复习专题10 导数18种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题10 导数18种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点5 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 知识点6 导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 知识点7 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝. 知识点8 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 注： (3)＝(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 知识点9 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 （2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 知识点10 函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点11 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 恒有f′(x)＝0 是常数函数，不具有单调性 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． 注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解． 知识点12 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点13 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 解题策略1、导数运算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 解题策略2、求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．　 解题策略3、已知斜率求切点： 已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. 解题策略4、利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 解题策略5、求解与导数的几何意义有关问题的注意点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．　 解题策略6、解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．　 解题策略7、利用导数求函数的单调区间： 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． 注：(1)讨论参数要全面，做到不重不漏． (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 解题策略8、利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意； ②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． 解题策略9、恒成立问题的重要思路： ①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； ②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 解题策略10、函数图象与导数图象 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． （1）单调递增 ①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡 ②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓 （2）单调递减 ①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓 ②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大． 解题策略11、知图判断函数极值 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 解题策略12、函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 解题策略13、已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 解题策略14、最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 解题策略15、求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 解题策略16、含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 解题策略17、求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 解题策略18、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围) 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 注：函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内． 解题策略19、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 解题策略20、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 解题策略21、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 解题策略22、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 解题策略23、函数的零点问题 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 解题策略24、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 考点剖析 【考点1 平均变化率和瞬时变化率】 例1．已知函数的图象上一点及附近一点，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ） A． B． C． D． 【变式3】【多选】物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 【变式4】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式5】在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【考点2 导数定义的应用】 例2．设函数在处存在导数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D．0 【变式2】若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式3】已知函数，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式4】若定义在上的函数满足，且，则曲线在点处的切线方程为 . 【考点3 导数的基本运算】 例3．下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式2】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【变式3】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)． 【变式4】已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式5】记函数的导函数是．若，则的值为 ． 【变式6】已知函数（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【考点4 导数的几何意义及其应用】 例4．已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是 ． 【变式3】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 【变式5】已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【变式6】过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【变式7】若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8】若函数的图象在点处的切线方程为，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【变式9】已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 【变式10】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【变式11】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式12】已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【考点5 利用导数研究函数的单调性】 例5．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C．D． 