5.1函数与它的表示方法（5大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

5.1函数的表示方法 题型一 函数的概念 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B 2．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．对函数概念的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意事项：判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与其对应；函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 根据函数的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项符合题意； B、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； C、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； D、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； 故选：． 3．下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； 故选：D． 4．下图表示y是x函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量，，如果对于任意一个都有唯一确定的一个和它对应，那么就称是自变量，是的函数）是解题关键． 【详解】解：A、不是的函数的图象，此项不符题意； B、是的函数的图象，此项符合题意； C、不是的函数的图象，此项不符题意； D、不是的函数的图象，此项不符题意； 故选：B． 5．下表反应的是某地区电费（元）与用电量（千瓦时）之间的关系，下列说法不正确的是（   ） 用电量千瓦时 1 2 3 4 电费元 A．都是变量，其中是自变量，是的正比例函数 B．用电量每增加1千瓦时，电费增加元 C．若用电量为8千瓦时时，则电费为元 D．不是的一次函数 【答案】D 【分析】本题考查一次函数定义，根据图表信息得出结论．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵某地区电费（元）与用电量（千瓦时）之间的关系， ∴都是变量，其中是自变量， ∵随着增大，也同比增大， ∴是的正比例函数，也即一次函数，即A正确，D不正确， ∵用电量每增加1千瓦时，电费增加元， ∴B选项正确， ∵用电量为8千瓦时时，则电费为元， ∴C选项正确， 故选：D． 6．圆周长公式中，变量是 ． 【答案】和 【分析】本题主要考查了函数的定义， 根据函数的意义可知：变量是改变的量，据此即可确定变量． 【详解】解：在圆的周长公式中，与是改变的，是变量， 变量是，， 故答案为：和． 7．等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数自变量的取值范围，三角形三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形周长的定义，构建关系式即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x， ， ， 由，解得． 故答案为：，． 题型二 函数的三种表示方法 1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，即可解答． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意 C、满足对于x的取值时，y有两个值与之对应关系的情况，所以曲线不能表示y是x的函数，故本选项符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键． 根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项． 【详解】解：选项ACD中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A、C、D均不符合题意； B、对于自变量x的值，因变量y不是唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； 故选：B． 3．下列各列表中，能表示y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．同时考查一次函数的性质，根据函数定义一次函数的性质可得答案． 【详解】解：A、B选项中，对于每个x的值， y的值不唯一，故y不是x的函数； C选项中：先随的增大而减小，再增大，不符合一次函数的性质，故不是一次函数， D选项中：自变量增加，函数值增加；符合一次函数的特点与性质； 故选：D． 4．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 5．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可． 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故选：C． 6．某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方式以及用函数关系式表示两个量之间的关系，根据题意可知关系应该分为两部分，购买10本及10本以下、购买10本以上2部分分析求解． 【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 题型三 函数的解析式 1．某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式．找到正确的等量关系是解题关键．计算出每的耗油量即可求解． 【详解】解：由题意得： 每的耗油量为：， 故汽车加满油后最多可行驶： 故可得： 故选：D． 2．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数关系式，根据“剩余的钱总钱数花去的钱”解答即可． 【详解】解：y与x间的关系式是． 故选：B． 3．油箱中有油40L，油从管道中匀速流出，200秒可流完，则油箱中剩油量Q(L)与流出时间t(秒)之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一次函数关系式，得到油箱中剩油量的等量关系是解决本题的关键．应先得到秒的流油量；油箱中剩油量原来有的油量秒流的油量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵秒的流油量为升， ∴油箱中剩油量与流出时间t(秒)之间的函数关系是， 故选：B． 4．摩托车油箱中12升油，行驶时每小时耗油2升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为 【答案】/ 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的取值范围，根据余油量等于原来的油量减去消耗的油量，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 5．一棵树苗现在高，以后每月长高，那么这棵树苗的高度（）与生长月数（月）之间的关系式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，首先表示出月长高，根据树高现在的高度月长的高度，可得函数关系式． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 6．已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的性质，长方形的周长等知识点， （1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可； （2）根据长方形的周长公式列式即可得解； （3）把代入函数解析式即可求出x的值； 熟练掌握长方形的周长的综合应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵相邻的两边长分别是和， ∴长方形的周长为， ∴随的变化而变化， ∴自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）解：根据长方形的周长公式得， ∴与之间的关系式， （3）解：∵长方形周长为时， ∴， 解得． 7．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了用描点法画函数图象，以及利用函数图象获取信息的能力. （1）描出表中各组数值所对应的点，顺次连成平滑的曲线即可得函数图象， （2）观察图象可知，①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 【详解】（1）解：如图： （2）①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，即的取值范围为时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 故答案为：①，②. 8．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 9．已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在关于的函数图像上 【分析】本题主要考查了求函数解析式、函数图像上点的坐标特征等知识，根据题意确定关于的函数解析式是解题关键． （1）设，，根据题意可得，再将所给的点代入可求得的值，即可求得函数解析式； （2）将代入关于的函数解析式，即可判断点是否在关于的函数图像上． 【详解】（1）解：根据题意，可设，， 则， ∵当时，；当时，， 所以，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）由（1）可知，关于的函数解析式为， 则当时，可有， ∴点不在关于的函数图像上． 题型四 求自变量的取值范围 1．函数中，自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式且分母不为可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得且， 解得：且． 故答案为：且． 2．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴自变量x的取值范围是， 故答案为：． 3．二次根式中字母的取值范围是 ． 【答案】 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质，熟练掌握二次根式的意义是解题的关键； 二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得 故答案为： 4．函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不为零即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为：． 5．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 6．函数的定义域是 ． 【答案】全体实数 【分析】本题考查求自变量的取值范围．利用代数式有意义的条件求解即可． 【详解】解：函数的定义域是全体实数． 故答案为：全体实数． 7．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件、分母不为、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得，且， 故答案为：且． 8．函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：在函数中，， 解得， 故答案为：． 9．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查建立函数的模型解决实际问题的能力．要读懂题意并根据题意列出函数关系式．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，并会根据实际意义求函数值和自变量的取值范围． （1）根据等腰三角形周长公式即可求得y关于x的函数关系式； （2）利用三角形边长为正数和三边关系求自变量的范围； 【详解】（1）解：根据三角形周长公式可知：， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 解得：． 题型五 求自变量的值或函数值 1．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 【答案】42 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键． 把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时， ， ∴输出因变量． 故答案为：42． 2．已知华氏温度f和摄氏温度c的换算关系为：，在1个标准大气压下摄氏温度为，则对应的华氏温度为 ． 【答案】41 【分析】本题考查了函数的解析式，学会代入函数值到解析式求自变量的值是解题的关键．由题意得，代入到，求出f的值即可解答． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 对应的华氏温度为． 故答案为：41． 3．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】计算时，函数的值即可． 本题考查了求函数的值，熟练掌握计算函数的值基本方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 4．在函数中，若函数值为0，则自变量的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数的值，分式值为0的条件．根据分式值为0的条件得出，，据此求解即可． 【详解】解：∵函数的值为0， ∴，， 解得：， 故答案为：． 5．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，分别用，代替函数解析式中的x，进行计算即可得解，熟练掌握函数值的计算是解决此题的关键． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 6．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 7．一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 【答案】(1) (2)厘米 (3)当拉力是千克时，弹簧长度是厘米 【分析】本题考查了函数的实际应用，根据表格数据得出函数解析式、正确求函数值和自变量的值是解题的关键． （1）由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米，得出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式即可； （2）把代入（1）所求函数解析式，求出弹簧长度即可； （3）把代入（1）所求函数解析式，求出此时的拉力即可． 【详解】（1）解：由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米， ∴弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式为：； （2）解：把代入得：， 答：如果拉力是千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：把代入得：， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是厘米． 8．某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【答案】(1)，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量 (2) 【分析】本题考查的是函数的应用，函数的定义，理解题意是关键； （1）由加热时间每增加，液体温度升高，可得则每秒液体升高的温度为，从而可得解析式； （2）直接根据每秒液体升高的温度为，再列式计算即可； 【详解】（1）解：由表格可知，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量； 加热时间每增加，液体温度升高， 则每秒液体升高的温度为，得， ∴y与t之间的关系式是，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量． （2）解：， 当时，， ∴该液体的沸点是． 9．已知，与成正比例，与成反比例，当时，y的值都为1，求y和x之间的函数解析式以及当时y的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出函数表达式是解题的关键．根据题意设，然后把时，y的值都为1，分别代入得到关于的方程组，解方程组求出的值，然后代入即可得解． 【详解】解：设， ∴， 把，别代入上式得：， 解之得， ∴． 当时，． 1．若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 2．已知关于x的整式M：，其中a，b，c，d，e为整数，且，下列说法：①存在M为四次三项式；②令函数，当时，函数值为30，当函数值为20，则；③若（其中p、q为整数）为整式M的因式，则q一定整除e；④若，且a，b，c，d，e均为自然数，则满足条件的M共有7个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式乘以多项式，求函数值等知识，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． ①根据，且，，，，为整数，可得当a为0，则的项数至少是4项；②，分别代入求解判断；③设（其中均为整数），则常数项，即可判断；④当时，；；；；；；当时，，故共有7种情况． 【详解】解：①根据，且，，，，为整数，可得当a为0，则的项数至少是4项，故不可能为四次三项式，故①错误； ②当时，，当，，则，故②正确； ③由题意得，设（其中均为整数）， 则常数项， ∴为整数， ∴q一定整除e，故③正确； ④∵，，且a，b，c，d，e均为自然数， 当时，； ； ； ； ； ； 当时， 故④正确， ∴正确的有三个， 故选：D． 3．点在下列哪个函数的图象上（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断给出的点是否在函数图像上，将点的坐标代入函数解析式即可判断． 【详解】解：将点代入，等式不成立，A选项不符合题意； 将点代入，等式成立，B选项符合题意； 将点代入，等式不成立，C选项不符合题意； 将点代入，等式不成立，D选项不符合题意； 故选：B． 4．下列函数中，①；②；③；④，函数图象经过点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的值，把点分别代入函数解析式进行检验即可． 【详解】解：①中，当时，，符合题意； ②中，当时，，符合题意； ③中，当时，，不符合题意； ④中，当时，，符合题意． ∴函数图象经过点的有3个， 故选：C． 5．某校生物小组学生准备在校内一空地围一个长方形苗圃．苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米；苗圃的另一边与墙垂直，长为米．试写出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域．画出这个函数的图像． 【答案】函数解析式为，函数的定义域为，图见解析 【分析】本题考查了函数的实际应用，理解题意、正确得出函数解析式以及函数的定义域、掌握描点法画函数图像是解题的关键． 根据“长方形苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米，苗圃的另一边与墙垂直，长为米”，得出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域，根据函数解析式以及函数的定义域，取点（实际取不到）、、、、、、、、，顺次连接画出函数的图像即可． 【详解】解：∵长方形苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米，苗圃的另一边与墙垂直，长为米， ∴苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式为，函数的定义域为， 如图，画出函数的图像， ． 6．中，，D是的中点，E是边上动点（E不与A、B重合），交于F．设． (1)写出y关于x的函数解析式及定义域 ． (2)时， ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键． （1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域； （2）连接，根据三角形中位线的性质可得，当，． 【详解】（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接， ∵，点D是边的中点， ∴都是三角形中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵E是边上的一个动点（不与A、B重合）， ∴； （2）解：连接，当E与H重合时，， ∴， 7．某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题：    (1)机动车行驶 小时后，在途中加油站加油 升． (2)求加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够？ 【答案】(1)5， (2) (3)够 【分析】本题考查了函数图象的应用，函数关系式，有理数加、减、乘、除的应用等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油升，计算求解即可； （2）由图可知，出发前油箱内余油量为升，行驶小时后余油量为升，共用去（升），则每小时耗油量为（升），进而可求函数关系式； （3）由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米），由，判断作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油（升）， 故答案为：5，． （2）解：出发前油箱内余油量为升，行驶小时后余油量为升，共用去（升）， ∴每小时耗油量为（升）， ∴； （3）解：由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米）， ∵， ∴油箱中的油够． 8．从洛阳到郑州的铁路运行速度与时间的关系如下表： 速度/千米/小时 2.5 3 5 时间/小时 48 40 24 (1)洛阳到郑州的铁路里程是多少？ (2)如果用x表示速度，y表示时间，则用式子表示x与y之间的关系，x与y成什么比例关系？ 【答案】(1)120千米 (2)，x与y成反比例关系 【分析】本题考查了有理数乘法的实际应用，熟练掌握路程=速度×时间是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间即可得出答案； （2）根据的关系即可得出答案． 【详解】（1）（千米）． 答：洛阳到郑州的铁路里程是120千米． （2）因为， 所以速度与时间成反比例， 所以，x与y成反比例关系． 9．如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），垂直平分，分别交边、于点、，连接、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的全等三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）由直角三角形的性质求出，，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点作于，由直角三角形的性质及勾股定理可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，则，设，求出的值可得出答案． 【详解】（1）证明：，，， ，，， ，， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ； （2）解：如图，过点，是的垂直平分线， ，， 如图，过点， ， ，分别在，上， ， 过点作于， ，，则， ，， 同理， ， ， ， ． （3）当时，同理，， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ． 10．小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)小明的发现是正确的，理由见解析 (3)； 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导出即可； （2）延长，交于点M，连接，证明，再由垂直平分线的性质得出，在直角三角形中，，即； （3）由（2），可得，在中，，整理得到，连接，当G点与C点重合时求出的长，即可求x的取值范围． 【详解】（1）证明：由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：小明的发现是正确的，理由如下： 如图，延长，交于点M，连接，如图所示： 根据旋转可知，，，， ∴B、A、D在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， 整理得，， 当G点与C点重合时，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据旋转可知：， 在中，， 即， 解得：， ∵点G在射线上， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，求函数解析式，求自变量的取值范围，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1函数的表示方法 题型一 函数的概念 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 2．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下图表示y是x函数的图象是（   ） A． B． C． D． 5．下表反应的是某地区电费（元）与用电量（千瓦时）之间的关系，下列说法不正确的是（   ） 用电量千瓦时 1 2 3 4 电费元 A．都是变量，其中是自变量，是的正比例函数 B．用电量每增加1千瓦时，电费增加元 C．若用电量为8千瓦时时，则电费为元 D．不是的一次函数 6．圆周长公式中，变量是 ． 7．等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为 ，自变量x的取值范围是 ． 题型二 函数的三种表示方法 1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各列表中，能表示y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 5．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 6．某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 函数的解析式 1．某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（  ） A． B． C． D． 2．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　） A． B． C． D． 3．油箱中有油40L，油从管道中匀速流出，200秒可流完，则油箱中剩油量Q(L)与流出时间t(秒)之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 4．摩托车油箱中12升油，行驶时每小时耗油2升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为 5．一棵树苗现在高，以后每月长高，那么这棵树苗的高度（）与生长月数（月）之间的关系式为 ． 6．已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 7．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． 8．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 9．已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 题型四 求自变量的取值范围 1．函数中，自变量x的取值范围是 2．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 3．二次根式中字母的取值范围是 ． 4．函数中自变量x的取值范围是 ． 5．在函数中，自变量的取值范围是 ． 6．函数的定义域是 ． 7．在函数中，自变量的取值范围是 ． 8．函数中，自变量的取值范围是 ． 9．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 题型五 求自变量的值或函数值 1．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 2．已知华氏温度f和摄氏温度c的换算关系为：，在1个标准大气压下摄氏温度为，则对应的华氏温度为 ． 3．已知函数，则 ． 4．在函数中，若函数值为0，则自变量的值是 ． 5．已知，那么 ． 6．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 7．一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 8．某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 9．已知，与成正比例，与成反比例，当时，y的值都为1，求y和x之间的函数解析式以及当时y的值． 1．若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的整式M：，其中a，b，c，d，e为整数，且，下列说法：①存在M为四次三项式；②令函数，当时，函数值为30，当函数值为20，则；③若（其中p、q为整数）为整式M的因式，则q一定整除e；④若，且a，b，c，d，e均为自然数，则满足条件的M共有7个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．点在下列哪个函数的图象上（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，①；②；③；④，函数图象经过点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．某校生物小组学生准备在校内一空地围一个长方形苗圃．苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米；苗圃的另一边与墙垂直，长为米．试写出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域．画出这个函数的图像． 6．中，，D是的中点，E是边上动点（E不与A、B重合），交于F．设． (1)写出y关于x的函数解析式及定义域 ． (2)时， ． 7．某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题：    (1)机动车行驶 小时后，在途中加油站加油 升． (2)求加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够？ 8．从洛阳到郑州的铁路运行速度与时间的关系如下表： 速度/千米/小时 2.5 3 5 时间/小时 48 40 24 (1)洛阳到郑州的铁路里程是多少？ (2)如果用x表示速度，y表示时间，则用式子表示x与y之间的关系，x与y成什么比例关系？ 9．如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），垂直平分，分别交边、于点、，连接、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时，求线段的长． 10．小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$