7.2离散型随机变量及其分布列7题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.2离散型随机变量及其分布列7题型分类 一、随机变量 1．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 三、随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 四、离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． 2．可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 五、离散型随机变量的分布列的性质 1．pi≥0，i＝1，2，…，n； 2．p1＋p2＋…＋pn＝1. 六、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． （一） 随机变量的概念 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值． 题型1：随机变量的判断 1．（2024高三·全国月考）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 2．（2024高二·江苏月考）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 （二） 离散型随机变量的判断 1.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2.判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 题型2：离散型随机变量的判断 3．（2024高二·全国月考）在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 4．（2024高二·江苏月考）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 （三） 离散型随机变量的取值 离散型随机变量的取值：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn ．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点： (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 题型3：离散型随机变量的取值 5．（2024高二·辽宁沈阳·期末）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（    ） A．2枚都是4点 B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点 D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 （四） 求离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列： 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 题型4：求离散型随机变量的分布列 6．（2024高三·全国月考）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． (1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 7．（2024高二·山东德州月考）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 8．（2024高三·全国月考）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示. 学生数(人) x 25 y 10 打饭时间(秒/人) 10 15 20 25 已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒． (1)确定x，y的值； (2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率) 9．（辽宁省沈阳市辽中区第一私立高级中学2023-2024学年高二学期12月月考数学试题）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列 10．（2024高二·辽宁沈阳月考）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 11．（2024高二·贵州月考）甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球. (1)求“三球中至少有一个为白球”的概率； (2)设表示所取白球的个数，求的分布列. （五） 分布列的性质及其应用 离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量的分布列的性质的应用： (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立． 题型5：分布列的性质及其应用 12．（2024高二·吉林长春·期中）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二·山东·期中）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示. 4 5 6 7 8 9 10 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23 则（    ） A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90 15．（2024高二·全国月考）随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 17．（2024高二·贵州遵义·期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型6：两个相关离散型随机变量的分布列 19．（2024高二·江苏月考）设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 0.15 0.15 0.15 0.25 m 若随机变量，则等于（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 20．（2024高三·全国月考）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 21．（2024高二·全国月考）已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 22．（2024高二·全国月考）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ． （六） 两点分布 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它 题型7：两点分布 23．（2024高二·山西运城·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024高二·河南洛阳月考）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ． 25．（2024高二·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 26．（2024高三·全国月考）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 27．（2024高二·全国月考）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ． 一、单选题 1．（2024高二·浙江月考）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．（2024高二·山东济南·期末）已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·吉林长春月考）随机变量X的分布列如下表，则等于（    ） X 0 1 P a c A． B． C． D． 4．（2024高二·山西·期中）下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯泡的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 5．（2024高二·全国月考）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的试验结果是（    ） A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点 6．（2024高二·安徽宿州月考）若随机变量的分布列如表，则的值为（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 7．（2024高二·福建福州·期中）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 8．（2024高二·新疆·期中）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二·山东德州月考）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 10．（2024高二·山东济南·期中）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024高二·河南周口·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 12．（2024高二·全国月考）已知随机变量ξ的分布列为： ξ －2 －1 0 1 2 3 P 若，则实数的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 三、填空题 13．（2024高二·全国月考）已知服从两点分布，且，则 ． 14．（2024高二·江苏月考）若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则 . 15．（2024高二·江苏月考）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20 则等于 . 四、解答题 16．（2024高二·江西赣州·期中）2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占. (1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率； (2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列. 17．（2024·四川成都·模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 18．（2024高二·全国·课堂例题）设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 19．（2024高二·辽宁沈阳月考）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 20．（2024高二·全国·课堂例题）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若，求的值． 21．（2024高二·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.2离散型随机变量及其分布列7题型分类 一、随机变量 1．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 三、随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 四、离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． 2．可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 五、离散型随机变量的分布列的性质 1．pi≥0，i＝1，2，…，n； 2．p1＋p2＋…＋pn＝1. 六、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． （一） 随机变量的概念 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值． 