预习专题06 双曲线7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题06 双曲线7题型分类 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线(几何表示：|MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0,b>0) －＝1(a>0,b>0) 焦点 (－c,0)，(c,0) (0,－c)，(0,c) a,b,c的关系 c2＝a2＋b2 3．双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0,b>0) －＝1(a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴；对称中心:原点 顶点坐标 A1(－a,0),A2(a,0) A1(0,－a),A2(0,a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1,＋∞)，其中c＝ a,b,c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 4．等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线． (2)渐近线方程是y＝±x． (3)离心率为． 5．弦长公式 (1)斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两． (2) |AB|＝． （一） 1．双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离． (2)根据定义求该点到另一焦点的距离． 2．双曲线标准方程的求解 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 题型1：双曲线的标准方程 1．（24-25高二上·河北衡水·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标设出标准方程代入点解方程组可得结果. 【详解】由，得， 所以焦点在y轴上，且． 设双曲线的方程为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． 故选：D． 2．（24-25高三上·北京东城·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意设双曲线方程为，即可得到，从而求出、，即可得解. 【详解】因为双曲线的一个焦点是，设双曲线方程为， 则双曲线的渐近线为， 所以，解得，所以的方程是. 故选：D 3．（22-23高二上·湖北武汉·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，，由此可得结果． 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，则，即， 则双曲线方程可化为：， 由双曲线过点，得，解得：，， 所以双曲线方程为：． 故选：C 4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 5．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点坐标和离心率，结合题意求出双曲线的a、b，即可求解. 【详解】由题意知，对于椭圆， 焦点为和，离心率为. 设双曲线的标准方程为， 又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为，即， 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 题型2：双曲线定义的应用 6．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 7．（24-25高二上·广东江门·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 【答案】4或12 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】设点到它的左焦点的距离是， 由可知，，即， 则由双曲线定义，解得或， 故答案为：4或12 8．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为 . 【答案】7 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形面积公式，勾股定理列方程，结合离心率的值，即可得解. 【详解】 如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上，设，， 则，，，即， 所以，又，所以，又， ，解得，所以，即. 故答案为：7. 9．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解． 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 10．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A （二） 双曲线的几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 题型3：双曲线的几何性质 12．（24-25高二上·河北石家庄·期末）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】的焦点在轴上，且则， 故焦点为， 故选：B. 13．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设得，进而得直线方程为，再根据直线过定点求法计算即可得解. 【详解】由题意可知椭圆焦点在x轴上，且即， 所以直线即，即， 令，所以直线必过定点. 故选：A. 14．（24-25高二上·河南开封·期中）已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．13 B．21 C．29 D．31 【答案】C 【分析】由双曲线离心率为3可得，根据双曲线与椭圆焦点相同得，求解可得答案. 【详解】由题意，，解得，， 故. 故选：C. 题型4：双曲线的渐近线 15．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知双曲线的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的关系可得，即可由渐近线方程求解. 【详解】由于，故，故双曲线的焦点在轴上， 根据焦距为4，故, 故，解得，则双曲线的渐近线方程为． 故选：C 16．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果. 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆的左焦点为， 所以双曲线的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线为. 故选：D 17．（24-25高二上·广西·期末）已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦距和实轴长求出，进一步求出，根据焦点在y轴的双曲线的渐近线方程直接求解即可. 【详解】由题意知，所以. 因为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 18．（24-25高二上·广西·期末）已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦距、实轴长求出可得答案. 【详解】由题意知，所以. 因为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 19．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别.是上一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理，结合余弦定理和建立关于的方程，即可求解. 【详解】如图： 设，则，因为， 所以，根据双曲线的定义:， 因为，由勾股定理得：， 所以，则. 在中，. 在中，. 因为，所以， 从而， 即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：A 20．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线和直线斜率可得，求得，进而可得实轴长. 【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为， 且直线的斜率， 若直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，解得，即， 所以的实轴长为. 故选：D. （三） 双曲线离心率的求解 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型5：双曲线的离心率 21．（23-24高三上·河北保定·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用双曲线焦点三角形的性质，推出，再由勾股定理求出的关系即可得出离心率. 【详解】如图，延长与交于点， 因为，则，根据对称性可知. 设，则，可得，即， 所以，则， 即，可知， 在中，由勾股定理得，即， 解得. 故选：A. 22．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平面向量数量积和线性运算的坐标表示可得建立方程组，解得，代入双曲线方程可得e的方程，解之即可求解. 【详解】如图，，设， 则, 由，得， 解得，又在双曲线上， 所以，即，整理得， 即，由解得. 故选：C 23．（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】令，由，得，，    由双曲线定义，， 在中，，由余弦定理， 得， 整理得，解得，则，， 在中，由余弦定理， 得，整理得，则. 故选：A 24．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求得由双曲线的定义可得，结合三角形性质可得的周长最小值为，从而可得，进而可得答案. 【详解】由题，渐近线的方程为， 则点到渐近线的距离，    则由题， 由双曲线的定义，所以， 所以的周长为， 当且仅当三点共线时等号成立， 又的周长的最小值为， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率. 故选：C. 25．（24-25高二上·吉林白城·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入双曲线方程，求得点的纵坐标，由，结合和离心率公式可得的范围，再由双曲线的定义，讨论共线时，取得最小值 ，结合离心率公式可得的范围，再由，取交集可求得结果. 【详解】令代入双曲线的方程可得. 由，可得，即为，即有①. 又恒成立，只要求出的最小值即可. 由双曲线的定义，可得，，即 由共线时， 取得最小值，可得， 即有②，由，结合①②可得，e的范围是. 故选：A. 26．（24-25高二上·四川·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系的向量表示可得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算可得，可求得离心率. 【详解】如下图： 由可得，即， 又，可得为的中点，故， 又，故为等边三角形， 设的边长为， 由双曲线定义可知，，， 所以，， 又，故，故， 在中，由余弦定理可得， 即，可得 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量数量积得出垂直关系，再由等边三角形性质以及双曲线定义，结合余弦定理计算可得离心率. 27．（23-24高二上·浙江台州·期中）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，， 可得，即， 所以，则，， 所以，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. （四） 直线与双曲线 (1) 位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)． (2) 弦长公式：设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·． 题型6：直线与双曲线 28．（23-24高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 由，解得或，所以， 则，， 所以. 故选：A 29．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 30．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由点到直线距离公式和充分必要条件可判断. 【详解】由双曲线，可知，且渐近线方程为 若点F到直线l的距离，得，或， 如图，由双曲线性质可知，直线l与双曲线C没有公共点； 反之，若直线l与双曲线C没有公共点，因为直线l过原点， 由图可知，，或， 则， 即点F到直线l的距离大于或等于1， 所以，“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件. 故选：A 31．（23-24高二上·河北保定·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于A，B两点，若的面积是面积的3倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】设到直线AB的距离为，到直线AB的距离为，根据题意得到，列出方程求得，结合，即可求解. 【详解】依题意，双曲线C：的左、右焦点分别为，， 设到直线AB的距离为，到直线AB的距离为， 则，， 因为的面积是面积的3倍，所以， 即，解得或， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以． 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将面积比转化为距离的比，从而得解. 32．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 33．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 34．（23-24高二下·安徽滁州·期末）双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解.， 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 令直线交的延长线交于，直线交于，则， 由平分，且，得， 则，， 显然分别为线段的中点，而是的中点，于是， ，即，， 所以的面积. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得. 35．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D （五） 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 题型7：定点定值定直线问题 36．（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值； （2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证； （3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得. 【详解】（1）依题意，将，代入中， 解得，则； （2）    依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3）    如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决. 37．（24-25高二上·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. (1)若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线; (2)已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围; ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可. （2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；②结合①的结论，直接运算即可. 【详解】（1）证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为，则曲线的方程是，且，即，因为都是常数，且a，b不同时为， 所以曲线是一条直线，且与直线平行 （2）①解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，所以曲线的方程是，即. 与轴的两个交点A，B的坐标分别是，因为直线点，斜率为，所以直线的方程为，代入， 消去并整理得， 设， 则，， 因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且，解得或， 所以的取值范围是. ②证明:由①知或，所以， ， ， 所以为定值. 38．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，再利用点到直线的距离求解b即可； （2）先证明圆心在直线上，再由圆的性质可以求出圆经过另一个定点. 【详解】（1）由于是右顶点，故. 而到渐近线的距离均为， 故由已知有. 所以，解得. 故的方程为. （2）如图所示，记，并设的中点为，设， 由于，假设的斜率不存在， 那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾； 所以的斜率存在，故可设其方程为. 将该直线与联立，得， 即. 所以该方程的两根之和为. 但，故此方程已有一根，从而另一根为. 又. 此时，由，知直线的方程为， 而过且垂直于轴的直线为，故. 这就得到的中点的坐标为. 由于 . 所以圆心在直线上， 设原点关于直线的对称点为, 则有，解得， 所以， 因为，点O在圆上，所以点T也在圆上， 故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过. 【点睛】关键点点睛：第（2）问关键在于知道圆心在直线上，又圆E经过原点，根据圆的性质可知，原点关于直线的对称点一定在圆E上. 39．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 40．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解； （2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 41．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程. （2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得. 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 42．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的几何性质，分别得出c的取值、的长度表达式，根据题意建立等量关系从而求出a，b，c的值，最终得到双曲线的标准方程. （2）根据题意设出点B坐标，以及过B点与双曲线相切的直线方程，可得P，Q纵坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得出两条切线斜率的关系，再表示出直线BF方程，可表示出R点坐标，进而结合中点坐标公式证得是的中点；同样可表示出坐标，进而得到各条线段长度表达式，代入后再结合前面的关系得证. 【详解】（1）如图所示， 由右焦点为得， 因为，所以， 若，则，即，无解； 若，则，即，所以， 故的方程为． （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为， 设为，与联立消去整理得 ， 由， 整理得， 设两条切线，的斜率分别为，，则． ①因为，， 直线的方程为，则， 所以， 故是的中点． ②由题意，，，， 所以，， 由，得， 所以， 得证． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于正确表示出题干所述各点的坐标，利用直线与双曲线相切的关系，结合得出两条切线斜率的关系，再表示出各条线段长度，通过化简最终证得题中结论. 43．（2024高三下·河南·专题练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列等式，然后化简即可得到的方程； （2）分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线的斜率为0时得到，当直线的斜率不为0时，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和得到点在定直线上，又也在直线上，即可证明点在一条定直线上. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以， 化简得，的方程为. （2） 依题意，设， ①当直线的斜率为0时，则， 因为，所以， 所以，从而， 则，即，解得，即. ②当直线的斜率不为0时，设的方程为， 由消去，得， 则且， 因为，所以， 消去，得， 所以， 从而， 又也在直线上. 综上，点在直线上. 【点睛】方法点睛：求解动点在定直线上的方法： （1）先猜后证：现根据特殊情况猜想，然后证明； （2）参数法：用题目中参数表示动点的横纵坐标，然后消参，即可得到直线方程. 44．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 一、单选题 1．（24-25高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率的公式求解即可. 【详解】由题意，故，故. 故选：B 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线的斜率，由点斜式即得的方程. 【详解】 如图，由可知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：， 直线l与之垂直，则直线l的斜率为， 又直线l过点，故直线l的方程为，即. 故选：B. 3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用余弦定理可得，从而得解. 【详解】根据题意，，由， 则，． 由余弦定理可得， ， 所以， 所以． 故选：A 【点睛】 4．（24-25高二上·广东江门·期末）双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的焦点坐标，从而设双曲线的方程为，即，再由渐近线可得，求出，即可求解. 【详解】椭圆方程为：，所以焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线有共同的焦点， 则设双曲线的标准方程为，且①， 因为双曲线的一条渐近线方程是，所以②， 联立①②，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：C. 5．（24-25高二上·甘肃白银·期末）下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程判断焦点位置，并确定渐近线方程，即可判断各项正误. 【详解】由、的焦点都在轴上，A、B不符； 由、的焦点都在轴上，且渐近线分别为、，C符合，D不符. 故选：C 6．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线为（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】B 【分析】将方程转化为方程判断. 【详解】方程即为方程表示： 动点到定点的距离与到定直线的距离的比为5且大于1， 所以其轨迹为双曲线. 故选：B 7．（24-25高三上·浙江·期中）已知双曲线：，过的直线分别交双曲线左右两支为，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，记与轴的交点为，由题意可得，则，再利用点差法结合双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】设，则， 记与轴的交点为， 因为，所以， 所以，即， 因为都在双曲线上， 所以， 两式相减得， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 8．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据双曲线的定义以及椭圆定义可得椭圆方程为，即可求解BC，根据余弦定理可得，即可求解正弦，根据面积公式即可求解D. 【详解】对于A, 双曲线的渐近线为,故A错误， 对于B，由于，则， 根据双曲线的定义可得，故， 设椭圆方程，则，故，又， 故，则椭圆方程为，C错误， 离心率为，B错误， 对于D，, 故， 故的面积为,故D正确， 故选：D 9．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 10．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的焦点以及离心率求得，从而求得双曲线的方程，利用双曲线的定义建立等量关系式，求得原点到直线的距离，进而求得弦长. 【详解】由已知得，则，，由离心率为，可得， 所以，所以双曲线． 设的中点为，根据，得到． 由知直线与双曲线交于两支，不妨设点在左支上，点在右支上，则，所以． 设到的距离为，则，① 又， 所以，② 由①②可得．设圆的圆心到直线的距离为，则，所以直线被圆所截得的弦长为． 故选：B 【点睛】方法点睛： 对于双曲线问题，要熟练掌握双曲线的基本性质，如焦点坐标、离心率、双曲线的定义等，利用这些性质建立方程或等式求解未知量. 在解决直线与双曲线相交以及直线与圆相交的问题时，常常结合向量的垂直关系、勾股定理等知识进行分析和计算. 求直线被圆所截得的弦长，关键是求出圆心到直线的距离，然后利用弦长公式进行计算. 二、多选题 11．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（   ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【答案】AB 【分析】由题意求出，，，即可求得双曲线方程、焦点坐标、渐近线方程即可判断A项、B项；点代入双曲线方程可判断C项；求出直线恒过定点，可判断点在双曲线内，当过该点的直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个焦点即可判断D项. 【详解】由题意知，，解得， 所以双曲线方程为， 所以焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，故A项正确，B项正确； 对于C项，因为，所以点不在双曲线上，故C项错误； 对于D项，由整理得，所以直线恒过点， 又因为，所以点在双曲线内， 所以当时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，故D项错误. 故选：AB. 12．（22-23高二下·江苏盐城·期末）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】由双曲线方程确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误. 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C，双曲线的实轴长为，C对； 对于D，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 13．（23-24高三上·湖南常德·期末）设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的（    ） A．双曲线C的焦距为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线距离为2 D．过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是 【答案】AD 【分析】先证是等腰直角三角形，可得，再将其代入双曲线C的方程求出b的值，由双曲线的几何性质可判断选项A和B；利用点到直线的距离公式可判断选项C；选项D，设过点M的直线方程为，将其与双曲线的方程联立，结合韦达定理，解关于k的不等式组，即可得解． 【详解】由题意知，，半径为4，且A是双曲线的右顶点，即， 因为 所以是等腰直角三角形，且， 所以，将其代入双曲线C：中，有，所以，即, 设双曲线的焦距为2c，则即，所以焦距为，即选项A正确； 双曲线的渐近线方程为，,即选项B错误； 不妨取双曲线C的焦点到渐近线距离，则该距离为，即选项C错误； 选项D，当过点M的直线的斜率不存在时，该直线方程为x＝2，与双曲线有且只有1个交点，不符合题意； 当过点M的直线的斜率存在时，设该直线方程为， 联立，得, 设过点M且与双曲线C的右支的2个交点的横坐标分别为， 则 因为恒成立，所以，解得，所以过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是，即选项D正确． 故选：AD 14．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 【答案】ABD 【分析】运用椭圆与双曲线的定义、离心率、焦点三角形等知识，通过利用椭圆和双曲线的定义以及勾股定理求出相关量，再根据离心率的定义对各选项进行判断. 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.   对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.   对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.   对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD. 15．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（ ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 【答案】BD 【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可. 【详解】由双曲线知，，，     对于A，双曲线的离心率为，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，点到渐近线的距离为，故C错误； 对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确； 故选：BD. 16．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（    ） A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 【答案】BD 【分析】根据渐近线斜率与夹角的关系可判断A错误；根据双曲线定义以及勾股定理计算可判断B正确；由内切圆性质可得所在直线方程为，根据直线的倾斜角范围与渐近线关系可得，即C错误；利用三角形相似以及余弦定理计算可得D正确. 【详解】对于A，若双曲线渐近线的夹角为，则或， 故可得或，即A错误； 对于B，设，则由以及双曲线定义可得， 故，则 又，即可得， 因此，解得， 又，即， 可得，即， 故双曲线的离心率为，即B正确； 对于C，如下图所示： 令的内切圆切分别为， 则， 所以， 令点，而，因此，解得； 又，则点的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，即所在直线方程为； 设直线的倾斜角为，则， 在中，， 在中，， 又，可得渐近线斜率为，且， 因为均在右支上，故，即， 因此，可知C错误； 对于D，由可得, 故，而，可得， 又直线的斜率为，所以， 由余弦定理可得，解得， 即则双曲线的离心率为，可得D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：在求解焦点三角形内切圆问题时，要利用双曲线定义以及切线长性质得出内切圆圆心的横坐标为双曲线的顶点坐标，再利用内心性质可求出半径. 三、填空题 17．（23-24高二上·福建三明·期末）已知双曲线的离心率为e，直线与双曲线交于M，N两点，若，则e的值是 ． 【答案】 【分析】联立与，求出，从而得到，列出方程，求出，得到离心率. 【详解】联立与得， 解得， 当时，， 由勾股定理得， 所以，解得， 所以离心率. 故答案为： 18．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线左右两支各交一点， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 19．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 20．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 依题意，直线的方程为， 由，解得，则点的坐标为， 所以的面积为. 故答案为： 21．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】首先求得，并利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，并结合双曲线的定义表示的周长，即可求解双曲线方程. 【详解】因为双曲线的渐进性方程为， 所以，则双曲线方程为，，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ，， 所以， 因为，， 所以， 因为的周长为108，所以， 得，所以双曲线方程为. 故答案为： 22．（24-25高三上·河北邢台·期末）设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，,利用点差法可得，求得直线的方程，与双曲线联立方程组可得，利用，可求得的取值范围. 【详解】设，.由的中点为，得，. 因为，在双曲线上，则，两式相减得， 所以，故直线的方程为，即， 联立方程,消去得， 显然，此时， 令，可得，所以或，结合，故或， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：有关中点弦的问题，常常采用点差法，求得中点坐标与直线的斜率的有关关系，再根据题意条件求解. 四、解答题 23．（24-25高二上·四川·期末）已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即得双曲线的焦点坐标，再利用双曲线的定义求出，进而，即可解答； （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，当时，直线与渐近线平行，与与双曲线仅有1个交点符合题意，当时，利用判别式法列方程求解，即可解答. 【详解】（1）抛物线C：的焦点坐标为， 设双曲线：， 则的焦点坐标为，， 则，则， 而，故， 故双曲线的方程为. （2）显然直线的斜率存在，否则直线与双曲线无交点； 设直线的方程为， 联立则， 故， 若，解得，此时直线与双曲线仅有1个交点； 若，则，解得. 综上所述，直线的斜率为或. 24．（23-24高二下·甘肃定西·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，直线与双曲线交于两点，求直线与直线的斜率之积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据双曲线标准方程求法，列方程组解决即可； （2）直线与曲线方程联立方程组，根据韦达定理，得，根据两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）依题意知的方程经过点， 可知焦点在轴，且双曲线的实半轴， 故可设双曲线方程为， 因为经过点，代入解得， 故的方程为； （2）    由（1）知曲线，联立直线与曲线方程， 有则，于是， 设点，点，显然直线斜率存在， 则， 所以直线与直线斜率之积为． 25．（24-25高二上·河北保定·期末）已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得； （2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）由点到直线的距离公式可知： 右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的方程为； （2）由（1）可知：右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 当直线的斜率存在时， 设，联立 消去y得：， 所以， 设，则， 所以 ． 则，解得，即，满足； 所以直线的方程为 ，或． 26．（24-25高二上·吉林白城·期末）在双曲线中，分别为双曲线的左，右两个焦点，为双曲线上且在第一象限内的点，的内心为． (1)求内心的横坐标； (2)已知为双曲线的左顶点，直线过右焦点与双曲线交于两点，若的斜率满足，求直线的方程． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用圆的性质结合双曲线的定义求解即可. （2）将目标式用一元函数进行表示，再依据题意求解参数即可. 【详解】（1）依题意，双曲线的焦点， 作出的内切圆，为圆心，切点分别为， 如图，设点的横坐标为，显然轴， 由题意得， 由双曲线定义知 ， 解得，所以内心的横坐标为2． （2）点，显然直线不垂直于轴， 否则由双曲线对称性得， 设直线的斜率为，则直线， 由，消去得， 显然，设， 则 ，解得，即直线， 所以直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理运用给定条件把用单一变量表示，然后利用给定条件得到方程，求解所要求的参数，得到直线方程即可． 27．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1)2 (2)3 (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程可解得，再根据离心率即可求解； （2）设出点坐标，代入双曲线方程，利用点差法及中点坐标公式即可求得直线的斜率； （3）根据直线斜率是否存在进行分类讨论.当直线斜率存在时，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理和平面向量数量积为0即可解得直线方程. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的离心率. （2）根据题意易得直线的斜率存在，设， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3. （3）由题意得双曲线的右焦点为. 若以线段为直径的圆经过坐标原点，则. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 根据对称性不妨设，则，， 所以直线的斜率存在， 则可设直线的方程为. 由，得， ， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以直线的方程为，即或. 【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线与直线的位置关系. 1.双曲线的中点弦问题的求解方法：①点差法：设出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式即可求出直线斜率； ②方程组法：设出直线方程，联立方程组消元，结合韦达定理与中点坐标公式即可求解. 2.对于第（3）小问，设出直线方程，联立方程组消元，利用韦达定理与直线垂直的向量表示即可求解. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题06 双曲线7题型分类 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线(几何表示：|MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0,b>0) －＝1(a>0,b>0) 焦点 (－c,0)，(c,0) (0,－c)，(0,c) a,b,c的关系 c2＝a2＋b2 3．双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0,b>0) －＝1(a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴；对称中心:原点 顶点坐标 A1(－a,0),A2(a,0) A1(0,－a),A2(0,a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1,＋∞)，其中c＝ a,b,c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 4．等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线． (2)渐近线方程是y＝±x． (3)离心率为． 5．弦长公式 (1)斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两． (2) |AB|＝． （一） 1．双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离． (2)根据定义求该点到另一焦点的距离． 2．双曲线标准方程的求解 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 题型1：双曲线的标准方程 1．（24-25高二上·河北衡水·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京东城·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·湖北武汉·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型2：双曲线定义的应用 6．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东江门·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 8．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为 . 9．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 10．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二） 双曲线的几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 题型3：双曲线的几何性质 12．（24-25高二上·河北石家庄·期末）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·河南开封·期中）已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．13 B．21 C．29 D．31 题型4：双曲线的渐近线 15．