1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

1.3导数在研究函数中的应用 1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值 湘教版选择性必修第二册 第1章导数及其应用 学习目标 目标 1 重点 2 难点 3 会求三次函数的单调区间； 会求三次函数的极值，及闭区间上的最值； 三次函数的图像与其导函数的图像的关系. 会求三次函数的极值，及闭区间上的最值； 三次函数的图像与其导函数的图像的关系. 三次函数的图像与其导函数的图像的关系. 设函数 y = f (x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于 f (x0)（即 f (x)≤ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极大值，此时x0称为 f (x)的一个极大值点． 若点x0 附近的函数值都大于或等于 f (x0)（即 f (x) ≥ f (x0)），就 说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极小值，此时x0称为 f (x)的一个极小值点． 温故知新 极值与极值点的概念： 3 （1）求导数 f ′ (x)． （2）求f (x)的驻点，即求方程f ′ (x)=0的解． （3）对于方程f ′ (x)=0的每一个解x0，分析f ′ (x)在x0左右两侧的符号（即 讨论f (x)的单调性），确定极值点： ①若f (x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f (x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． （4）求出各极值点的函数值，就得到函数 y = f (x)的全部极值． 求可导函数极值的一般步骤： 温故知新 4 利用函数的导数来研究函数的性质，不但便捷，而且具有一般性．只要能算出函数的导数并求出导函数的零点，便能把该函数的单调区间和极值点一一列出，做到一目了然． 三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的，所以用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极值点． 新课导入 思考1：前面研究二次函数单调性和最值，我们用了哪些方法？ 配方法和导数法 思考2：研究三次函数单调性和最值，我们可以用什么方法？ 下面利用导数的方法研究一般的三次函数． 设三次函数F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，请对F(x)求导 新课讲授 F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． 思考：F′ (x)=3ax2＋2bx＋c=0，二次方程根的情况，如何讨论？ 0个根，1个根，2个根 6 新课讲授 情形1 若函数F′ (x)没有零点，则F′ (x)在(－∞，＋∞)上不变号． （1）若a > 0，则F′ (x)恒为正， F(x)在(－∞，＋∞)上递增． 新课讲授 （2）若a < 0，则F′ (x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 情形2 函数F′ (x) =3ax2＋2bx＋c有一个零点x = w，如图． (1)若a > 0，则F′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为正， F(x)在(－∞，＋∞)上递增． 新课讲授 9 情形2 函数F′ (x) =3ax2＋2bx＋c有一个零点x = w，如图． (2)若a < 0，则F′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为负， F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 新课讲授 10 情形3 函数F′ (x)有两个零点x = u和x = v，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为正，在(u，v)为负， 对应地， F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增． 由此可见F(x)在x = u处取得极大值，在x = v处取得极小值． 新课讲授 11 情形3 函数F′ (x)有两个零点x = u和x = v，如图． （2）若a < 0，则F′ (x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为负，在(u，v)为正， 对应地， F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减． 由此可见F(x)在x = u处取得极小值，在x = v处取得极大值． 新课讲授 12 例6 求下列函数的单调区间和极值． （1）f (x) =x3－x2＋2x＋1； （2）h(x) =－2x3＋9x2－12x＋5． 典例分析 13 例6 求下列函数的单调区间和极值． （1）f (x) =x3－x2＋2x＋1； （2）h (x) =－2x3＋9x2－12x＋5． x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞) h′ (x) h (x) － 0 ＋ 0 － 递减↘ 极小值0 递增↗ 极大值1 递减↘ 典例分析 14 例6中函数f (x) =x3－x2＋2x＋1和h(x) =－2x3＋9x2－12x＋5的图像． 典例分析 15 练习1求函数f (x) =－x3＋27x＋7的单调区间和极值． 学以致用 利用导数可以求出函数在某区间上的极值，但在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某区间上哪个值最大，哪个值最小． 如何求函数在某闭区间上的最大值或最小值? 思考： 如图是函数y = f (x)在闭区间[a，b]上的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 新课讲授 f (x2)， f (x4)是y = f (x) 的极小值，f (x1)， f (x3)是y = f (x) 的极大值 追问 ：你能找出函数y = f (x) 的最小值、最大值吗？ 函数y = f (x)在闭区间[a，b]上的最小值是f (x2)，最大值f (b) 新课讲授 如图，一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y = f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． 新课讲授 思考：如果函数y = f (x)是闭区间[a，b]上的连续，那么该函数的最值会在什么位置取得呢？ 函数y = f (x)在[a，b]上的最值（最大值和最小值的统称）必在 极值点或区间端点处取得． 新课讲授 在实际计算中，我们只要把函数y = f (x)的所有极值连同端点的函数值 求出并进行比较，就可以求出函数在该闭区间上的最大值与最小值． 思考：已知连续函数y = f (x)在[a，b]上的最值（最大值和最小值的统称）必在极值点或区间端点处取得，那么我们该如何才能求出该函数的最值呢？ 新课讲授 x f′ (x) f(x) 例7求函数 在区间[－2，1]的最大值和最小值． ＋ 0 － 0 ＋ 递增↗ 递减↘ 递增↗ 典例分析 22 例7求函数 在区间[－2，1]的最大值和最小值． 典例分析 23 求函数y = f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤： （1）求 f′ (x)； （2）求方程 f′ (x)= 0的解x1，x2，……（不在定义域内的要舍去）； （3）求f (x1)，f (x2)，……及f (a)，f (b)； （4）比较上述函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值． 感悟提升 24 新 知 探 索 练习2 求函数 在区间[－3，2]的最大值和最小值． 学以致用 三次函数的单调性与极值： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． F′ (x)的判别式为∆． ∆ F′ (x)图像 F(x)的图像 F(x)的单调性 F(x)的极值 a>0 ∆≤0 在(－∞，＋∞)上递增 无极值 ∆>0 在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减， 在(v，＋∞)上递增 极大值F (u) 极小值F (v) 总结反思 ∆ F′ (x)的图像 F(x)的图像 F(x)的单调性 F(x)的极值 a<0 ∆≤0 在(－∞，＋∞)上递减 无极值 ∆>0 在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增， 在(v，＋∞)上递减 极大值F (v) 极小值F (u) 三次函数的单调性与极值： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． F′ (x)的判别式为∆． 总结反思 归 纳 总 结 求函数y = f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤： （1）求 f′ (x)； （2）求方程 f′ (x)= 0的解x1，x2，……（不在定义域内的要舍去）； （3）求f (x1)，f (x2)，……及f (a)，f (b)； （4）比较上述函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值． 总结反思 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 $$