第5课时 公因数和公倍数（分层作业）-五年级下册数学（西师大版）

第5课时 公因数、公倍数 一、在圈里填上合适的数。 二、用短除法计算（写出必要过程），求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 36和54                 18和30 34和51  12、24和36  三、填空。 1．24和36的最大公因数是( )，9和10的最小公倍数是( )。 2．当A＝3×7，B＝2×3×3；A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 3．春节期间，妈妈用微信零钱发红包，红包里的钱数既是48的因数，也是54的因数，妈妈发的红包最大是( )元。 4．五年级一班同学组织春游，每10个人分一组或12个人分一组都刚好分完，没有剩余，这个班至少有( )名同学。 四、在（   ）里直接写出下面每组数的最大公因数，在[  ]里写出最小公倍数，并举例说明。 （1）2和4（     ）[   ]         3和9（     ）[   ] 11和33（     ）[   ]          36和6（     ）[   ] ________和________（     ）[   ]     _________和_________（     ）[   ] 我发现：成倍数关系的两个数，它们的最大公因数是（ ），它们的最小公倍数是（    ）。 （2）3和4（     ）[   ]         3和7（     ）[   ] 11和7（     ）[   ]         6和7（     ）[   ] _________和_________（     ）[   ]     ________和________（     ）[   ] 我发现：公因数只有1的两个数，它们的最大公因数是（ ），它们的最小公倍数是（    ）。 （3）填一填。 如果A＝2B（A≠0，B≠0），A和B的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 五、问题解决。 1．先阅读下面的学习材料，再按要求做。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫这个合数的质因数。 如：6＝2×3，15＝3×5。 利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数和最小公倍数。 如：6和15的公有质因数是3，6独有的质因数是2，15独有的质因数是5。 （6，15）＝3 [6，15]＝3×2×5＝30 （1）用分解质因数的方法求出12和30的最大公因数和最小公倍数。 12＝（     ） 30＝（     ） 12和30的公有质因数有（    ），12独有的质因数是（    ），30独有的质因数是（    ）。 （12，30）＝                [12，30]＝ （2）如果a、b公有的质因数是2和3，a独有的质因数是3，b独有的质因数是2和2，则a＝（     ），b＝（     ）。 （3）根据上面的内容，写一写利用分解质因数的形式求最大公因数和最小公倍数的方法。 2.清明上河园是中国最大的仿宋古代建筑群、最大的宋文化主题公园，吸引了来自世界各地的游客。导游李叔叔每4天带团去一次，导游王阿姨每6天带团去一次。4月30日两人都带团到清明上河园参观，他们下一次都去的时间是几月几日？ 3．一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 六、小红第一次去李阿姨的食品加工厂参观，就被李阿姨的问题给难住了。 你能帮小红想想办法，算出答案吗？ 七、一张长方形纸长96厘米，宽60厘米。如果把它截成同样大小且边长都为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长最大是几厘米？每个正方形的面积最大是多少？可以截多少个这样的正方形？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时 公因数、公倍数 一、在圈里填上合适的数。 【答案】见详解 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 16＝1×16＝2×8＝4×4 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 16的因数有：1、2、4、8、16 8×1＝8、8×2＝16、8×3＝24、8×4＝32、8×5＝40 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42 40以内8的倍数有：8、16、24、32、40 40以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36 二、用短除法计算（写出必要过程），求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 36和54                 18和30 34和51  12、24和36  【答案】36和54的最小公倍数108，最大公因数18；18和30的最小公倍数90，最大公因数6；34和51的最小公倍数是102，最大公因数是17；12、24和36的最小公倍数是72，最大公因数是12； 【分析】短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数； 短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止；然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数；据此解答。 【详解】（1）36和54 2×3×3＝18 2×3×3×2×3＝108 所以36和54的最大公因数是18，最小公倍数是108。 （2）18和30 2×3＝6 2×3×3×5＝90 所以18和30的最大公因数是6，最小公倍数是90。 34和51的最小公倍数是17×2×3＝102。 34和51的最大公因数是17。 12、24和36的最小公倍数是2×2×3×1×2×3＝72。    12、24和36的最大公因数是2×2×3＝12。 三、填空。 1．24和36的最大公因数是( )，9和10的最小公倍数是( )。 【答案】 12 90 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 【详解】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是：2×2×3＝12； 9和10是互质数，所以9和10的最小公倍数是：9×10＝90； 填空如下： 24和36的最大公因数是（12），9和10的最小公倍数是（90）。 2．当A＝3×7，B＝2×3×3；A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【答案】 3 126 【分析】根据A＝3×7，B＝2×3×3，可知这两个数公有的质因数是3，所以A和B的最大公因数是3；除了公有质因数外，A数独有的质因数为7，B数独有的质因数为2和3，那么公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。据此进行解答。 【详解】由分析可知： A和B的最大公因数是3 最小公倍数是：3×7×2×3 ＝21×2×3 ＝42×3 ＝126 因此，当A＝3×7，B＝2×3×3；A和B的最大公因数是3，最小公倍数是126。 3．春节期间，妈妈用微信零钱发红包，红包里的钱数既是48的因数，也是54的因数，妈妈发的红包最大是( )元。 【答案】6 【分析】红包里面的钱既是48的因数，也是54的因数，即红包里的钱是48和54的公因数，而其中最大的公因数是最大公因数；可先将48、54分解质因数，公有质因数相乘得到最大公因数。据此可得出答案。 【详解】48＝2×2×2×2×3，54＝2×3×3×3，则48和54的最大公因数为：2×3＝6。即妈妈发的红包最大是6元。 4．五年级一班同学组织春游，每10个人分一组或12个人分一组都刚好分完，没有剩余，这个班至少有( )名同学。 【答案】60 【分析】每10个人分一组或12个人分一组都刚好分完，没有剩余，说明这个班的学生是10和12的公倍数，问题是这个班至少有多少名学生，即求10和12的最小公倍数。 【详解】10＝2×5 12＝2×2×3 5×2×2×3 ＝20×3 ＝60 即10和12的最小公倍数为60。 所以，这个班至少有60名学生。 四、在（    ）里直接写出下面每组数的最大公因数，在[  ]里写出最小公倍数，并举例说明。 （1）2和4（     ）[   ]         3和9（     ）[   ] 11和33（     ）[   ]          36和6（     ）[   ] ________和________（     ）[   ]     _________和_________（     ）[   ] 我发现：成倍数关系的两个数，它们的最大公因数是（ ），它们的最小公倍数是（    ）。 【答案】2；4；3；9 11；33；6；36 5；30；5；30；32；8；8；32（举例答案不唯一） 较小数，较大数 【分析】题中4是2的倍数，9是3的倍数，33是11的倍数，36是6的倍数。成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。据此解答。 【详解】通过分析可得： 2和4（2）[4]         3和9（3）[9] 11和33（11）[33]      36和6（6）[36] 举例：5和30（5）[30]     32和8（8）[32] 我发现，成倍数关系的两个数，它们的最大公因数是较小数，它们的最小公倍数是较大数。 （2）3和4（     ）[   ]         3和7（     ）[   ] 11和7（     ）[   ]         6和7（     ）[   ] _________和_________（     ）[   ]     ________和________（     ）[   ] 我发现：公因数只有1的两个数，它们的最大公因数是（ ），它们的最小公倍数是（    ）。 【答案】1；12；1；21 1；77；1；42 5；6；1；30；8；13；1；104（答案不唯一） 1；它们的乘积 【分析】公因数只有1的两个数叫互质数。如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。据此解答。 【详解】通过分析可得： 3×4＝12，可得：3和4（1）[12]；         3×7＝21，可得：3和7（1）[21]； 11×7＝77，可得：11和7（1）[77]；         6×7＝42，可得：6和7（1）[42]； 举例：5×6＝30，可得：5和6（1）[30]；    8×13＝104，可得：8和13（1）[104]。 我发现，公因数只有1的两个数，它们的最大公因数是1，它们的最小公倍数是它们的乘积。 （3）填一填。 如果A＝2B（A≠0，B≠0），A和B的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 A B； ab 1； 【分析】若两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数；据此解答。 如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b相差1，即a和b是相邻的自然数。两个相邻的自然数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们相乘的积。 【详解】因为A＝2B，所以A÷B＝2，则A和B成倍数关系，那么A和B的最小公倍数是A，最大公因数是B。 a和b的最小公倍数是ab，最大公因数是1。 五、问题解决。 1．先阅读下面的学习材料，再按要求做。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫这个合数的质因数。 如：6＝2×3，15＝3×5。 利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数和最小公倍数。 如：6和15的公有质因数是3，6独有的质因数是2，15独有的质因数是5。 （6，15）＝3 [6，15]＝3×2×5＝30 （1）用分解质因数的方法求出12和30的最大公因数和最小公倍数。 12＝（     ） 30＝（     ） 12和30的公有质因数有（    ），12独有的质因数是（    ），30独有的质因数是（    ）。 （12，30）＝                [12，30]＝ （2）如果a、b公有的质因数是2和3，a独有的质因数是3，b独有的质因数是2和2，则a＝（     ），b＝（     ）。 （3）根据上面的内容，写一写利用分解质因数的形式求最大公因数和最小公倍数的方法。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个台数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式；分解质因数后，两个数公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，两个数公有质因数和各自独有质因数的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 （2）用a和b的公有质因数与a独有的质因数，即可求出a；用a和b公有质因数b独有的质因数，即可求出b，据此解答。 （3）通过分解质因数，‌我们可以清晰地看到哪些质因数是两个数共有的，‌哪些是独有的，‌从而准确地计算出最大公因数和最小公倍数；据此解答。 【详解】（1）12＝2×2×3 30＝2×3×5 12和30的最大公因数是2×3＝6 12和30的最小公倍数是2×3×2×5＝60 12和30的公有质因数有2和3，12独有的质因数是2，30独有的质因数是5。 （12，30）＝2×3＝6 [12，30]＝2×3×2×5＝60 （2）2×3×3＝18 2×3×2×2＝24 所以如果a、b公有的质因数是2和3，a独有的质因数是3，b独有的质因数是2和2，则a＝18，b＝24。 （3）利用分解质因数的形式求最大公因数和最小公倍数的方法如下：‌ 求最大公因数：‌首先，‌将每个数分别进行质因数分解，‌找出它们共有的质因数；将这些共有的质因数相乘，‌得到的积就是这几个数的最大公因数。‌ 求最小公倍数：‌除了找出共有的质因数外，‌还需要考虑每个数独有的质因数；公有质因数和各自独有质因数的乘积，就是它们的最小公倍数。‌ 2.清明上河园是中国最大的仿宋古代建筑群、最大的宋文化主题公园，吸引了来自世界各地的游客。导游李叔叔每4天带团去一次，导游王阿姨每6天带团去一次。4月30日两人都带团到清明上河园参观，他们下一次都去的时间是几月几日？ 【答案】5月12日 【分析】由题意可知：下一次同时去清明上河园参观的所需时间是4天与6天的最小公倍数，根据求最小公倍数的方法求出最小公倍数，进而得出下一次同时去清明上河园参观是几月几日。最小公倍数是它们的公有质因数与独有质因数的连乘积。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12 4月只有30天。 4月30日＋12日＝5月12日 答：他们下一次都去的时间是5月12日。 3．一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 【答案】20米；18棵 【分析】由题意可知：每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数；求出长方形的周长，用周长÷每两棵树间的距离即可求得最少需要多少棵杉树；据此解答。 【详解】100＝2×2×5×5 80＝2×2×2×2×5 所以100和80的最大公因数是2×2×5＝20，即每两棵树间的距离最多是20米。 （100＋80）×2÷20 ＝360÷20 ＝18（棵） 答：每两棵树间的距离最多是20米，最少需要18棵杉树。 【点睛】本题主要考查最大公因数的实际应用，明确每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数是解题的关键。 六、小红第一次去李阿姨的食品加工厂参观，就被李阿姨的问题给难住了。 你能帮小红想想办法，算出答案吗？ 【答案】最多能配出42包；每包甲种原料有9克，乙种原料有7克，丙种原料有4克，丁种原料有3克 【分析】根据题意可知，每种原料的总千克数＝每包每种原料的千克数×调味包的数量，可知调味包的数量是各种原料总千克数的公因数，也就是378、294、168、126的公因数，要求最多能配多少包，就是求378、294、168、126的最大公因数，先把几个数分别分解质因数，这几个数的最大公因数是几个数的公有的质因数的乘积；再分别用每种原料的总千克数除以调味包的数量，即可求出每包各种原料的千克数。 【详解】378＝2×3×3×3×7 294＝2×3×7×7 168＝2×2×2×3×7 126＝2×3×3×7 2×3×7＝42 （378，294，168，126）＝42 最多有42包， 甲种：378÷42＝9（克） 乙种：294÷42＝7（克） 丙种：168÷42＝4（克） 丁种：126÷42＝3（克） 答：最多能配出42包，每包甲种原料有9克，乙种原料有7克，丙种原料有4克，丁种原料有3克。 【点睛】本题考查了最大公因数的灵活应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 七、一张长方形纸长96厘米，宽60厘米。如果把它截成同样大小且边长都为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长最大是几厘米？每个正方形的面积最大是多少？可以截多少个这样的正方形？ 【答案】12厘米；144平方厘米；40个 【分析】由题意可知，要求正方形边长最大是几厘米，就是求96和60的最大公因数是多少。再根据正方形面积公式即可求最大面积。分别用96和60除以最大边长，得到的商相乘即是截成的正方形的个数。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 60＝2×2×3×5 96和60的最大公因数是2×2×3＝12，即正方形的边长最大是12厘米 12×12＝144（平方厘米） （96÷12）×（60÷12） ＝8×5 ＝40（个） 答：每个正方形的边长最大是12厘米，每个正方形的面积最大是144平方厘米；可以截40个这样的正方形。 【点睛】根据题意，理解正方形的最大边长即是96和60的最大公因数是解题关键。求两个数的最大公因数，就是求他们公有质因数的连乘积。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$