第6讲 抛物线标准方程及几何性质 复习讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第一册

第6讲 抛物线标准方程及几何性质（复习) 知识点1：抛物线的定义 抛物线 知识点2：抛物线的方程、图形与性质 知识点3：抛物线中几个常用结论 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线(FE)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦 点，定直线1叫做抛物线的准线. 注：若在定义中有F∈I,则动点的轨迹为1的垂线，垂足为点F, 知识点2：抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),其中一次项与 对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 第1页共9页 图形 标准方程 y2=2p.x(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p(p>0)的几何意义 p为焦点F到准线1的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大. 顶点 0(0,0) 范围 x20,y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 焦点 30 F号0 F0,3 F0,-3 离心率 e=1 准线方程 xs、 2 x=号 2 焦半径A(x) AF=+号 AF=+号 =X+号 F=%+号 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为 通径 抛物线的“通径”，即AB=2p. 知识点3：抛物线中的几个常用结论 1、点P(x,yo)与抛物线y2=2px(p>0)的关系 (1)P在抛物线内（含焦点)台y<2Px·(2)P在抛物线上台y=2px。· (3)P在抛物线外 台y>2px· 2、焦点弦的常考性质 已知A(x,)、B(x2y2)是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，1是抛物线的准线， MN⊥1，N为垂足. 第2页共9页 (1)以AB为直径的圆必与准线I相切，以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切； (2)FN⊥AB,FC⊥FD (3)xx2= 4；2=-p2 (4)设BD⊥1，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上 (5)1AB1=x+x+p=2?.(a为直线4B与对称轴的夹角. sin2a (6)△A0B的面积公式：SA4OB= (a为直线AB与对称轴的夹角). 2sina (7)AF=1-cosa BF=1+c0sa 03 考点突破 考点一抛物线的定义与方程 【例1】已知动点M(x,y)的坐标满足方程5V2+y2=3x+4y-12,则动点M的轨迹是() A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 【变式1-1】已知点P(6,在焦点为F的抛物线C:=2pr(p>0)上，若PF-5.则抛物线C的方程 为() A.y2=6x B.y2=12x c.y2=18x D.y2=24x 第3页共9页 【变式1-2】已知点A(a,2)为抛物线x2=2py(p>0)上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则 p=() 1 A.2 B.1 C.2 D.4 【变式1-3】已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为1，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于 点M(M在第一象限)，MN⊥1，垂足为N,直线NF交x轴于点D,若1MD=23,则抛物线的方程是 () A.x2=y B.x2=2y C.x2=4y D.x2=8y 考点二抛物线的性质 【例2】抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，点P为抛物线上一点，PA⊥1，垂足为A,若直线AF的斜 率为-√5，则PF等于() A.8 B.45 C.4 D.2√5 【变式2-1】已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过F点倾斜角为30°的直线1与C交于A,B两点(A在B 的右侧)，则 A.9 B. 7 C.7+43 D.3 【变式2-2】（多选题）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜 第4页共9页 角为严的直线1与C相交于A,B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是2√2，则() 1 A.p=2 B.AB=9 D.AF=2+√2 考点三抛物线的最值问题 【例3】已知点A(4,4)在抛物线y2=4x上，F是抛物线的焦点，点P为直线x=-1上的动点，我们可以通 过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则PA+PF的最小值为() A.8 B.2√13 C.2+√41 D.V65 【变式3-1】抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周 长的最小值为() A.4 B.5 C.4+2W2 D.5+5√5 【变式3-2】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1，且1过点(-3,2)，M在抛物线C上，若 点N(2,4),则|MF1+|MW的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 考点三直线与抛物线的关系综合问题 第5页共9页 【例4】己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,y)为抛物线上一点，且|AF=4. (1)求抛物线的程： (2)不过原点的直线：y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若OP⊥O2,求m的值. 第6页共9页 【变式4】已知抛物线)=-2p(p>0)的焦点为F,x轴上方的点M(-2m)在抛物线上，且MF= 直线I与抛物线交于A,B两点（点A,B与M不重合），设直线MA,MB的斜率分别为k,飞. (1)求抛物线的方程； (2)当k,+k2=-2时，求证：直线I恒过定点并求出该定点的坐标 第7页共9页 04课后巩固 1.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线1交抛物线于点A,B,交其准线于点C, 若BC=4BF,且AF=6,则P为() 4,9 B. 9 4 C.C D.18 2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且AF=2FB,抛物线的准线1与 x轴交于C,△ACF的面积为8√2，则AB=() A.C B.C C.9√2 D.6√2 第8页共9页 3已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线1,2，直线1与C交于A、B两点，直 线12与C交于D、E两点，则AB+DE的最小值为() A.16 B.14 C.12 D.10 4.（多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一点，则下列结论正确的有() A.焦点F到抛物线准线的距离为2 B.若PF=2,则点P的坐标为1,2 C.过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2 D.若点M的坐标为1,4)，则PM+PF的最小值为4 5己知点F是抛物线E:y2=2Px(p>O)的焦点，O为坐标原点，A,B是抛物线E上的两点，满足 FA+FB =10,FA+FB+FO=0,P=. 6.已知抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点为F,点F到直线x-y+1=0的距离为√2 (1)求抛物线C的方程； (2)点O为坐标原点，直线I、Z经过点M(-1,0),斜率为k的直线1与抛物线C交于A、B两点，斜率 为的直线马与抛物线C交于D、E两点，记A=MW卧MDME,者华，=求元的最小值 第9页共9页 第6讲 抛物线标准方程及几何性质（复习） 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点2：抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准方程 的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 通径 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即． 