的定义证明am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n是正整数，m＞n）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n是正整数，m＞n）． （2）当m＝3，n＝﹣2时，根据负整数指数幂的定义， 得a3÷a﹣2＝a3÷　　＝a3•a2＝a5， ∵a3﹣（﹣2）＝a5， ∴a3÷a﹣2＝a3﹣（﹣2）． （3）当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：am•a﹣n＝am﹣n（a≠0）． 【分析】（1）根据幂的定义以及分式约分的意义进行解答即可； （2）根据（1）的结论以及除法的运算方法进行计算即可； （3）根据（1）的结论以及负整数指数幂的运算方法进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵a≠0，m、n是正整数， ∴am÷anam﹣n， 即am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n是正整数，m＞n）； （2）由于a3÷a﹣2＝a3a3×a2＝a5， 所以答案为：； （3）证明：∵a≠0，m、n是正整数．而a﹣n， ∴am•a﹣n＝am ＝am÷an ＝am﹣n， 因此am•a﹣n＝am﹣n（a≠0）． 29．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 小明在研究这种运算时发现一个结论：L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）． 小明给出了如下的证明： 设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y， 由规定，得ax＝m，ay＝n， ∴ax÷ay＝a（x﹣y）， ∴L（a，）＝x﹣y， ∴L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）． 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　4　，L（ 　　，36）＝﹣2； （2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）； （3）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义，结合同底数幂的运算证明； （3）根据新定义，结合同底数幂的运算列出方程求解． 【详解】解：（1）∵24＝16， ∴L（2，16）＝4， ∵（）﹣2＝36， L（，36）＝﹣2； 故答案为：4，； （2）证明：设L（3，5）＝x，L（3，8）＝y， 由规定，得3x＝5，3y＝8， ∴40＝5×8＝3x×3y＝3（x+y）， ∴L（3，40）＝x+y， ∴L（3，40）＝L（3，5）+L（3，8）； （3）∵L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2， ∴ax﹣2＝m，a3x﹣6＝n，mn＝a2x+2， ∴mn＝a2x+2＝ax﹣2•a3x﹣6＝a4x﹣8， ∴2x+2＝4x﹣8， 解得：x＝5． 30．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（3，81）＝　4　；（ 　﹣5　，﹣125）＝3； （2）求证：（5，4）+（5，9）＝（5，36）． 【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】解：（1）∵34＝81， ∴（3，81）＝4， ∵（﹣5）3＝﹣125， ∴（﹣5，﹣125）＝3， 故答案为：4；﹣5； （2）设（5，4）＝x，（5，9）＝y，（5，36）＝z， 则5x＝4，5y＝9，5z＝36， 5x×5y＝5x+y＝36， ∴5x+y＝5z， ∴x+y＝z， 即（5，4）+（5，9）＝（5，36）． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$