第7章幂的运算全章重难点培优（10大类型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

第7章幂的运算全章重难点培优（10大类型提分练+强化训练） 1.掌握同底数幂的运算与逆运算、幂的乘方运算与逆运算、积的乘方运算与逆运算；　 2.应用幂的运算法则计算幂的混合运算．　 3.理解并掌握零指数幂、负指数幂的运算及用科学计数法表示小于1的数． 1. 同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注意：同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （2）同底数幂的乘法的逆用公式 同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 2. 幂的乘方 （1）幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注意：公式的推广： (，均为正整数) （2）幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 3.积的乘方 （1）积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便. 4.同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 注意：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 5.零指数幂与负整数指数幂： （1）一般地，规定（a≠0).即任何不等于0的数的0次幂等于1. 零指数幂的意义是由除法运算产生的.由于0不能作除数，所以中限定a≠0.因此，零的零次 幂没有意义· （2） 负整数指数幂：（a≠0，p是正整数），任何不等于0的数的-n（n是正整数)次幂，等于 这个数的n次幂的倒数. 6. 科学记数法表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 类型一、同底数幂的乘法 1．（20-21八年级上·山西吕梁·期末）若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽·假期作业） 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法、乘方运算及单项式乘法计算，熟练掌握运算法则是解答的关键．根据法则直接计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法和积的乘方法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可。 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解； （2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 整理，得， 所以， 解得． （2）解：原方程可化为， 整理，得，即， 所以， 解得． 类型二、幂的乘方 5．（24-25七年级上·上海·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于熟练掌握幂的公式的逆运算． 根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法逆运算即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 类型三、积的乘方 9．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 10．（24-25七年级上·重庆开州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先进行积的乘方，幂的乘方运算，再进行单项式乘以单项式的运算； （2）先进行积的乘方，幂的乘方运算，再进行单项式乘以单项式的运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则，成为解答本题的关键． （1）根据同底数幂相乘，合并同类项，计算即可． （2）根据同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，合并同类项运算法则计算即可． 【详解】（1）． （2）． 类型四、同底数幂的除法 12．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法法则．根据同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解： ，，， 故选：C． 14．（24-25八年级上·天津和平·期末）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，利用同底数幂乘除法法则求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，理清指数的变化是解题的关键． 先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，即可得出答案． 【详解】解： ． 类型五、幂的运算的逆运用 16．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 17．（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算可得出即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 18．（24-25八年级上·全国·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法的运算及逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． （1）根据，可得出，再根据同底数幂的乘除法即可得出答案； （2）将转化为再得到，最后将代入，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴的值 ． 19．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)400 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由，根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，，． ． （2）解：． （3）解：． 类型六、零指数幂与负整数指数幂 20．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，根据底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ∴或． 故选D． 21．（15-16八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 22．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 类型七、零指数幂与负整数指数幂的计算 23．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂，实数的混合运算．先化简零次幂，计算括号内的减法以及运算乘方和乘除，然后进行加法运算，即可作答． 【详解】解： ． 24．（24-25八年级上·青海果洛·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算． （1）利用负整数指数幂、乘方、算术平方根进行计算，再进行加减法即可； （2）利用幂的运算法则和单项式的乘法计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 25．（24-25九年级上·广西·阶段练习）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算负整数指数幂、零指数幂，乘方和开方，再算加减． 【详解】解：原式 ． 类型八、科学记数法表示较小的数 26．（24-25八年级上·吉林·期末）纳米技术是一种高新技术，纳米（）是非常小的长度单位，，则将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据记数法得基本要求和格式解答即可．本题考查了科学记数法，熟练掌握基本要求是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得用科学记数法表示为． 故选：B． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 【答案】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可． （2）根据科学记数法表示方法解答即可． 【详解】解：（1）用小数表示为． 故答案为：． （2）用科学记数法表示为． 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． （1）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； （2）中，将小数点向右移动6位，到6后面，得出结果； （3）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； 【详解】（1） （2） （3） 30．（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】(1)立方米 (2)块 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； （2）解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 类型九、幂的运算与实际应用 31．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可直接列出代数式； （2）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可； （3）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，科学记数法—表示较大的数，科学记数法—表示较小的数等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 32．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1) (2)10天 【分析】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法， （1）先算出3亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可得到答案； （2）用3亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）解：， 答：将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有； （2）解：天， 答：点钞机大约要点10天． 类型十、幂的运算的新定义问题 33．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 34．（24-25六年级上·上海·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 35．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法等知识，直接利用积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法法则分别计算即可得出答案，熟练掌握积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法法则是解决此题的关键． 【详解】解：、，故此选项错误，不符合题意； ，故此选项错误，不符合题意； ，故此选项正确，符合题意； 、，故此选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）已知：，，则的值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算把原式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵：，， ∴ 故选：A 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，首先逆用同底数幂的乘法法则，得到原式，再提公因数得到，经计算得到结果． 【详解】解： ． 故选：B． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方的逆用，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算求解． 【详解】解：， 故选D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的大小比较，负整数指数幂、零指数幂以及乘方，计算出的大小是解题的关键． 先分别计算出，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方运算进行化简，然后根据指数的大小即可判断． 【详解】解：∵, , , ∵， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）若，，则的值为（   ） A．21 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算等知识点，应用同底数幂的除法法则和幂的乘方的逆运算，进行计算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键． 【详解】， ∵，， ∴原式， 故选：C． 8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，根据幂的乘方和积的乘方逆用得出，再进行变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查整数指数幂的运算及有理数的加减运算 ．熟知整数指数幂的运算法则是正确解决本题的关键． 根据及先进行整数指数幂的运算再按有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：16． 11．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 12．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方及积的乘方，解题的关键是熟记幂的乘方及积的乘方法则． 把化为，把代入即可求解． 【详解】解：． ∴， 故答案为：． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方运算． （1）直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则计算，再合并即可求解，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 三、解答题 17．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算和幂的运算，解题关键是熟练掌握相关法则； （1）先算乘方，再算绝对值，然后算乘除，最后算减法即可； （2）利用幂的乘方法则及同底数幂除法法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 18．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． （1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可； （2）设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，2； （2）解：设，，则， ∴，，， ∴． 19．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 20．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 【答案】(1)1 (2) (3)2 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答． （2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答． （3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴， 即， ∵ ∴ 即， ∴，得， 即， ∴， ． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各数的大小：，，（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，以及幂的大小比较，掌握比较方法是解题的关键；将，，化为同底数幂，再根据底数为，指数越大，幂越大，进行比较，即可解题． 【详解】10．解：，，． 因为， 所以，即． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法和新定义运算，正确理解新定义，将把新运算化成常规运算是解题的关键． （1）将变形为，再根据定义新运算进行计算即可； （2）根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ = = =． （2）解：∵，， ∴ ∴ …… ∴ ∴ =． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章幂的运算全章重难点培优（10大类型提分练+强化训练） 1.掌握同底数幂的运算与逆运算、幂的乘方运算与逆运算、积的乘方运算与逆运算；　 2.应用幂的运算法则计算幂的混合运算．　 3.理解并掌握零指数幂、负指数幂的运算及用科学计数法表示小于1的数． 1. 同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注意：同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （2）同底数幂的乘法的逆用公式 同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 2. 幂的乘方 （1）幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注意：公式的推广： (，均为正整数) （2）幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 3.积的乘方 （1）积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便. 4.同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 注意：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 5.零指数幂与负整数指数幂： （1）一般地，规定（a≠0).即任何不等于0的数的0次幂等于1. 零指数幂的意义是由除法运算产生的.由于0不能作除数，所以中限定a≠0.因此，零的零次 幂没有意义· （2） 负整数指数幂：（a≠0，p是正整数），任何不等于0的数的-n（n是正整数)次幂，等于 这个数的n次幂的倒数. 6. 科学记数法表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 类型一、同底数幂的乘法 1．（20-21八年级上·山西吕梁·期末）若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25七年级上·安徽·假期作业） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 类型二、幂的乘方 5．（24-25七年级上·上海·假期作业）计算： ． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）计算： 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 8．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 类型三、积的乘方 9．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算： ． 10．（24-25七年级上·重庆开州·期中）计算： (1)； (2)． 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 类型四、同底数幂的除法 12．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ． 13．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·天津和平·期末）若，则 ． 15．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：． 类型五、幂的运算的逆运用 16．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 18．（24-25八年级上·全国·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 19．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 类型六、零指数幂与负整数指数幂 20．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 21．（15-16八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 类型七、零指数幂与负整数指数幂的计算 23．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 24．（24-25八年级上·青海果洛·期末）计算： (1)； (2) 25．（24-25九年级上·广西·阶段练习）计算：． 类型八、科学记数法表示较小的数 26．（24-25八年级上·吉林·期末）纳米技术是一种高新技术，纳米（）是非常小的长度单位，，则将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 28．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 30．（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 类型九、幂的运算与实际应用 31．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 32．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 类型十、幂的运算的新定义问题 33．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 34．（24-25六年级上·上海·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 35．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）已知：，，则的值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．5 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）若，，则的值为（   ） A．21 B． C． D． 8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 二、填空题 9．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 10．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 （用含的代数式表示）． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习） ． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）科学记数法表示为 ． 16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 三、解答题 17．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）计算： (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． 19．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 20．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 21．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各数的大小：，，（用“”连接）． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$