题型1：随机变量的判断 1．（2024高三·全国月考）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 【答案】B 【分析】根据随机变量的定义判断. 【解析】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误； 选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确； 选项C是一个事件而非随机变量，故C错误； 选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误． 故选：B. 2．（2024高二·江苏月考）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 【答案】D 【分析】根据随机变量的定义，结合试验结果，逐项判定，即可求解. 【解析】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量． B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量． C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量， D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量． 故选：D. （二） 离散型随机变量的判断 1.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2.判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 题型2：离散型随机变量的判断 3．（2024高二·全国月考）在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案. 【解析】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量. 故选：C 4．（2024高二·江苏月考）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可. 【解析】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误； 对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； 对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确； 对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误. 故选：C. （三） 离散型随机变量的取值 离散型随机变量的取值：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn ．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点： (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 题型3：离散型随机变量的取值 5．（2024高二·辽宁沈阳·期末）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（    ） A．2枚都是4点 B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点 D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 【答案】D 【分析】由随机变量的意义可解. 【解析】A表示的是随机试验中的其中一个结果， B，C中表示的是随机试验中的部分结果， 而D是代表随机试验中的所有试验结果. 故选：D. （四） 求离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列： 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 题型4：求离散型随机变量的分布列 6．（2024高三·全国月考）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． (1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果. （2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列. 【解析】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：. 数学老师多于语文老师的选法有： ①1名数学，2名英语的选法：种； ②2名数学的选法有：种. 所以数学老师多于语文老师的选法有：种. 故数学老师多于语文老师的概率为：. （2）由题意，的可能取值为：0，1，2. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 0.2 0.6 0.2 7．（2024高二·山东德州月考）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1)0.28 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据概率的乘法公式，通过计算列出分布列即可. 【解析】（1）部件1，2都不需要调整的概率为， 则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28； （2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， ， ， 0 1 2 3 8．（2024高三·全国月考）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示. 学生数(人) x 25 y 10 打饭时间(秒/人) 10 15 20 25 已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒． (1)确定x，y的值； (2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率) 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据百分位数的概念结合条件可得，从而即可得解. （2）由题可知X的可能取值为0，1，2，然后根据独立事件及互斥事件概率公式求概率，进而可得分布列. 【解析】（1）因为第65百分位数为17.5＝，所以， 所以. （2）由已知得打饭时间为10秒的概率为，打饭时间为15秒的概率为， 打饭时间为20秒的概率为，打饭时间为25秒的概率为， 由题可知X的可能取值为0，1，2， ∴，，， ∴分布列如下： X 0 1 2 P 0.1 0.74 0.16 9．（辽宁省沈阳市辽中区第一私立高级中学2023-2024学年高二学期12月月考数学试题）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中说明前两次没有投中，第三次投中，由此根据独立事件的乘法公式求出概率； （2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，根据独立重复事件的概率公式得出各概率即可得出分布列. 【解析】（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件， 事件说明小明前两次没有投中，第三次投中， ， 小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为. （2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8， ， ， ， ， ， 则总得分的分布列为： 0 2 4 6 8 10．（2024高二·辽宁沈阳月考）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）甲得分的可能取值为0，2；乙得分的可能取值为0，2，5，分别计算概率，列出分布列. 【解析】（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种： ①只选一个选项得2分的概率为：; ②选两个选项，得5分的概率为：; 所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0分的概率为：; （2）结合题意：设学生甲得分为,则的可能取值为， ; ; 学生甲得分的分布列为: 0 2 设学生乙得分为,则的可能取值为， ; ; ; 学生乙得分的分布列为: 0 2   5 11．（2024高二·贵州月考）甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球. (1)求“三球中至少有一个为白球”的概率； (2)设表示所取白球的个数，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3.分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变量的分布列. 【解析】（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件， 则；；. ； （2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 （五） 分布列的性质及其应用 离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量的分布列的性质的应用： (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立． 题型5：分布列的性质及其应用 12．（2024高二·吉林长春·期中）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【解析】由题意，． 故选：A． 13．（2024高二·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【解析】由，得， 所以. 故选：D 14．（2024高二·山东·期中）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示. 4 5 6 7 8 9 10 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23 则（    ） A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90 【答案】C 【分析】由分布列中所有概率和为1，计算得a，再计算即可求解. 【解析】由题意，解得. ∴＝ ． 故选：C 15．（2024高二·全国月考）随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求. 【解析】，且， 解得， . 故选：D. 16．（2024高二·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 【答案】0.7/ 【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【解析】由分布列的性质可得，，可得， 所以． 故答案为：0.7 17．（2024高二·贵州遵义·期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解． 【解析】令表示前k个球为白球，第个球为红球， 此时， 则． 故选：A． 18．（2024高二·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【解析】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 题型6：两个相关离散型随机变量的分布列 19．（2024高二·江苏月考）设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 0.15 0.15 0.15 0.25 m 若随机变量，则等于（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】由概率和为1求出可得答案. 【解析】由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3， 所以. 故选：A. 20．（2024高三·全国月考）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据分布列的性质可得，结合X与之间的关系分析求解； （2）根据题意结合X与之间的关系分析求解. 