知识点3：抛物线中的几个常用结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 （5）．（为直线与对称轴的夹角）． （6）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （7）． 03 考点突破 考点一 抛物线的定义与方程 【例1】已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】C 【解析】等式变形成， 因此该等式表示动点到原点的距离等于到它直线的距离， 而直线不过原点，所以动点M的轨迹是抛物线.故选：C 【变式1-1】已知点在焦点为的抛物线上，若，则抛物线C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】由抛物线的定义列方程可得.【详解】抛物线，准线，,由抛物线的定义可知，解得.故选：A. 【变式1-2】已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意,根据抛物线的性质,抛物线,则抛物线焦点为，若为 抛物线上一点,有,可得,解得. 【详解】因为抛物线为,则其焦点在轴正半轴 上,焦点坐标为, 由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3, 所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得,故选：C. 【变式1-3】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过点作，垂足为. 由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以， 所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C 考点二 抛物线的性质 【例2】抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线AF的斜率为，则等于（ ） A．8 B． C．4 D． 【答案】 【详解】解：抛物线方程为，焦点，准线方程为，直线的斜率为，直线的方程为，当时，，可得点坐标为，为垂足，点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，．故选：． 【变式2-1】已知抛物线的焦点为F，过F点倾斜角为的直线l与C交于A，B两点（A在B的右侧），则（ ） A．9 B． C． D．3 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，故直线方程为：，设,，由题知联立，得，解得：利用抛物线定义知故选：D 【变式2-2】（多选题）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意得，设直线：即，则点到直线的距离是，所以，得，所以，，，所以AC正确，故选：AC. 考点三 抛物线的最值问题 【例3】已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（ ） A．8 B． C． D． 【答案】D. 【详解】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，点在抛物线上，点为直线上的动点，设关于直线的对称点，作图如下， 利用对称性质知：，则即点在位置时，的值最小，等于，利用两点之间距离知，则的最小值为故选：D. 【变式3-1】抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为（ ）. A．4 B．5 C． D． 【答案】：C. 【详解】如图所示：设点在准线上的射影为，由抛物线的定义，得，因此，的最小值，即的最小值，由平面几何知识，可得当，，三点共线时最小，因此最小值为，，周长的最小值为，故选：C. 【变式3-2】已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】：D. 由题可得，准线的方程为.由抛物线的定义可知，，.故选:D. 考点三 直线与抛物线的关系综合问题 【例4】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值． 【详解】解：（1）已知抛物线过点，且则， ∴，故抛物线的方程为； （2）设，，联立，得，，得， ，，又，则，， 或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为-8． 【变式4】已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标. 解析：（1）由抛物线的定义可以，,抛物线的方程为. （2）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. 当直线斜率存在时，设直线的方程为设，将直线与抛物线联立得： 又，即， ，，将①代入得， 即得或 当时，直线为，此时直线恒过; 当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点. 04 课后巩固 1.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点， 若，且，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.由，得：， 由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为， 由抛物线焦半径公式可得：，解得：， ，解得：，本题正确选项为B. 2.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】设点、，并设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线方程联立，消去得， 由韦达定理得，，，，，，，，可得，，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，，故选B。 3.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 4.（多选题）已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（    ） A．焦点F到抛物线准线的距离为2 B．若，则点P的坐标为 C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2 D．若点M的坐标为，则的最小值为4 【答案】AD【解析】由抛物线的解析式知，所以抛物线的焦点，准线方程为，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故选项A正确；设抛物线上点，则，解得，故，则点P的坐标有两个，故选项B错误；过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为，故选项C错误；由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时，取得最小值，即，故选项D正确，故选；AD． 5.已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，则______． 【答案】4【解析】设，而，则，① ，，，由，得， 所以，②联立①②得：.故答案为：4 6.已知抛物线的焦点为，点到直线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）点为坐标原点，直线、经过点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，记，若，求的最小值. 答案：（1）；（2）的最小值为. 【分析】（1）利用抛物线的焦点到直线的距离为可求得正实数的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求得，同理可求得，由此可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为，点到直线的距离为，因为，所以.所以抛物线的方程为；（2）设点、，联立方程，消去后整理为，由题意得，所以或， 所以，又，，所以，. 同理，. 所以. （当且仅当或取等号）.所以的最小值为. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $