第4课时 合数、质数（分层作业）-五年级下册数学（西师大版）

第4课时 合数、质数 一、填空。 1．最小的质数是( )，最小的合数是( )，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的最小数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 2.用10以内三个不同的质数,组成一个同时是2和3的倍数的最小三位数是( ),同时是3和5的倍数的最大三位数是( )。 3．用最小的质数、最小的偶数、最小的合数和只有一个因数的数，从这四个数字中任选三个组成三位数，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。 4．一个三位数，百位上的数既不是质数、也不是合数，十位上的数既是偶数、又是质数，这个三位数同时又是2和5的倍数，这个三位数是( )，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 二、分解质因数。 1.把下列各数写成质数相乘的形式。                   42＝（    ）×（    ）×（    ）    36＝（    ）×（    ）×（    ）×（    ） 2．用短除法分解质因数。 32           45        60          120 三、选择题。 1．下列说法正确的是（    ）。 A．奇数都是质数 B．偶数都是合数 C．质数只有一个因数 D．合数至少有3个因数 2.两个质数的积不可能是（     ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 3．把210分解质因数是（    ）。 A．210＝1×2×3×5×7 B．210＝5×6×7 C．210＝1×5×6×7 D．210＝2×3×5×7 4．是一个三位数，已知b是10以内的最大质数，c比最小的合数多1，且是3的倍数，那么a可能是（    ）。 A．1、4、7 B．2、5、8 C．3、6、9 D．0、3、6、9 四、问题解决。 1．读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 2．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，已知画整体是长方形，长和宽都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最大是多少平方分米？ 3．四个小朋友的年龄一个比一个大1岁，四人年龄的乘积是3024.问：最小的几岁，最大的几岁？ 五、向明对一个六位数用短除法分解质因数，她选用由小到大的质数进行试除（如图所示）． a、b、c依次是（ ）。 六、费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时 合数、质数 一、填空。 1．最小的质数是( )，最小的合数是( )，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的最小数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 【答案】 2 4 2 9 1 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此分析。 【详解】最小的质数是2，最小的合数是4，既是质数又是偶数的数是2，既是奇数又是合数的最小数是9，既不是质数也不是合数的数是1。 2.用10以内三个不同的质数,组成一个同时是2和3的倍数的最小三位数是( ),同时是3和5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 372 735 【解析】10以内的质数有：2、3、5、7、9 要使组成的数同时是2和3的倍数，则必须要有偶数2，另外要求最小，则选3 3．用最小的质数、最小的偶数、最小的合数和只有一个因数的数，从这四个数字中任选三个组成三位数，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。 【答案】 420 120 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。最小的质数是2，最小的偶数是0，最小的合数是4，只有一个因数的数是1。要满足同时是2、3、5的倍数，可根据2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数，进行解答。 【详解】根据分析得，最小的质数是2，最小的偶数是0，最小的合数是4，只有一个因数的数是1； 既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上必定是0； 4＋2＋0＝6，1＋2＋0＝3，满足3的倍数的特征； 所以这个最大的三位数是420，最小的三位数是120。 【点睛】掌握质数、合数、偶数的概念，和2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。 4．一个三位数，百位上的数既不是质数、也不是合数，十位上的数既是偶数、又是质数，这个三位数同时又是2和5的倍数，这个三位数是( )，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 【答案】 120 120＝2×2×2×3×5 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其它因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；最小的质数是2。 能被2整除的数叫做偶数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数。 分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数，据此解答。 【详解】百位上的数既不是质数，也不是合适，百位上的数是1； 十位上的数既是偶数、又是质数，十位上的数是2； 这个三位数同时又是2和5的倍数，个位上的数是0。 这个三位数是120。 120＝2×2×2×3×5 一个三位数，百位上的数既不是质数、也不是合数，十位上的数既是偶数、又是质数，这个三位数同时又是2和5的倍数，这个三位数是120，把这个数写成质数相乘的形式是120＝2×2×2×3×5。 二、分解质因数。 1.把下列各数写成质数相乘的形式。                            42＝（    ）×（    ）×（    ）   36＝（    ）×（    ）×（    ）×（    ） 【答案】见详解； 42＝2×3×7；36＝2×2×3×3 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】； 42＝2×3×7；36＝2×2×3×3 2．用短除法分解质因数。 32          45       60         120 【答案】见详解 【分析】根据质因数的分解原则用短除法进行解分解即可。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】32＝2×2×2×2×2 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 120＝2×2×2×3×5 三、选择题。 