【变式1】函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【变式3】已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式4】已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【考点6 已知单调性求参数】 例6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式2】已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点7 比较大小】 例7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，则（    ） A． B． C． D． 【考点8 解抽象不等式】 例8．已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（    ） A． B． C． D． 【变式3】定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点9 利用导数解决函数的极值问题】 例9．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）    A．为函数的零点 B．是函数的最小值 C．函数在上单调递减 D．为函数的极大值点 【变式1】函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】函数的极值点的个数（    ）． A．无数个 B．2 C．1 D．0 【变式3】已知函数，则的极小值为 ． 【变式4】已知函数在时有极值为0，则 . 【变式5】函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是 ． 【考点10 利用导数解决函数的最值问题】 例10．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（    ） A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点 C．在区间上可能没有极值点 D．在区间上可能没有最值点 【变式1】函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极大值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【变式2】已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【变式3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【变式4】已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【变式5】若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6】函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点11 利用导数证明不等式】 例11．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【变式1】已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【变式2】已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数的图象与x轴相切，求证：. 【变式3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明： 【变式4】已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，且，求证：. 【考点12 利用导数研究不等式恒(能)成立问题】 例12．已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 【变式1】已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 【变式2】已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【变式3】已知函数，其中． (1)当时，证明：； (2)若对任意，都有，求k的取值范围． 【变式4】已知函数，. (1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【考点13 能成立问题】 例13．已知函数. (1)若， 求曲线在点处的切线方程; (2)若无零点，求实数的取值范围; (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【变式2】已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数． (1)求的单调区间； (2)存在且，使成立，求的取值范围． 【考点14 导数与函数零点】 例14．设函数，其中为自然对数的底数， (1)若为上的单调增函数，求实数的取值范围； (2)讨论的零点的个数. 【变式1】设函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)讨论函数在区间上零点的个数. 【变式2】已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【变式3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 【变式4】已知函数，其中为参数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【变式5】已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【考点15 方程的根问题】 例15．已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 【变式1】已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【变式2】已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【变式3】设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若已知，且的图象与相切，求的值； (3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围． 【考点16 双变量问题问题】 例16．设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【变式1】已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【变式2】设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 【考点17 极值点偏移问题】 例17．已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【变式1】已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【变式2】已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，求证：. 【考点18 利用导数解决实际问题】 例18．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【变式1】某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【变式2】为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元. （参考数据：，，） (1)求函数的解析式； (2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？ 过关检测 一、单选题 1．（2024高二下·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 3．（2019·山东济南·一模）已知函数，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5．（18-19高二下·新疆乌鲁木齐·期中）若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京·期末）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广西·期末）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 12．（24-25高三上·河北·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 14．（2024·安徽·模拟预测）设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 15．（24-25高三上·广西·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．曲线在点处的切线斜率为 C．， D．不等式对恒成立 16．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知是偶函数，是奇函数，且，则（    ） A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称 C． D．是偶函数 17．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．是的极小值点 C．若，则 D．若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 三、填空题 18．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知函数的两个极值点为，且，则则实数的取值范围为 ． 19．（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 20．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 21．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知拋物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处切线平行于的一条渐近线，则 . 22．（24-25高三上·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 23．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 24．（24-25高三上·天津河东·期末）已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 26．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知函数，其中是常数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 27．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 28．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 29．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 30．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数，. (1)讨论函数零点的个数； (2)若，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题10 导数18种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点5 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 知识点6 导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 知识点7 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝. 知识点8 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 注： (3)＝(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 知识点9 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 （2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 知识点10 函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点11 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 恒有f′(x)＝0 是常数函数，不具有单调性 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． 注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解． 知识点12 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点13 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 解题策略1、导数运算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 解题策略2、求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．　 解题策略3、已知斜率求切点： 已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. 解题策略4、利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 解题策略5、求解与导数的几何意义有关问题的注意点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．　 解题策略6、解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．　 解题策略7、利用导数求函数的单调区间： 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． 注：(1)讨论参数要全面，做到不重不漏． (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 解题策略8、利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意； ②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． 解题策略9、恒成立问题的重要思路： ①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； ②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 解题策略10、函数图象与导数图象 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． （1）单调递增 ①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡 ②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓 （2）单调递减 ①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓 ②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大． 解题策略11、知图判断函数极值 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 解题策略12、函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 解题策略13、已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 解题策略14、最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 解题策略15、求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 解题策略16、含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 解题策略17、求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 解题策略18、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围) 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 注：函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内． 解题策略19、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 解题策略20、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 解题策略21、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 解题策略22、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 解题策略23、函数的零点问题 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 解题策略24、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 考点剖析 【考点1 平均变化率和瞬时变化率】 例1．已知函数的图象上一点及附近一点，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出和，作差，求出即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式1】函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】平均变化率为. 故选：C. 【变式2】下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 由于，故在上的平均变化率最大， 故选：B 【变式3】【多选】物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 【答案】CD 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值. 故选：CD. 【变式4】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 【变式5】在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的物理意义可求出结果. 【详解】，， 所以运动员在时的瞬时速度为. 故选：C. 【考点2 导数定义的应用】 例2．设函数在处存在导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数定义即可求目标式的值. 【详解】由，则. 故选：C 【变式1】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】结合导数定义即可得. 【详解】由导数定义得： ， 即， 故选：A. 【变式2】若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由极限的定义化简即可求出答案. 【详解】因为， 所以 故选：D 【变式3】已知函数，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】依题意有，对函数求导即可求出的值. 【详解】根据导数的定义得：，即， 因为，所以，解得. 故选：. 【变式4】若定义在上的函数满足，且，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】，所以.且，曲线在点处的切线方程为. 已知，. 将这些值代入切线方程公式，得到. 化简这个方程，得到. 故答案为:. 【考点3 导数的基本运算】 例3．下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确.   故选：D. 【变式1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5). 【详解】（1）. （2）； （3），所以； （4）； （5）. 【变式2】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解. 【详解】（1）由可得 （2）由可得 （3）由得 （4）由得 【变式3】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】化简函数解析式，利用导数基本公式、求导法则以及复合函数求导公式，可得答案. 【详解】（1）， （2）， （3）， （4）， （5） （6） 【变式4】已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则. 故选：C． 【变式5】记函数的导函数是．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题可得，所以，解得， 所以，所以． 故答案为：. 【变式6】已知函数（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于原函数和导函数，分别取，代入运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为， 当时，，解得， 所以. 故选：D. 【考点4 导数的几何意义及其应用】 例4．已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】由图可知，曲线在点处的切线的斜率比曲线在点处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知， 故选：B. 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知函数在点处的切线斜率小于0，即； 在点处的切线斜率等于0，即， 在点处的切线斜率大于0，即， 所以. 故选：B. 【变式2】已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是 ． 【答案】4 【详解】由题意，，即， 解得，其中的整点有0,1,2,3，共4个. 故答案为：4 【变式3】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，， 则所求切线方程为，即， 故选：A. 【变式4】函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 【答案】/ 【详解】由，得，则. 又，所以所求切线方程为. 又切线与轴、轴分别交于点，， 所以所求的三角形面积. 故答案为：. 【变式5】已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【答案】或. 【详解】设所求切线与曲线相切于点，显然， 由题意，得切线斜率 又，于是， 解得或，所以或16. 从而所求切线方程为或， 即或. 【变式6】过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【答案】/ 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： 【变式7】若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】令，则有，设过点作曲线的切线， 切点为，根据题意有，即， 又，可得，因为，所以上式可化为 ，整理有：，因为过点可以作曲线 的两条切线，所以方程有两解，所以，即， 解得或. 故选：D 【变式8】若函数的图象在点处的切线方程为，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数的图象在点处的切线方程为， 由导数的几何意义可得，解得：. 故选：C. 【变式9】已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，求出截距即可求解面积. 【详解】，则，切点坐标为， 又，则切线斜率， 所以曲线在点处的切线是，即， 取，得，取，得， 故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：. 故选：C. 【变式10】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 【变式11】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可. 【详解】因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由，所以， 易得函数为在上单调递增函数，为零点， 此时M的坐标为， 由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为. 故选: 【变式12】已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 【考点5 利用导数研究函数的单调性】 例5．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】对于A，利用正切函数的性质判断；对于B，由单调区间不能合并判断；对于C，利用函数的奇偶性定义判断；对于D，利用奇偶性定义及导数法判断. 【详解】解：对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意； 对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意； 对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意； 对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意. 故选：D. 【变式1】函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案. 【详解】函数的定义域为， ， 由得， 所以的单调减区间为. 故选：D. 【变式2】已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 【变式3】已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式4】已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【考点6 已知单调性求参数】 例6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 【变式1】已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 【变式2】已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题可知，在上恒成立， 显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：D． 【变式3】若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 【变式4】已知函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求得的单调性和极值点，由题意得极值点在区间内，结合定义域，即可得答案. 【详解】由题意得， 令，解得或（舍）， 当时，，则为减函数， 当时，，则为增函数， 所以在处取得极小值， 所以，解得， 又为定义域的一个子区间， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【考点7 比较大小】 例7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察选项，构造函数，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以且， 所以且，即且， 所以， 又，所以， 综上所述，， 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和以及，再进行合理赋值即可. 【详解】， 设，，则， 则在上单调递增，则，则在上恒成立，则，即， 设，，则在上恒成立， 则，则在上恒成立， 令，则，则， 设，在上恒成立， 则在上单调递增，则，即在上恒成立， 令，则，则，即，故， 故选：B. 【变式2】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，二次求导，得到单调性，得到，再变形得到，故构造，求导得到其单调性，比较出，得到答案. 【详解】设， 设0，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即. 根据已知得， 可设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即. 综上，. 故选：D. 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小. 【考点8 解抽象不等式】 例8．已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，根据其解不等式，可得答案. 【详解】令，则，即在上单调递减． 由，得， 则， 得，所以，得， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 【变式1】设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，根据题意可知为偶函数且在上单调递减，根据函数性质解不等式即可. 【详解】设函数，可知的定义域为， 求导得， 因为当时，有恒成立，则， 所以在上单调递减， 且，可知， 当时，；当时，； 又因为是定义在上的奇函数， 则，所以是偶函数， 可得：当时，；当时，； 所以不等式解集为； 注意到不等式等价于， 所以不等式解集为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：构建函数，结合的单调性和奇偶性解不等式. 【变式2】定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，即得到结论． 【详解】当， 则不等式等价为， 即， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 则，，，， 即，， ，， 则，故A正确； ，得不出，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选：A． 【变式3】定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 对任意实数x，有， 所以，则在上单调递减. 因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，所以，所以. 因为，所以求不等式的解集， 即求的解集，即求的解集， 因为在上单调递减，所以的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式4】已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【考点9 利用导数解决函数的极值问题】 例9．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）    A．为函数的零点 B．是函数的最小值 C．函数在上单调递减 D．为函数的极大值点 【答案】C 【分析】根据的图象，得到函数的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， A中，是函数的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以A不正确； B中，是函数一个极小值，不一定是函数的最小值，所以B错误； C中，函数在上单调递减，所以C正确； D中，为函数的极小值点，所以D错误. 故选：C. 【变式1】函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果. 【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为极小值点，为极大值点，为极小值点 故极大值点有1个 故选:A 【变式2】函数的极值点的个数（    ）． A．无数个 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的极值点即可. 【详解】由且， 令，而，故恒成立， 所以在上恒 ，即无解，故函数没有极值点. 故选：D 【变式3】已知函数，则的极小值为 ． 【答案】/-0.5 【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，即，得， 令，即，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故当时，函数取得极小值，极小值为． 故答案为: . 【变式4】已知函数在时有极值为0，则 . 【答案】11 【分析】由题意，代入解出，再检验即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得，或， 当时，， 则与题意在时有极值矛盾，舍去， 故，所以. 故答案为：11 【变式5】函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求导函数，根据函数既有极大值，又有极小值，故方程有2个不等的实数根，可求实数的取值范围． 【详解】， 因为函数既存在极大值也存在极小值， 所以方程即有2个不相等的实数根， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为：． 【考点10 利用导数解决函数的最值问题】 例10．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（    ） A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点 C．在区间上可能没有极值点 D．在区间上可能没有最值点 【答案】C 【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断． 【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确． 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题． 【变式1】函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极大值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【答案】B 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时， 函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确； ∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； ∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确. 故选：B 【变式2】已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【解析】（1）由，得， 由题意可得，即，解得. （2）由（1）可得， ， 令，可得或，所以在区间上，随的变化情况如下表： 0 2 3 0 0 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10 由上表可得在区间上的最大值为10，最小值. 【变式3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【解析】（1）， 当时，，所以在上单调递增 当时，由得，由得 所以在区间单调递减，在区间单调递增 （2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值 当时，在区间单调递减，在区间单调递增 所以，所以 令，则， 由得，， 所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为 所以， 所以的值为1. 【变式4】已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【解析】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【变式5】若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为， 因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减， 此时，函数在上无最小值，不合乎题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，函数在上的极小值为，且，则， 综上所述，. 故选：A. 【变式6】函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可. 【详解】由得，则当或，，单调递增；，，单调递减. 在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得. 故实数a的取值范围是. 故选：C. 【考点11 利用导数证明不等式】 例11．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【解析】（1）由， ①当时，，因此在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在单调递减； ③当时，，因此在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 又，所以，即，因此， 因此要证明 即证明， 只需证明， 即证：， ，即证 令， 则， 因此在上单调递增，，则， 即，得证. （3）由（2）知：，令，有 …… 累加得 即得：. 【变式1】已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【解析】（1）当时，，则， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 在区间上有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为， 当时，，从而，故函数在上单调递减； 当时， 若，则，从而； 若，则，从而， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，只需证明：， 即证成立， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 可得，即，得证. 【变式2】已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数的图象与x轴相切，求证：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并化简，利用导数的零点和单调性，即可判断函数的单调性； （2）首先由题意可得，化简后，结合零点存在性定理，求得函数零点的所在区间，并由表示和，即可证明. 【详解】（1）当时，， ， 所以，又 当时，恒成立 所以在上单调递增， 所以当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 . （2），设函数的图象与轴相切于点， 则即，即 所以，设，则在上单调递增且图象不间断， 又，，所以，由得， 又因为，所以，则， 所以，即. 而在区间单调递增， 所以， 即，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是确定零点所在的区间，并能正确表示. 【变式3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性， （2）根据函数的单调性求解端点值以及极值即可求证. 【详解】（1）， 当时，，，单调递增；，，单调递减． 当时，当或，，单调递增； 当，，单调递减， 当时，，所以在R上单调递增． 