精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年下学期八年级期末检测试卷数学科目 “考生注意：本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟．” 一、选择题（本题共10小题，共32分．在每个小题给出的四个选项中，第1-9题只有一个选项是符合题目要求的，每小题3分；第10题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 1. 斐波那契日是指每年的11月23日，斐波那契图形是以斐波那契数列中的数字为基础构建的图形，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年10月16日是第44个世界粮食日，某校开展了“光盘行动，从我做起”的活动．为了了解学生们在校就餐时的光盘情况，学校从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，其中样本容量是（ ） A. 200名学生 B. 4000名学生 C. 4000 D. 200 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（ ） A. 5 B. 2.5 C. 10 D. 7.5 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 9. 秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. 与的面积相等 C. D. 10. 若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则a的取值范围是____________． 12. 因式分解：=_______________. 13. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为1和4，则第三边长为__________． 15. 如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为________． 16. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为____________． 三、解答题（本大题共8小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题9分，第23，24题每小题12分，共70分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． （2）若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标． 20. 如图，是的高，E是上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求线段和的长． 21. 为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 22. 解答题： （1）已知，求的值； （2）如图，以的直角边为边分别作正方形和正方形．若的面积为4，正方形和正方形的面积和为36，求的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点且．交y轴于点D，过点C作轴于点E． （1）若a，b满足，求a，b的值及点C的坐标； （2）若点D为线段的中点，求证：； （3）若平分，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 24. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期八年级期末检测试卷数学科目 “考生注意：本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟．” 一、选择题（本题共10小题，共32分．在每个小题给出的四个选项中，第1-9题只有一个选项是符合题目要求的，每小题3分；第10题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 1. 斐波那契日是指每年的11月23日，斐波那契图形是以斐波那契数列中的数字为基础构建的图形，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形的概念逐一判断即可得到答案，熟练掌握轴对称图形的概念并能正确找到对称轴是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的形式（,n整数），n等于原数化成a时小数点移动的位数，时，n是正整数，时，n是负整数，是解题的关键． 本题． 【详解】解：．   故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，二次根式的加减运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握相关的运算法则和运算方法是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、二次根式的加减运算、完全平方公式的运算法则和运算方法逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； D、，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 2024年10月16日是第44个世界粮食日，某校开展了“光盘行动，从我做起”的活动．为了了解学生们在校就餐时的光盘情况，学校从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，其中样本容量是（ ） A. 200名学生 B. 4000名学生 C. 4000 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、样本和样本容量．解题关键是熟练掌握样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据样本容量定义答题即可． 【详解】从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，其中样本容量是200． 故选：D． 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根式的也不是最简二次根式，由此判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、分母中含有二次根式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，根据三角形的内角和求出另外一个角，再根据两个三角形全等，即可． 【详解】解：∵这两个三角形全等，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（ ） A. 5 B. 2.5 C. 10 D. 7.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离．角平分上线上的点到这个角两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点P作于点G，根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于点G， 平分，点P在上，于点H， ， ， ， 故选：A． 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质“”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 9. 秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. 与的面积相等 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、性质，根据角平分线的定义判断选项A；过点D作于点E，作于点F，由与的面积相等，得出，再根据角平分线定理的逆定理即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质即可判断选项C；根据D选项的条件无法判断是的角平分线． 【详解】解：A、∵， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； B、如图，过点D作于点E，作于点F， ∵与的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴点D在的角平分线上， 即是的角平分线， 故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； D、当时，不能确定是的角平分线， 故此选项符合题意； 故选：D． 10. 若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得， 由分式方程无解，得到， 即，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当，整式方程无解， 解得， 故m的值为1或4或． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式的值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 因式分解：=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b). 13. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是和． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为1和4，则第三边长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：若1为腰长，则该等腰三角形的三边为1、1、4， 又∵ ，不能构成三角形，不合题意，舍去； 若4为腰长，则该等腰三角形的三边为1、4、4， ∵ ，符合题意， 即第三边长为4． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】依据MN垂直平分AB，即可得出AD=BD，进而得到CD+BD=CD+AD=AC，再根据AC=4，BC=2，即可得出△BCD的周长． 【详解】解：依据作图可得，MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴CD+BD=CD+AD=AC=4， 又∵BC=2， ∴△BCD的周长为4+2=6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 16. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题9分，第23，24题每小题12分，共70分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算．原式利用负整数指数幂、零次幂、算术平方根以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，对分式进行化简，再把代入计算，即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． （2）若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标． 【答案】（1） 如图即为所求，可得到； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中轴对称图形的作法和坐标等知识． （1）找到关于y轴对称点，顺次连接即可得到，再写出的坐标； （2）根据面积得到，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∴， 或 20. 如图，是的高，E是上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求线段和的长． 【答案】（1） 证明：是的高， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识， （1）由是的高，得，进而即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再由，即可得，的长； 熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ∵， ， ，． 21. 为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】（1）答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个 （2）答：每个窗花的售价至少为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据题意列出方程，，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， ∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴第一次购进窗花是数量为：个，第二次购进窗花是数量为：个， 答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个． 【小问2详解】 解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， 设每个窗花的售价为元， ∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元， ∴， ∴， 答：每个窗花的售价至少为元． 22. 解答题： （1）已知，求的值； （2）如图，以的直角边为边分别作正方形和正方形．若的面积为4，正方形和正方形的面积和为36，求的长度． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法中的差的完全平方根公式，算术平方根的性质，利用整体代入法求式子的值是解本题的关键． （1）利用整式的完全平方公式将式子展开，再将代入即可求解； （2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意求出值，再代入的展开式中，即可求得． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b 由题意得：， ∴， ， 即：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点且．交y轴于点D，过点C作轴于点E． （1）若a，b满足，求a，b的值及点C的坐标； （2）若点D为线段的中点，求证：； （3）若平分，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 过点C作轴，交y轴于点M ， ． 为线段的中点      ， 又， ， ， ， ． （3）是，6 【解析】 【分析】（1）根据非负数性质求出a、b的值，得到线段的长，根据全等三角形求出线段的长，求出线段的长，即得点C的坐标； （2）过点C作轴，交y轴于点M 证明，得，可得； （3）延长，交于点N，运用角平分线定义证明 ，可得，证明，得，得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，交于点N． 平分， ． 轴， ． ∵， ， ． ． ， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了坐标系中的等腰直角三角形．熟练掌握非负数性质，坐标与图形，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段中点性质，角平分线性质，是解决问题的关键． 24. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）①√ ②× ③√ （2）或 （3）①；②的最小值为 【解析】 【分析】根据定义解答即可得解； 先由定义得出或，解方程即可得解； ①恒等变形得出，然后由新定义即可得解，②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解． 【小问1详解】 ∵， ∴①与互为“差值代数式”， ∵， ∴②与不互为“差值代数式”， ∵， ∴③与互为“差值代数式”， 故答案为：①√ ②× ③√； 【小问2详解】 由题可知， ∴或， ∴或， 综上所述或； 【小问3详解】 ①， ， ， ， ， 互为“差整值代数式”， ， ②， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $