2025年中考数学一轮复习提优专题： 相似性质及应用（苏科版）

2025年九年级数学提优专题：相似性质及应用 （苏科版） 【考点专练】 1．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的 　 2．如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.2cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为8cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　） A．15.6cm B．17.5cm C．18.4cm D．20.8cm 3．如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 4．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 5．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为　 　米． 6．如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，BE是△ABC的中线，点F在边AB上，BE、CF相交于点O，若，则　 　． 7．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　 　． 8．如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝15，AD＝10，则这个正方形的面积是 　 　． 9．如图，正方形ABCD的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为 　 　． 10．如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 　 　． 11． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD•PF，则AP的最小值为 　 　． 12． 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为 　 　． 13．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度． 【典型例题】 1．【经验积累】 如图①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一点，连接DE，CE，过点A作AF⊥DE，垂足为F． （1）求证AD2＝DF•DE． （2）（Ⅰ）求证△CDF∽△EDC； （Ⅱ）若，则的值为 　 　． 【方法迁移】 （3）如图②，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 　 　． 2．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2．现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 3.为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　 　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 4．【探究】如图①，在矩形ABCD中，点E在边DC上，连结AE，过点D作DF⊥AE于点G，交边BC于点F．若AB＝6，BC＝8，求的值． 【应用】（1）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F为边BC的中点，连结AF，过点B作BD⊥AF于点E，交边AC于点D．若，的值为 　 　． （2）如图③，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC的中点，连结BD，过点A作AE⊥BD于点E，交边BC于点F．若，的值为 　 　． 5．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，求蜡烛的像CD的长度以及像CD与透镜MN之间的距离． 【巩固练习】 1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果△OA'B'与△OAB关于点O位似，且△OA'B'的面积等于△OAB面积的，则点B'的坐标为（　　） A． B．或 C．（3，2） D．（3，2）或（﹣3，﹣2） 2． 如图，AB，CD分别垂直BD，垂足分别为B，D，连接AD，BC交于点E，作EF⊥BD，垂足为F．设AB＝a，CD＝b，EF＝c，若1，则下列等式：①a+c＝b；②b+c＝2a；③a2＝b•c，其中一定成立的是　 　 3． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4．点O在BC上，OC＝2．以点O为圆心，OC长为半径的圆恰与AB相切于点D，交BC于点 E．则BE的长为 　 　 4． 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为 　 　． 5．如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．（1）求证：四边形PQMN为正方形； （2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长． 6．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点B开始沿BA边向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为t s． （1）当t＝　 　时△PAQ与△ABC相似； （2）当△PAQ的面积等于时，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$