专题09 函数与方程（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题 09 函数与方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：二分法法 题型二：分参型：水平线法 题型三：二次函数切线型零点 题型四：二次函数根本的分布型 题型五：函数性质求零点：中心对称型 题型六：函数性质求零点：轴对称型 题型七：函数性质求零点：周期型 题型八：复合一元二次型求零点 题型九：内外嵌套型求零点 题型十：局部周期型求零点 题型十一：分段含参讨论型：参数在分界处 题型十二：分段含参讨论型：参数在解析式处 题型十三：零点综合型 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 二分法 ⭐技巧积累与运用 二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： ①确定零点的初始区间，验证． ②求区间的中点c． ③计算，并进一步确定零点所在的区间： a．若（此时），则c就是函数的零点． b．若（此时），则令b． c．若（此时，则令a． ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④． 1．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 题型02 分参型：水平线法 ⭐技巧积累与运用 分离参数水平线法求零点 1.分离参数。 2.构造函数于水平线。 3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线” 1．已知函数，若函数的图象与函数的图象有2个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 二次函数切线型零点 ⭐技巧积累与运用 一元二次函数的切线，可以通过设一次函数切线方程，待定系数，联立方程判别式为零 1．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04二次函数根的分布型 ⭐技巧积累与运用 根的分布 （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负 如果是“0”分布，可以用韦达定理 1．若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D． 3．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 函数性质求零点：中心对称型 ⭐技巧积累与运用 利用函数的中心对称点在x轴上性质，可以知道零点关于中心对称点左右对称。 要注意对称中心点是否也是函数的零点 对称中心的基础性质： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 1．已知函数，，则方程的所有实数解的和是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 2．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 题型06函数性质求零点：轴对称 ⭐技巧积累与运用 利用函数的对称轴垂直于x轴的性质，可以知道零点关于对称轴左右对称。 要注意对称对称轴与x轴交点是否也是函数的零点 对称轴的基础性质： ①f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称； ②f(2a－x)＝f(x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称 1．已知函数，下列为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上偶函数满足，且当时，.若在区间上，函数恰有五个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 函数性质求零点：周期型 ⭐技巧积累与运用 周期的概念在第五章三角函数中才有详细的学习，但是可以在函数的学习过程中提前引入，并借助周期来解决一些函数图像画草图的应用。 常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 1．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型08 复合一元二次型求零点 ⭐技巧积累与运用 一元二次复合型函数求零点： 1.设t=f（x，换元。） 2.关于t的一元二次函数可以利用数形结合与根的分布解决。 1．已知函数则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 内外嵌套型求零点 ⭐技巧积累与运用 内外复合函数求零点，一般情况下采取换元形式解决 。 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 1．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 题型10 局部周期型求零点 1．已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 2．已知函数，关于轴对称，且当时，，则方程解的个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 题型11 分段含参讨论型：参数在分界处 ⭐技巧积累与运用 含参讨论型，寻找参数讨论的“临界点”： 1. 临界点可以从分段函数两函数交点处讨论。 2. 临界点可以从每一段函数的单调增减改变点处 3. 零界点可以从两端函数的最值处极值处讨论 1．已知函数，若恰好有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 3．设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型12 分段含参讨论型：参数在解析式处 ⭐技巧积累与运用 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题． 1．设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若恰有3个零点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数恰有3个零点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型13 零点综合型 1．已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，下列命题中错误的是（    ） A．，使得是偶函数 B．，都不是R上的单调函数 C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则 3．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．17 40题能力培优 1．已知是函数的零点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知方程有两个不同的实数根，则有（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若存在不相等的实数，，，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．函数的零点的个数为2 B．函数在上单调递增 C．函数无最值 D．实数的取值范围为 6．已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有4个零点 B．对于实数，不等式恒成立 C．关于的方程有个不同的解 D．当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 8．函数 的零点的个数为 9．已知符号表示不超过的最大整数，函数，若方程有且仅有3个根，则的取值范围是 . 10．设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是 ． 高考真题 1．（湖北高考）关于x的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（    ）． ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2020天津高考）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023天津高考）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 4．（2022天津高考）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 5．（2015湖南高考）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 09 函数与方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：二分法法 题型二：分参型：水平线法 题型三：二次函数切线型零点 题型四：二次函数根本的分布型 题型五：函数性质求零点：中心对称型 题型六：函数性质求零点：轴对称型 题型七：函数性质求零点：周期型 题型八：复合一元二次型求零点 题型九：内外嵌套型求零点 题型十：局部周期型求零点 题型十一：分段含参讨论型：参数在分界处 题型十二：分段含参讨论型：参数在解析式处 题型十三：零点综合型 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 二分法 ⭐技巧积累与运用 二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： ①确定零点的初始区间，验证． ②求区间的中点c． ③计算，并进一步确定零点所在的区间： a．若（此时），则c就是函数的零点． b．若（此时），则令b． c．若（此时，则令a． ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④． 1．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二分法的定义可得，解得即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的， 则由题可得，即，， 则至少等分的次数为7. 故选：C. 2．用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的步骤，即可得出结果. 【详解】二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算， 根据二分法的步骤知当区间长度小于精确度时，便可结束计算. 所以当时，便可结束计算. 故选：B. 3．下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点； 对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解， 故选：C 题型02 分参型：水平线法 ⭐技巧积累与运用 分离参数水平线法求零点 1.分离参数。 2.构造函数于水平线。 3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线” 1．已知函数，若函数的图象与函数的图象有2个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出，的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作，的的图象如下， 由图可知函数，的图象有2个交点， 则或，即实数的取值范围为. 故选：C． 2．已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数，， 故. 故选：D. 3．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论． 【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 题型03 二次函数切线型零点 ⭐技巧积累与运用 一元二次函数的切线，可以通过设一次函数切线方程，待定系数，联立方程判别式为零 1．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为函数的图象与直线有三个交点，作出函数图象和直线，求出图象中直线在位置时值，由图象得参数范围． 【详解】恰有三个零点，则有三个不同的实解， 即函数的图象与直线有三个交点， 如图，作出函数的图象，作直线， 平移直线到的位置，它与相切，此时，由，，（舍去）， 又时，，即切点为，　由得， 平移直线到的位置，它与（）相切，此时，由得，，即切点为，由得， 平移直线到的位置，它过原点，，， 由图象可知当或时的图象与直线有三个不同的交点． 故选：A 2．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据所给函数，画出函数图象，根据及恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围． 【详解】由题意，画出函数的图象如下图所示： 恰有三个零点，即有三个不同交点， 即有三个不同交点， 由图象可知，当直线斜率在之间时，有三个交点， 即 所以， 可得. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题． 3．已知函数，，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，建立直线斜率的关系，利用数形结合进行求解即可． 【详解】 由得， 若函数恰有三个不同的零点， 则等价为与有三个不同的交点， ， 当，两个函数只有一个交点，不满足条件． ， 要使与有三个不同的交点， 则等价为当时，与，有一个交点，此时， 当时，与有两个交点， 则当与相切时，． 即， 则判别式得或， 则（舍或， 当时，（），即， 当过点时，直线与有两个交点， 此时， 得得， 要使当时，与有两个交点，则满足， 又，， 即实数的取值范围是，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，结合直线和抛物线的相切条件利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 题型04二次函数根的分布型 ⭐技巧积累与运用 根的分布 （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负 如果是“0”分布，可以用韦达定理 1．若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据二次函数的两个零点都大于列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】设， 由题意得：， 解之得实数的取值范围为：. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于中档题. 2．要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可得，二次函数的图象与轴的两个交点在的两边，则，由此求解关于的不等式得答案． 【详解】解：方程对应的二次函数为， 其图象是开口向上的抛物线，要使方程的一根比1大且另一根比1小， 则抛物线与轴的两个交点在的两边， ，即， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，考查数学转化思想方法，灵活运用“三个二次”的结合是关键，属于基础题． 3．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题. 题型05 函数性质求零点：中心对称型 ⭐技巧积累与运用 利用函数的中心对称点在x轴上性质，可以知道零点关于中心对称点左右对称。 要注意对称中心点是否也是函数的零点 对称中心的基础性质： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 1．已知函数，，则方程的所有实数解的和是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】令，得的图象关于点对称，利用导数知在上有且只有一个零点，则在上有且只有一个零点，故. 【详解】令，其定义域为， 令，显然是奇函数， 则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称. 先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况， 因为，，， 所以，所以在上单调递减， 又时，，， 所以在上有且只有一个零点， 又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点， 且，即方程的所有实数解的和是2. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，得的图象关于点对称，利用对称性求零点和. 2．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意推出关于对称，且周期为4，作出图象，将函数的零点问题转化为函数和的图象交点问题，利用数形结合即可求解． 【详解】由可得关于对称， 由函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以的周期为4． 函数的零点问题，即方程的解的问题， 即函数和的图象交点问题． 根据的性质可得如图所示图象，结合的图象， 由图象可得共有3个交点，故函数共有3个零点， 故选：B． 3．已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数、的图象都关于点对称，结合对称性可得出结果. 【详解】因为函数、的定义域均为， 因为， 所以，， 故函数的图象关于点对称， 因为 ， 故，则函数的图象也关于点对称， 不妨设，由题意可知，这两个函数的交点也关于对称，且， 则点与点关于点对称，则， 因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点和问题，分析两个函数的对称性是解题的关键，进而根据对称性求和. 题型06函数性质求零点：轴对称 ⭐技巧积累与运用 利用函数的对称轴垂直于x轴的性质，可以知道零点关于对称轴左右对称。 要注意对称对称轴与x轴交点是否也是函数的零点 对称轴的基础性质： ①f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称； ②f(2a－x)＝f(x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称 1．已知函数，下列为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可判断A；求出的解析式，根据的定义域可判断B； 求出的解析式， 的图象是由的图象整体向上平移一个单位得到的，可判断C；求出的解析式，利用偶函数的定义可判断D. 【详解】的定义域为， 时，，则，， 时，，则，， 所以为奇函数，故A错误； ，因为 的定义域为不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误； 令 ，的定义域为， 因为为奇函数，所以的图象是由的图象整体向上平移一个单位得到，故 为非奇非偶，故C错误； ，定义域为， 当时，，时，， 当时，，时，， 所以为偶函数，故D正确. 故选：D. 2．定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以，即是周期为2的函数， 由，可得， 因为在区间上函数恰有4个不同的零点， 所以函数与的图象在区间上有4个交点， 作出函数与的大致图象， 由图象可知，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D. 3．定义在上偶函数满足，且当时，.若在区间上，函数恰有五个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出函数的周期为，作出函数的图象，并作出函数的图象，根据两个函数在区间上的图象有五个不同的交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】若在区间上函数恰有五个不同的零点， 等价为在区间上有五个不相等的实数根， 即函数和在区间上的图象有五个不相同的交点， 因为偶函数满足，所以， 故函数的周期是. 作出函数和的图象，如下图： 当直线经过时，两个函数在区间上的图象有个交点， 此时，解得， 要使在区间上函数恰有五个不同的零点，则， 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 题型07 函数性质求零点：周期型 ⭐技巧积累与运用 周期的概念在第五章三角函数中才有详细的学习，但是可以在函数的学习过程中提前引入，并借助周期来解决一些函数图像画草图的应用。 常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 1．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可求得参数的范围. 【详解】由得， 解得或， 画出函数的图象如下， 由图可知，要使方程有3个不同的实根， 则必有与图象有两个交点或与图象有两个交点， 当，即，，符合题意； 当，即，，符合题意； 则实数取值范围值是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．已知函数，若关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围． 【详解】作函数的图象，如图： 关于的方程有个不等的实数根， 结合图象可知，关于的方程有两不等实根，记为，且， 因为，，所以， 又因为，，即， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：D． 【点睛】方法点睛：零点问题，我们一般先画出内函数的图像，再根据内函数图像特征，结合外函数的图像特征，转化为外函数的根的分布问题，特别要注意空心点实心点问题． 3．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知函数有五个零点，结合图象，可知换元后方程的两个根的分布，再列不等式求解即可. 【详解】因为函数恰有5个零点， 所以方程有5个根． 作出函数图象，如下， 设，结合图象可得至多有三根， 则方程化为，此方程有两个不等的实根，， 结合的图象可知，，， 令， 则由二次函数的零点的分布情况得：解得． 故选:B． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元法及数形结合，五个零点转化为方程有两个根的分布问题是解题的关键. 题型08 复合一元二次型求零点 ⭐技巧积累与运用 一元二次复合型函数求零点： 1.设t=f（x，换元。） 2.关于t的一元二次函数可以利用数形结合与根的分布解决。 1．已知函数则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将函数的零点个数问题转化为方程的解的个数，解方程即可. 【详解】对于，令，由得或，解得或． 所以或， 当时，或，解得或． 当时，或，解得（舍）或． 所以函数的零点为或或， 故选：C. 2．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用换元法，，先解出时的值，然后再根据的图象，判断时，的个数. 【详解】因为，令， 则由，即，解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示，    由图象可知与有1个交点，即有1个根， 与有3个交点，即有3个根， 与有2个交点，即有2个根， 所以函数的零点个数为个， 故选：C 3．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，. 则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然， 则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 题型09 内外嵌套型求零点 ⭐技巧积累与运用 内外复合函数求零点，一般情况下采取换元形式解决 。 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 1．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有个不同的交点可得出. 【详解】当时，，则， 当时，， 则， 当时，，， 所以， 当时，， 因为单调递增且时单调递增， 所以在单调递增，且， 故画出函数图象如下图所示， 函数有3个不同的零点等价于和有个不同的交点， 所以由图象可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个不同的零点转化为和有个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度. 2．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，先解出时的值，然后再根据的图象，判断时，的个数. 【详解】函数的零点个数与方程的解的个数相等， 令，则， 所以函数的零点个数与方程组的解的个数相同， 因为， 由， 可得当时，，当时，， 解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示， 由图象可知与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 所以函数的零点个数为个， 故选：C 3．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案. 【详解】设，则化为， 又， 所以，， 作出函数的大致图象，如图 由图可得，当时，有两个根，， 即或，此时方程最多有5个根； 当时，有三个根， 即或或， 此时方程最多有6个根； 当时，有两个根，即或， 此时方程有4个根； 当时，有一个根，即， 此时方程有2个根； 综上，方程的实数解的个数至多是6个. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 题型10 局部周期型求零点 1．已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 【答案】D 【分析】将函数写成分段函数，由，可得，结合图象求解即可. 【详解】解：因为，由， 可得， 即有， 作出函数的图象如图所示： 则有7个根，有10个根，有4个根， 所以方程共有个根. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是将函数写成分段函数并作出图象. 2．已知函数，关于轴对称，且当时，，则方程解的个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】求得在区间上的解析式，画出与的图象，根据图象确定正确答案． 【详解】解：依题意，是偶函数，定义域为， 时，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当，，， ，， 以此类推可知当时，． 由此画出在区间间上的图象，如图所示： 由图可知，与的图象在上有个交点， 又因为函数为偶函数， 所以与的图象在上也有个交点， 所以与的图象在上有个交点， 所以方程解的个数为． 故选：A． 题型11 分段含参讨论型：参数在分界处 ⭐技巧积累与运用 含参讨论型，寻找参数讨论的“临界点”： 1. 临界点可以从分段函数两函数交点处讨论。 2. 临界点可以从每一段函数的单调增减改变点处 3. 零界点可以从两端函数的最值处极值处讨论 1．已知函数，若恰好有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与x轴的交点情况，结合恰好有2个零点，讨论m在不同区间时与x轴恰好有2个交点，m的范围即为所求 【详解】令，而方程的两根为， ∴在同一直角坐标系下，函数的图象，如下图示： 由图可知，当时，函数恰有两个零点，如下图示： 当时，函数恰有两个零点，如下图示： 综上可知，所求实数m的取值范围为. 故选：C 【点睛】本题考查了根据分段函数零点的个数求参数范围，结合一次函数、二次函数的图象，并应用分类讨论的方式研究分段函数有确定零点个数的情况下参数的范围 2．已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由恒成立，可得. 注意到，则的零点为.函数零点为.后分四种情况讨论即可. 【详解】因恒成立，则， 则，又， 则的零点为，1.又函数零点为. ①当时，在上无零点，在上有零点，则符合题意； ②当时，在上有零点，在上有零点，则不合题意； ③当时，在上有零点，在上无零点，则符合题意； ④当时，在上有零点，1，在上无零点，则不合题意. 综上：. 故选：C 3．设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质可得的零点为，根据，解得或，即可分三种情况讨论求解. 【详解】在区间内恰有6个零点， 又最多有两个零点， 当时，至少有四个根， ， 令，即，，， 又，，即， 令，解得或， ①若且，解得， 此时在有2个零点， 只需要在有4个零点， 这4个零点分别为 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ②当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ③当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得不存在， 综上可得或， 故选：D 【点睛】关键点点睛：的零点为，根据，解得或，分三种情况讨论求解. 题型12 分段含参讨论型：参数在解析式处 ⭐技巧积累与运用 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题． 1．设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 2．已知函数，若恰有3个零点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恰有3个零点，，，即的图象与的图象恰有个不同的交点，借助的图象求解即可. 【详解】设，则恰有3个零点，，， 即的图象与的图象恰有个不同的交点， 的图象如图所示， 不妨设，所以，，， 所以，即， 所以，所以. 故选：C. 3．若函数恰有3个零点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得，令，作出函数的图象与有三个交点，求解的取值范围即可. 【详解】令，当时，，所以， 令，可知在单调递减， 且时，， 当时，得， 函数，其对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以，作出函数的图象， 由图可知，当时，与函数的图象有个交点，从而有个零点. 所以的取值范围为. 故选：C. 题型13 零点综合型 1．已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的单调性求得的一个范围，然后根据与的图象有两个交点以及对进行分类讨论来求得正确答案. 【详解】由于在上单调递减，所以，解得. ，， 当时，由解得， 由此画出与的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有两个交点，符合题意，由此排除BC选项. 当时，，由解得， 由此画出与的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有两个交点，符合题意，由此排除D选项，则A选项正确. 当时，，由解得， 由此画出与的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有两个交点，符合题意. 当时，，由解得， 当逐渐变大时，由图可知，当与直线相切时， 与的图象有两个交点（其它位置有个交点或个交点，不符合）， 由消去并化简得， ， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 【点睛】利用函数的单调性求解分段函数的参数问题，一定要注意在分段函数的定义域的分段位置，两段函数对应函数值的关系.求解方程交点的个数问题，可以转化为两个函数图象的交点个数来进行研究. 2．已知函数，下列命题中错误的是（    ） A．，使得是偶函数 B．，都不是R上的单调函数 C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则 【答案】D 【分析】A选项，可举出时，是偶函数； B选项，得到在分段处函数值相等，结合分段函数的开口方向，对称轴，得到结论； C选项，可举出时，满足要求； D选项，分类讨论得到若的最小值是，则，D错误. 【详解】当时，，定义域为R， 且，故此时为偶函数，A正确； 当时，，开口向上，对称轴为， 当时，，开口向上，对称轴为， 即， 且，，即在分段处函数值相等， 由于的对称轴在的对称轴的左侧， 故，都不是R上的单调函数，B正确； 当时，， 若，即时，当时，令，解得：， 当时，令，解得：，均符合要求， 综上：此时函数有3个零点，故C正确； 由B选项可知的最小值在或处取到， ， 当时，函数最小值在处取到， 由，解得：（舍）或1，故满足题意； 当时，函数最小值在处取到， 由，解得：或2（舍），故满足题意， 当时，函数最小值在或处取到， 由于此时恒成立，恒成立， 故都不合要求，舍去； 综上：若的最小值是，则，D错误. 故选：D 【点睛】二次函数相关知识点总结，对称轴为，顶点坐标为，若，二次函数与轴有两个交点，若，二次函数与轴有1个交点，若，二次函数与轴有0个交点. 3．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．17 【答案】B 【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以， 若关于的方程有四个实根，，，，则， 由，得或，则， 又，所以， 所以，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 40题能力培优 1．已知是函数的零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A零点存在性定理判断零点所在区间；由题设得、，结合基本不等式、零点所在区间有、判断B、C、D. 【详解】A，函数为单调递增函数， 且，，故零点，错误； B，是函数的零点，则， 变形可得，两边同时取对数可得，正确； C，是函数的零点，则， 则，故， 又，则，根据对勾函数图象与性质知， 则，错误； D，，则，则，错误． 故选：B 2．已知方程有两个不同的实数根，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将有两个不同的实数根，转化为与的图象有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在和内，即可得到和，然后两式相加即可求得的范围． 【详解】因为有两个不同的实数根，即函数与的图象有两个交点， 由题意，分别画和的图象如下所示： 由图可知在和分别有一个交点，不妨设，， 则在上有，即①，在有②， ①②两式相加有 ，即 故选：C． 3．已知函数，若存在不相等的实数，，，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为与的图象的四个交点横坐标之和的范围，数形结合可得答案. 