大题仿真卷04（最新模拟速递）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

大题仿真卷04（A组+B组+C组） （模式：5题 满分：77分 限时：70分钟） 一、解答题 1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 2．（23-24高三上·山东日照·期末）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 2023年毕业人数（千人） 8 7 5 4 2023年考研人数（千人） 0.6 0.4 0.3 0.3 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围. 参考公式：. 3．（2024·山东威海·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围. 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． (1)证明：是常数； (2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 5．（2024·广东河源·模拟预测）拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……） （模式：3题 满分：45分 限时：40分钟） 一、解答题 1．（2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 2．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． （模式：2题 满分：34分 限时：30分钟） 1．（24-25高三上·福建·期中）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列， (1)若数列，写出，并求. (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由. (3)若数列满足，求数列的个数. 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题仿真卷04（A组+B组+C组） （模式：5题 满分：77分 限时：70分钟） 一、解答题 1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得. （2）由（1）知：，所以， 因为当时，，所以，于是=， 所以. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路. 考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键. 2．（23-24高三上·山东日照·期末）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 2023年毕业人数（千人） 8 7 5 4 2023年考研人数（千人） 0.6 0.4 0.3 0.3 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围. 参考公式：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最小二乘法的估计公式求出相关数据，求出，即可求得关于的线性回归方程； （2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，确定的所有可能值，求出每个值相应的概率，即可求得X的期望，进而可得该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望，列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 又， ， ， ， 所以， 故得关于的线性回归方程为； （2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为， ， ， ， ， 则，可得， 又因为，可得， 故. 3．（2024·山东威海·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，即可对讨论求解导函数的单调性，结合二次函数的性质求解， （2）设出切点，根据点斜式求解直线方程，根据公切线可得，进而可得，构造函数且求导，即可根据单调性求解函数的值域得解. 【详解】（1）， ①当时，的定义域为， 令，即得，所以， 因为，解得：； 令，解得：， ②当时，的定义域为， 令，即得，所以， 因为，解得：， 令，解得：， 综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意知：设的切点横坐标，则在处的切线方程为.③ 设的切点横坐标，则在处的切线方程为.④ 联立③④，得， 当时，，代入方程组，不成立， 所以消去得. 设函数且. 令，得或. 令，解得且；令，解得或， 所以在和上单调递减，在和上单调递增， 因为， 结合图象可知，当时，方程有解， 从而当时，曲线与存在公切线. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． (1)证明：是常数； (2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系证得. （2）①求得直线的方程，点的坐标，利用根与系数关系求得. ②根据抛物线的定义求得，然后求得的表达式，再利用不基本不等式求得最小值.或：假设直线的倾斜角为，将表示为含有的三角函数的形式，利用换元法、函数的单调性等知识来求得最小值. 【详解】（1）由已知，点的坐标为，且可设直线的方程为， 联立方程组，消去， 得（*）， 因为， 所以，为方程（*）的两个实根，且， 因为点，在抛物线上， 所以，为常数． （2）在题设条件下，直线，都不与坐标轴平行且， 由（1）可知直线的方程为：， ①因为抛物线的准线方程为， 代入的方程可得点的坐标为， 由（1）可知，，， ，， 因此，， ， 即的值为． ②存在最小值， 设点，的坐标分别为，， 因为点均在抛物线上， 所以，，，， 由，有，即， 变形可得， 则（**）， 同理，， 根据抛物线的定义可知，，， ，， 所以 ． 由（**）知，， 即，当且仅当时取“＝”， 同理，，当且仅当时取“＝”， 由题设，， 所以，， 所以， ， 由题意可知，，同时成立， 此时，取得最小值， 故存在最小值，最小值为． 另解： 存在最小值， 假设直线的倾斜角为，根据题意可设， 如图，设点在轴上的射影为点， 抛物线的准线与轴相交于点， 根据抛物线的定义，由题设点的位置可知 ， 所以，， 同理可得，，，， 所以 ， 令，， 则， 由，可得， 易知函数为增函数， 所以， 上式中，当且仅当，即时（此时）等号成立， 所以，， 所以，存在最小值，该最小值当且仅当时取得. 【点睛】关键点睛： 这道题涉及了多种数学工具，如抛物线的几何性质、直线方程、向量运算和不等式技巧. 解决最小值问题时，利用函数的单调性和几何对称性是非常有效的，解题时，要充分理解题目中抛物线和直线的几何关系，并使用适当的几何工具（如根与系数关系、向量积等）来简化计算. 5．（2024·广东河源·模拟预测）拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……） 【答案】(1)2；9 (2)，，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据分布计数乘法原理和特殊位置优先法计数即得； （2）先假设有个人，依题意，可分两个步骤完成：第一步，甲选位置，第二步排其余个人，分类统计方法数得，将其化为，可证得等比数列； （3）由题得，根据（2）结论求得，推理得，赋值后累加即得，由参考公式取即可证明. 【详解】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法； 当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法， 剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有种站法． （2）易知，． 如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤： 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法； 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类： 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种； 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种． 所以，，又， 所以． 所以数列，是首项为1，公比为的等比数列 （3）由题意可知， 由（2）可得：，则． 对进行赋值，依次得：，，⋯， 将以上各式左右分别相加，得：，因， 则． 即得， 当无穷大时，，得证. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于寻找题中和，之间的递推关系，通过两个计数原理的运用，先分步再分类得到，第二个关键是根据数列递推公式，通过拼凑项得到等比数列，为第三题证明结论做好知识铺垫. （模式：3题 满分：45分 限时：40分钟） 一、解答题 1．（2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果； （2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以，即得， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）因为，由（1）知，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 当时，取得最小值，此时，即， 所以当时，的面积取到最小值，最小值为. 2．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可； （2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，即可验证求解， （2）设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为有三个不同的根，构造函数，利用导数求解即可. 【详解】（1），由于是极值点，故，故， 当时，， 当或时，，当时，， 故是的一个极值点，故 （2）设切点为，则切点处的切线方程为， 将代入可得， 故， 要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点， 记，则， 当或时，，当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增， 且， 因此. （模式：2题 满分：34分 限时：30分钟） 1．（24-25高三上·福建·期中）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列， (1)若数列，写出，并求. (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由. (3)若数列满足，求数列的个数. 【答案】(1)； (2)不存在适合题意的数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用变换的定义即可得解； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【详解】（1）因为，由变换的定义， 得. 所以. （2）对于数列， 所以. 因为数列为数列，所以. 对于数列，令， 则对于数列中相邻的两项， 若，则；若，则. 记中有且个，则有个1， 则. 因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同， 所以不存在符合题意的数列. （3）首先证明. 对于数列，有， ， . 因为， ， 所以，故. 其次，由数列为数列可知，，解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次. 则数列中的个数为时，符合题意的数列都有个， 所以数列的个数为. 【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：． 【答案】(1)极大值为4，极小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导即可得到函数的单调性，从而得到其极值； （2）根据题意，令，将问题转化为最值问题，然后求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （3）结合对数的运算可得只需证明，再由（2）中结论可得，代入计算，即可证明. 【详解】（1）当时，， 令，即，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极大值， 当时，取得极小值． （2）令， 则，且，， 设，则， 又令，则， ①若，即时， 由于在区间上为增函数，可知， 则即在区间上为增函数，故， 所以即在区间上为增函数， 则，则在区间上为增函数， 所以，即时，恒成立， 所以，当时，符合条件． ②若，即时， 由于为单调递增函数，且， 所以，， 则时，， 可知）即在区间上为减函数，则， 故即在区间上为减函数，则， 则在区间上为减函数，所以，不符合题意， 综上所述，当，时，a的取值范围为． （3）欲证， 只需证明， 由（2）可知，当时，，即有， 进而得，其中，当且仅当时“＝”成立， 则，，…，， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图像与性质，导数的应用以及不等式的证明，难度较大，解答本题的关键在化归与转化思想的应用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$