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知双曲线的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·广西·期末）已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·广西·期末）已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别.是上一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． （三） 双曲线离心率的求解 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型5：双曲线的离心率 21．（23-24高三上·河北保定·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2    24．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·吉林白城·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·四川·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（   ） A． B． C．3 D． 27．（23-24高二上·浙江台州·期中）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． （四） 直线与双曲线 (1) 位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)． (2) 弦长公式：设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·． 题型6：直线与双曲线 28．（23-24高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 29．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 30．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 31．（23-24高二上·河北保定·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于A，B两点，若的面积是面积的3倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 32．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二下·安徽滁州·期末）双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C．10 D． 35．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． （五） 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 题型7：定点定值定直线问题 36．（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 37．（24-25高二上·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. (1)若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线; (2)已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围; ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 38．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 39．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 40．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 41．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 42．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 43．（2024高三下·河南·专题练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上. 44．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高二上·广东江门·期末）双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·甘肃白银·期末）下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线为（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 7．（24-25高三上·浙江·期中）已知双曲线：，过的直线分别交双曲线左右两支为，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 9．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 10．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（   ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 12．（22-23高二下·江苏盐城·期末）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 13．（23-24高三上·湖南常德·期末）设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的（    ） A．双曲线C的焦距为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线距离为2 D．过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是 14．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 15．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（ ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 16．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（    ） A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 三、填空题 17．（23-24高二上·福建三明·期末）已知双曲线的离心率为e，直线与双曲线交于M，N两点，若，则e的值是 ． 18．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 19．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 20．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    21．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ． 22．（24-25高三上·河北邢台·期末）设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为 . 四、解答题 23．（24-25高二上·四川·期末）已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率. 24．（23-24高二下·甘肃定西·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，直线与双曲线交于两点，求直线与直线的斜率之积． 25．（24-25高二上·河北保定·期末）已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 26．（24-25高二上·吉林白城·期末）在双曲线中，分别为双曲线的左，右两个焦点，为双曲线上且在第一象限内的点，的内心为． (1)求内心的横坐标； (2)已知为双曲线的左顶点，直线过右焦点与双曲线交于两点，若的斜率满足，求直线的方程． 27．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$