【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点， 作出的图象如下： 所以时，与的图象有四个交点， 令，解得或，令，解得或， 不妨假设，由图及函数性质知： ， 易知：的图象关于对称， 所以，又由得， 所以，且， 得，当且仅当时等号成立， 所以. 【点睛】方法点睛：数形结合是解决函数问题的重要方法，画出图象根据图象性质结合对称性和双勾函数的性质是解题的关键. 4．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【详解】由函数恰有5个零点，得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象，      令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令，由函数有5个零点，得有两个不等实根， 且，，因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B 5．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．函数的零点的个数为2 B．函数在上单调递增 C．函数无最值 D．实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据分段函数图象可以判断ABC，而选项D，结合分段函数的图象性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可. 【详解】因为函数，可得函数图象如图： 由图知函数有2个零点，故A选项正确； 函数没有最值，故C选项正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，故B选项错误； 由于方程有4个不同的实数根， 令则有4个不同的实数根， 因为恒成立， 设两个不等的实根为， 由韦达定理知：， 则异号，由图可知：， 所以，解得，故D选项错误； 故选：AC 6．已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 【答案】BCD 【分析】首先画出函数图像，根据图像即可判断选项A错误，再利用函数的性质，列出等式即可得到选项B正确，由将选项C化为，利用对勾函数的单调性即可判断C,D的对错. 【详解】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误. 对于选项B：因为，所以， 所以，则B正确. 对于选项C：由图可知，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确. 对于选项D：在上单调递减. 因为越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有4个零点 B．对于实数，不等式恒成立 C．关于的方程有个不同的解 D．当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】画出的图象，根据图象再逐项计算可得正确的选项. 【详解】当时，，当时，， 结合可得的图像如图所示：    对于A，考虑函数的图像与直线的交点个数， 如下图所示，直线过，结合图像可得两图像交点个数为9个，故A错误；    对于B，结合函数的图象可得在上， 的图象在图象上或在下方，故即恒成立， 故B正确；    对于C，当时，，故时，， 而为奇函数，故时，， 故在上无解， 当，则， 且此时在上为减函数，在上为增函数， 而，结合图像可得： 当时，在均有两个不同解， 在上，仅有一个解， 而当时，，故此时无解 综上，共有个不同的解，故C正确； 对于D，即为或， 结合图像可得仅有一个解， 故有6个不同的解，且与2相异， 结合图像可得，故D正确.      故选：BCD. 【点睛】思路点睛：分段函数的零点问题，应该根据函数的图像来处理，而对于具有性质的函数，注意利用平移和伸缩来处理对应的图像. 8．函数 的零点的个数为 【答案】2 【分析】令，转化为两个函数图象交点个数，来判断出零点的个数. 【详解】令，得，即， 作出与的图象，可知它们只有2个交点. 故答案为：2. 9．已知符号表示不超过的最大整数，函数，若方程有且仅有3个根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原问题转化为函数图像有交点的问题，然后数形结合考查临界条件即可求得最终结果. 【详解】符号表示不超过的最大整数，若函数， 则当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；… 所以函数的图象如图所示， 由图象可知，，，， 因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有3个交点， 结合图象可知，当或满足题意. 故答案为：. 10．设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有1个实数根转化为函数与直线的图象有且只有一个交点，数形结合即可求解. 【详解】方程有且仅有1个实数根， 即函数与直线的图象有且只有一个交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象可得. 故答案为：. 高考真题 1．（湖北高考）关于x的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（    ）． ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项. 【详解】取，则即为， 故，解得，故①正确. 取，则即为，故， 解得，或，故②正确. 取，则即为， 故，或解得，或，或，故③正确. 取，则即为， 故或， 解得，或，或，或，故④正确. 故选：A 【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题. 2．（2020天津高考）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 3．（2023天津高考）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 4．（2022天津高考）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．（2015湖南高考）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围 【详解】有两个零点， 有两个零点，即与的图象有两个交点， 由可得，或 ①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意 ②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意 ③当时，函数单调递增，故不符合题意 ④时，单调递增，故不符合题意 ⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点 综上可得，或 故答案为： 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$