1．下列说法正确的是（    ）。 A．奇数都是质数 B．偶数都是合数 C．质数只有一个因数 D．合数至少有3个因数 【答案】D 【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。如：4×3＝12，4和3是12的因数，12是4和3的倍数； 奇数：不能被2整除的自然数叫奇数。如：1、3、5、7、9……； 偶数：能被2整除的自然数叫偶数。如：0、2、4、6、8、10……； 质数：在大于0的自然数中，除了1和它本身外，不能再被其他数整除的数，叫质数；如：2、3、5、7……都是质数，也叫素数； 合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数叫合数，如：4、6、8……都是合数。据此逐项分析选择即可。 【详解】A．比如9是奇数，但是9除了能被本身和1整除以外，还可以被3整除，是合数而不是质数；选项错误； B．比如2是偶数，但是它只能被1和本身整除，不是合数是质数；选项错误； C．质数有1和本身两个因数；选项错误； D．合数除了有1和它本身两个因数以外，还能被其他数整除，所以至少有3个因数，选项正确。 故答案为：D 2.两个质数的积不可能是（     ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】C 【分析】2是质数也是偶数，根据偶数偶数偶数，偶数奇数偶数，所以2与另一个质数的积是偶数。 【解答】解：偶数偶数偶数，偶数奇数偶数，2是质数也是偶数， 所以2与另一个质数的积是偶数。 故选：B。 【点评】此题考查的目的是理解奇数与偶数。明确：奇数与偶数是根据是不是2的倍数进行分类的。 3．把210分解质因数是（    ）。 A．210＝1×2×3×5×7 B．210＝5×6×7 C．210＝1×5×6×7 D．210＝2×3×5×7 【答案】D 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．210＝1×2×3×5×7；1不是质数，不符合题意； B．210＝5×6×7；6是合数，不是质数，不符合题意； C．210＝1×5×6×7；1不是质数，6是合数，不是质数，不符合题意； D．210＝2×3×5×7，2、3、5，7都是210的因数，都是质数，符合题意。 把210分解质因数是210＝2×3×5×7。 故答案为：D 4．是一个三位数，已知b是10以内的最大质数，c比最小的合数多1，且是3的倍数，那么a可能是（    ）。 A．1、4、7 B．2、5、8 C．3、6、9 D．0、3、6、9 【答案】C 【分析】依据质数和合数的意义可以判断b和c所表示的数。10以内最大的质数是7，可得b所表示的数； c比最小的合数多1，依据最小的合数是4，可得c所表示的数；又因为是3的倍数，依据3的倍数的特点（各个数位上数字的和是3的倍数），得出c可能表示的数。 【详解】因为：b是10以内的最大质数，可得b是7；c比最小的合数多1，可得c＝4＋1＝5；又因为是3的倍数，所以（7＋5＋a）是3的倍数，则a可能是0、3、6、9。这是一个三位数，a不能为0。 四、问题解决。 1．读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 【答案】 7 3 2 2 7 13 3 2 2 11 23 17 2 2 17 【分析】40以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37；再根据10、16、40分别是两个质数的和，11、15、21分别是3个质数的和，从40以内的质数，找到合适的质数即可。 【详解】； （答案不唯一）；（答案不唯一） （答案不唯一）；（答案不唯一） 【点睛】本题考查质数，解答本题的关键是掌握质数的特征。 2．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，已知画整体是长方形，长和宽都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知：长方形的周长是36分米，则长与宽的和是36÷2＝18（分米）。再把18写成两个质数相加的和有：11＋7和13＋5两种情况，最后根据长方形的面积＝长×宽，得出其中面积最大是11×7＝77（平方分米）。 【详解】长与宽的和：36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 答：这幅画的面积最大是77平方分米。 3．四个小朋友的年龄一个比一个大1岁，四人年龄的乘积是3024.问：最小的几岁，最大的几岁？ 【答案】6岁；9岁 【分析】先分解质因数，把3024写成几个质数相乘的形式，再把这些质数写成4个相邻的数的乘积，即可得出答案。 【详解】3024＝2×2×2×2×3×3×3×7 即为6×7×8×9。 答：最小的为6岁，最大的为9岁。 五、向明对一个六位数用短除法分解质因数，她选用由小到大的质数进行试除（如图所示）． a、b、c依次是（ ）。 【答案】7、11、13 【详解】试题分析：用（X Y Z X Y Z）÷（X Y Z）=1001，然后把1001分解质因数，即可找出三个a、b、c质数． 解：（X  Y  Z  X  Y  Z）÷（X  Y  Z）=1001， 1001=7×11×13， 所以a、b、c分别等于7，11，13； 故答案为7、11、13． 点评：本题主要抓住六位数的特点和最后的商入手，即把这个六位数除以商就得到除数，即a、b、c的乘积，然后用分解质因数的方法求的三个质数． 六、费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 【答案】(1)不符合 (2) 5 1 2 【分析】（1）要判断31是否符合费马平方和定理的要求，需要先计算31÷4的结果。31÷4＝7⋯⋯3，余数是3而不是1。根据费马平方和定理，如果一个奇质数÷4余数为1，才能写成“a²＋b²”的形式。所以31不符合费马平方和定理中“除以4余数为1”的这个条件。 （2）20以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。其中质数有3、5、7、11、13、17、19。即是奇数又是质数的是：3、5、7、11、13、17、19，分别计算它们÷4的余数： 3÷4＝0⋯⋯3 5÷4＝1⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成“a²＋b²”的形式。 7÷4＝1⋯⋯3 11÷4＝2⋯⋯3 13÷4＝3⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成 “a²＋b²”的形式。 17÷4＝4⋯⋯1，余数为1，符合要求。可以写成“a²＋b²”的形式。 19÷4＝4⋯⋯3 5可以写成12＋22的形式。 13可以写成22＋32的形式。 17可以写成42＋12的形式。 但题目要求只写一个，所以选择5。 【详解】（1）31不符合费马平方和定理的要求。 （2）20以内符合要求的奇质数是5，它可以写成12＋22的形式。（答案不唯一） 【点睛】此题重点考查对奇质数概念的理解以及运用费马平方和定理进行分析判断的能力，同时要熟练掌握除法运算求余数。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$