【解析】（1）由分布列的性质知：，解得， 列表为 X 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 即随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得， ， ， 故的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）列表得 X 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 即随机变量的可能取值为0，1，4，9，16. 从而的分布列为 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 21．（2024高二·全国月考）已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）先根据及的所有可能取值得的所有可能取值，再根据的取值的概率求出的取值的概率，从而可得的分布列； （2）根据的分布列可求出结果. 【解析】（1）由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9， 则， 或， 或 ． 可得随机变量的分布列如表所示． 0 1 4 9 （2）因为，， 又因为，所以. ∴实数的取值范围是． 22．（2024高二·全国月考）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ． 【答案】{3，5，7，9，11} 【分析】根据离散型随机变量的取值代入，即可求解. 【解析】因为的取值范围是{1，2，3，4，5}， 且， 所以的取值范围是{3，5，7，9，11}． 故答案为：{3，5，7，9，11} （六） 两点分布 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它 题型7：两点分布 23．（2024高二·山西运城·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果. 【解析】因为的分布列服从两点分布，所以， 又，所以， 所以，所以. 故选：A. 24．（2024高二·河南洛阳月考）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ． 【答案】/0.6 【分析】根据随机变量X服从两点分布，得到，再结合条件求解. 【解析】解：由随机变量X服从两点分布，得， 又因为， 所以． 故答案为： 25．（2024高二·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 【答案】分布列见解析 【分析】根据古典概型的概率公式求出，，从而得到的分布列. 【解析】由题意知，， 故随机变量的概率分布列如下表所示： 0 1 26．（2024高三·全国月考）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】先列出变量X的分布列，从而得出答案. 【解析】解：根据题意得，“”表示试验失败， “”表示试验成功，成功率为p，失败率为5p， 故X的分布列为： X 0 1 P 5p p 所以，得， 所以失败率为，即． 故选：C. 27．（2024高二·全国月考）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ． 【答案】 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解 【解析】由题意得，当时，即， 所以 故答案为： 一、单选题 1．（2024高二·浙江月考）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【分析】先由各个概率和为1可求出，再由可求得结果. 【解析】因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（2024高二·山东济南·期末）已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解. 【解析】，所以； 故 故选：B 3．（2024高二·吉林长春月考）随机变量X的分布列如下表，则等于（    ） X 0 1 P a c A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和为1，即可求解，进而可求. 【解析】由分布列可知，故， 故选：C 4．（2024高二·山西·期中）下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯泡的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 【答案】B 【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可. 【解析】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意； 对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意； 对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意； 对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B. 5．（2024高二·全国月考）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的试验结果是（    ） A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点 【答案】A 【分析】利用离散型随机变量的定义直接解决即可. 【解析】由题意知表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差， 当第一枚6点，第二枚1点时，，满足题意，所以选项A正确； 当第一枚5点，第二枚1点时，，不满足，所以选项B错误； 当第一枚2点，第二枚6点时，，不满足，所以选项C错误； 当第一枚5点，第二枚1点时，，不满足，所以选项D错误. 故选：A 6．（2024高二·安徽宿州月考）若随机变量的分布列如表，则的值为（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【解析】 根据题意可得， 所以. 故选：A. 7．（2024高二·福建福州·期中）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得的值，又由，计算可得答案. 【解析】根据题意，随机变量的分布列为， 由分布列的性质，则有，解得， 故. . 故选：C. 8．（2024高二·新疆·期中）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【解析】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C 9．（2024高二·山东德州月考）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：. 【解析】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 故选：A 10．（2024高二·山东济南·期中）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可． 【解析】解：由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意， ． 故选：B． 二、多选题 11．（2024高二·河南周口·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 12．（2024高二·全国月考）已知随机变量ξ的分布列为： ξ －2 －1 0 1 2 3 P 若，则实数的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】ABC 【分析】根据随机变量ξ的分布列，求出随机变量的分布列，再找出满足的即可. 【解析】由随机变量的分布列，知： 的可能取值为， 且， ， ， ， 则，. 若，则实数的取值范围是. 故选：ABC. 三、填空题 13．（2024高二·全国月考）已知服从两点分布，且，则 ． 【答案】0.7 【分析】利用两点分布的性质解答. 【解析】解：因为服从两点分布，所以． 故答案为：0.7 14．（2024高二·江苏月考）若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则 . 【答案】/0.5 【分析】求出变量等于和时的概率，结合互斥事件的概率公式可得结果. 【解析】由题意知，， 所以. 故答案为：. 15．（2024高二·江苏月考）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20 则等于 . 【答案】/ 【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1利用对立事件来求的概率. 【解析】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1， 则. 故答案为: . 四、解答题 16．（2024高二·江西赣州·期中）2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占. (1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率； (2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率. （2）由题意可能值为，分别求出对应值的概率，即可得分布列. 【解析】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率. （2）由题设，可能值为，则，， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 17．（2024·四川成都·模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案. （2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列. 【解析】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为， 所以，则． （2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 18．（2024高二·全国·课堂例题）设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 【答案】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得c，再利用求解. 【解析】解  由离散型随机变量分布列的性质可知 ， 所以． 解得． 所以， ． 19．（2024高二·辽宁沈阳月考）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）甲得分的可能取值为0，2；乙得分的可能取值为0，2，5，分别计算概率，列出分布列. 【解析】（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种： ①只选一个选项得2分的概率为：; ②选两个选项，得5分的概率为：; 所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0分的概率为：; （2）结合题意：设学生甲得分为,则的可能取值为， ; ; 学生甲得分的分布列为: 0 2 设学生乙得分为,则的可能取值为， ; ; ; 学生乙得分的分布列为: 0 2   5 20．（2024高二·全国·课堂例题）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若，求的值． 【答案】(1)4300 (2) (3)0.4 【分析】（1）根据底薪1000元，每工作1小时获取30元求解； （2）根据底薪1000元，每工作1小时获取30元求解； （3）由（2）得到求解. 【解析】（1）当时，表示工作了110个小时， 所以． （2）由题意得：． （3）因为， 所以， 从而. 21．（2024高二·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果； （2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列. 【解析】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立， 记小李第一次抽中但奖金归零为事件， 则； （2）由题意可知的可能取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$