当时，当或，，单调递增； ，，单调递减． （2）， 由可得，或，，单调递增； ，，单调递减． 又因为，， 所以恒成立． 【变式4】已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的斜率即可得切线方程为； （2）易知函数在上单调递增，且，可知，，采用分析法证明即可，构造函数并判断其单调性即可得出结论. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 且， 则可得，又 即在处的切线方程为， 所以在处的切线方程为； （2）易知（） 可得，且恒成立，即在上单调递增； 又，可得， 要证，即需证明，所以； 即，可得； 可知（）恒成立. 以下证明：（）， 令， 所以， 又，可得，即函数在上单调递增； 又， 所以，即， 即证得. 【考点12 利用导数研究不等式恒(能)成立问题】 例12．已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 【解析】（1），由，函数定义域为. 则， ∵在处取得极值， ∴， 设，则在单调递减， 至多一个实数根，又， 方程有且仅有一个实数根. 当时，，其中. ， ， 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 所以在处取得极大值，极大值为. 故的增区间是，减区间是； （2）由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为， 即任意时，都有，满足题意. 由，得， 令，则，不等式转化为， 即在恒成立. 设，其中， ，其中， ①当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递减， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； ②当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； 综上所述，若对于任意，都有，则. 【变式1】已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 【解析】（1）由题可得， 若在上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根， 即方程有两个不同的正实根． 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，，当时，，所以，即， 所以a的取值范围为． （2）由题得在[0,)上恒成立， 即恒成立． 令， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，． 令（）， 则（）， 所以函数在[0,1)上单调递增， ，， 所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零， 即在区间上大于零，在区间上小于零， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 所以，原式得证． 【变式2】已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域，当时，， ，，， 所以过点的切线方程为，即； （2）由得，． 当时，，在上单调递减， 无极值，故舍去； 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以存在极小值，且． 令，， ，因为，所以， 所以在上单调递增， 且，由得， 所以． 【变式3】已知函数，其中． (1)当时，证明：； (2)若对任意，都有，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而证得不等式成立. （2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递增， 所以，即不等式成立． （2）由题意得对任意，都有， 即，即． 令，可得恒成立，， 令，所以． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以恒成立，即恒成立，故只需． 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以只需，解得，所以k的取值范围是． 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果一次求导无法求得函数的单调区间，可考虑利用多次求导的方法来求解. 【变式4】已知函数，. (1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）先求，然后分析的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出结合的范围求解出其范围； （2）将问题转化为“在上恒成立”，建立函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围. 【详解】（1）， 令， 因为，二次函数对称轴，， 且恒成立， 所以恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为，，， 所以的单调递减区间是， 所以单调递减区间的长度， 因为，所以的取值范围为； （2）由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则，令， 则，令， 则，令， 则，当时，， 所以在上单调递减，， 所以在上单调递减，， 当，即时，， 所以在上单调递减，， 所以在上单调递减，成立，所以； 当，即，单调递减函数在时，，且， 所以在上有根，记为， 在上，，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，函数在时，， 因此在上有解，记为， 在上，，单调递增，而， 因此在上，，从而在上不恒成立， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法： （1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围； （2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集. 【考点13 能成立问题】 例13．已知函数. (1)若， 求曲线在点处的切线方程; (2)若无零点，求实数的取值范围; (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，则，     ∴切线斜率为，又，     ∴所求切线方程为； （2）方法一：函数的定义域是， ∴，     ①若，则，在上单调递增， ，， ∵，，，则， 则仅有一个零点，且零点位于；     ②当，则当时，当时， 所以在上单调递减，在单调递增； 因为的最小值为， 若时，，此时无零点；     若时，，此时仅有一个零点；     若时，，，此时至少有一个零点； 综上所述，．     方法二：令，则，     设，则，     所以当时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为，且当趋于时趋于， 依题意与无交点，所以， ∴要使在定义域上无零点，则． （3）因为， 所以问题转化为在区间有解， 令，即， 则     ①当时，，∴时，，在上单调递减， 此时，，不符合题意；     ②当时， ∴时，，在上单调递减， ∴，即时，，符合题意；     ③当时， ∴时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， ∴，，符合题意； 综上所述，． 【变式1】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【解析】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 【变式2】已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． （2）由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 【变式3】已知函数． (1)求的单调区间； (2)存在且，使成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得，令得， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减； 综上，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意存在且，不妨设， 由（1）知时，单调递减． 等价于， 即， 即存在且，使成立． 令，则在上存在减区间． 即在上有解集，即在上有解， 即，； 令，，， 时，，在上单调递增， 时，，在单调递减， ∴，∴． 【考点14 导数与函数零点】 例14．设函数，其中为自然对数的底数， (1)若为上的单调增函数，求实数的取值范围； (2)讨论的零点的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题需使在上恒成立，接着对的取值分类讨论，确保条件满足即得的取值范围； （2）借助于一阶、二阶导数，就的取值范围分类进行分析、讨论函数的零点情况. 【详解】（1）因为上的单调增函数，故对恒成立， ①当时，显然符合； ②当时，当时，，不合题意，舍去； ③当时，令则当 时， ，当 时， ， 故在上递减，在上递增，则， 依题意，需使，即，故得：. 综上：实数的取值范围为. （2） ①当时，有且仅有一个零点； ②当时，若，则无零点，当时，递增，注意到 由零点存在定理，在上有唯一的零点； ③当时，令当时，，当时，， 故在上递增，在上递减， 时，时，递减，注意到， 则在上有唯一的零点，且当时，递增；当时，，递减， 注意到， 在和上各有一个零点 综上：当时，有两个零点；当时，有唯一的零点. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了不等式恒成立问题和函数零点问题.对于这两类问题，一般考虑两种方法： （1）讨论分析法：即对函数进行求导，按参数分类讨论相关函数的单调性、极值等性质得出结论； （2）参变分离法：通过等价转化进行参变分离，将恒成立问题转化为求相关函数的值域问题，或将函数零点问题转化为两函数的图像的交点问题. 【变式1】设函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)讨论函数在区间上零点的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求得导函数，是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可； （2）先对参数分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可. 【详解】（1）因为，所以， 则， 所以，切线方程为 即 （2）由（1）知，. ①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点. ②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点. ③当时，在区间上小于零，在区间上大于零， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 而. 当，即时，在区间上有两个零点. 当，即时，在区间上有一个零点. 综上可知，当或时，在上有一个零点， 当时，在区间上有两个零点. 【变式2】已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【解析】（1）当时，， 令，得或； 令，得或; 令，得或; 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由，得 设函数， 讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数， 由知， 当时，在上单调递减; 当时，在上单调递增. 当时，在区间内取最小值. 又，且当时，， 综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点; 当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点， 当时，函数函数与直线在区间内有2个交点. 【变式3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， . 若，则恒成立，在上单调递增； 若，则当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）， 则， 又因为函数单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，， ， 所以在和上各有一个零点. 当时，的最小值为，且， 所以在上至多只有一个零点. 综上，实数的取值范围是. 【变式4】已知函数，其中为参数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间. （2）结合（1）中的单调性，结合零点存在性定理、构造函数法以及导数来求得的取值范围. 【详解】（1），得． 当时，，在上单调递增, 当时，，；，． 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1），当时，，单调递增，不满足题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 因为函数有两个零点，所以， 得． 当时，因为，而，又在上单调递减， 所以由零点存在性原理可知：在内有一个零点 当时，， ． 设， ，由，；，， 故函数在上单调递减，在上单调递增． ． 所以． 又在上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在内有一个零点． 综上，时，函数有两个不同的零点． 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 【变式5】已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 【考点15 方程的根问题】 例15．已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 【解析】（1）因为，所以. 令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 故的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3. （2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减. 因为，， 当时，，当时，， 且方程有三个不同的根，所以 所以的取值范围是. 因为，所以，故整数的值为. 【变式1】已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【解析】（1）由，得，则. 因为，， 所以的图象在点处的切线方程为. （2）显然不符合题意， 又， 当时，可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 且当时，， 当时，， 所以，化简可得， 因为在上单调递减，且， 所以不等式的解集为. 当时，可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则， 且当时，， 当时，， 所以关于x的方程不可能有两个不同的实数解. 综上，a的取值范围为. 【变式2】已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【解析】（1）， 当时，；当时，， 在单调递增，单调递减， 的极大值点为1，无极小值点； （2）方程在区间上只有1个解，理由如下： 令， 则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 在有一个零点，在无零点， 所以方程在区间上只有1个解. 【变式3】设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若已知，且的图象与相切，求的值； (3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）因， 则， 设函数与直线相切的切点是， 因为，所以， 所以有， 可得， 又，相减得， 所以，所以， 解得：； （3）时，， 的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根， 设函数，则， 时，或时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 时取极大值时取极小值， 所以的取值范围为． 【考点16 双变量问题问题】 例16．设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【解析】（1）由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，得，函数单调递减； 令，得，函数单调递增； 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）得若，是函数的两个零点，则必有， 令，得， 令，则， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 若有且仅有2个零点，则必有一个小于，一个大于， 所以，且， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设， 则，令， 则，令， 则，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 即的最小值为. 【变式1】已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【解析】（1）若，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； （2）， 令，可得， 由题意可得，是关于方程的两个实根， 所以，， 由，有， 所以， 将代入上式，得， 同理可得， 所以， ，①， 令,①式化为， 设，即， ， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，在上单调递减， 又， ， 当时，的最小值为4，即的最小值为2， 因为在上单调递减，的最大值为， 所以的最大值为. 【变式2】设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 【解析】（1）设切点为，， 所以切线方程为， 因为直线是曲线的切线， 所以，即， 化简切线方程得， 所以，解得， 所以. （2）， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意知，， 令， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得， 所以在上单调递减， 因为， 所以，中至少有一个大于（否则若，有，这与矛盾）， 不妨设，， 所以， 所以， 令 ， 因为，所以，即，又， 所以，即， 可得， 所以. 【考点17 极值点偏移问题】 例17．已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【解析】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以. （2）证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 【变式1】已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【解析】（1）易知的定义域为， ， 由，得在上恒成立. 设， 则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递 减，所以， 所以， 故的取值范围为. （2）证明：由题意可知有两个零点， 即， 不妨设，则， 要证，即证， 即证， 即证， 即证， 令，则，只需证. 设，则， 所以在上单调递增， 则，则， 故. 【变式2】已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，求证：. 【解析】（1）当时，函数，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （2）不等式，令， 求导得，当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，因此，则， 所以的取值范围是. （3）由，得，由（2）知，是直线与函数图象的两个交点的横坐标， 而，当时，恒成立，因此有两个零点时，， 由两边取对数得，于是， 则，整理得， 令，由，得，即有， 则，解得，由，得， 因此，令，求导得， 令，求导得，即在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递增，， 于是，所以. 【考点18 利用导数解决实际问题】 例18．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式； （2）把米代入到y的解析式中并求出令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可． 【详解】（1）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个， 则. （2）当米时，， ， 且时，，则单调递增， ，，则单调递减， ，需新建桥墩个． 【变式1】某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【解析】（1）由题意可知，销售收入为万元， 当产量不足万箱，即时， . 当产量不小于万箱，即时， . 综上可得. （2）设， 当时，， 则当时，当时， 可知在上单调递增，在上单调递减. 则， 当时，由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元. 【变式2】为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元. （参考数据：，，） (1)求函数的解析式； (2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元 【分析】（1）依题设： ，由条件当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元可得，进而求出函数的表达式； （2）求导，利用导数的正负判断函数的单调性，进而求出最值即可. 【详解】（1）依题设： 当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得： ，可得：，∴； ∴ . （2）由（1）得， ， ∵∴时，，单调递增， 时，，单调递减， ∴时，取得极大值也是最大值， ， ∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元. 过关检测 一、单选题 1．（2024高二下·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数. 【详解】 ． 故选：B. 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 3．（2019·山东济南·一模）已知函数，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则，从而可得，构造函数，对函数求导，得出函数的单调性与最值，从而得解. 【详解】令，则， 所以，， 所以. 令，则， 则在上单调递减， 在上单调递增，故， 故的取值范围是. 故选：B. 4．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 5．（18-19高二下·新疆乌鲁木齐·期中）若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，并通过讨论 的取值范围，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】由题意得， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极大值，也是最大值，为， 解得，不符合题意； 若，则当时，，且不恒为0， 故在上单调递减，，不符合题意； 若，则当时，，在上单调递减， ，解得，符合题意. 故选：D. 6．（24-25高三上·北京·期末）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解. 【详解】设直线与相切于点， 由，则， 所以切线方程为，又切线过， 所以，解得， 所以，作出及切线的图象，如图， 由图象可知，当时，成立. 故选：D 7．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 8．（24-25高三上·广西·期末）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的性质比较大小，应用导数研究函数的区间单调性，进而比较大小. 【详解】由，则，而， 所以， 又，显然上，即在上递减， 所以. 故选：D 9．（24-25高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值． 【详解】函数，求导得， 在处的切线斜率为， 又在处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数零点问题转化为两个函数交点个数问题，从而变成求曲线切线问题，设切点求得到切线方程得到的值，再由建立不等式，求出的取值范围. 【详解】由可得，要使恰有一个零点， 只需函数的图像与直线相切， 设切点坐标为， 由，可得， 则切线方程为， 即， 故需使，. 由可得，解得. 故选：A. 11．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 12．（24-25高三上·河北·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，令，可得为奇函数，则的图象关于点中心对称，可得，由可得， 利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】根据题意，函数， 所以， 令， 则，所以为奇函数， 所以的图象关于点中心对称，所以， 由，可得， 所以， 由， 则， 所以函数单调递减， 由可得，， 即，解得，实数a的取值范围是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：令，证得为奇函数，可得的图象关于点中心对称，由可得，再利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 二、多选题 13．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 14．（2024·安徽·模拟预测）设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 【答案】ABD 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，， 因为，所以，， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B选项，当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象由三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD． 15．（24-25高三上·广西·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．曲线在点处的切线斜率为 C．， D．不等式对恒成立 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义即可求解A，利用导数的几何意久可求解B，利用作差法可判断C，构造函数，利用导数求得函数的最值，从而可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为关于原点对称， 又，故为偶函数，A正确， 对于B，，故， 故在点处的切线斜率为，B正确， 对于C，， 当时，，则，故C错误， 对于D，令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于，构造函数，分别求得的最小值，从而得解. 16．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知是偶函数，是奇函数，且，则（    ） A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称 C． D．是偶函数 【答案】AD 【分析】先根据函数，的奇偶性及，结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数，即可得A；由，，即可得到的图象的对称中心，进而判断选项B；利用倒序相加法及即可判断选项C；由，对两边同时求导后结合，并对两边同时求导即可判断选项D． 【详解】对A：由是偶函数，则，故， 则， 即有，又是奇函数，则， 即有，则，， 即周期为，故A正确； 对B：由，， 则， 即，故的图象关于点中心对称，故B错误； 对C：由， 则， 则 ， 故，故C错误； 对D：由，则， 又，则， 故为偶函数，故为偶函数，故D正确. 故选：AD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 17．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．是的极小值点 C．若，则 D．若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，判断A，B；由题意得，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，可判定C；设出切点，写出切线方程，将点P代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围，判断D. 【详解】根据题意，， 则当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以是的极小值点，且， 所以的值域为，A错误，B正确； 由，可得，， 令，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标， 因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，两点关于直线对称， 因此，即，C正确； 设切点为，所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 即方程有两个解，则，解得或，D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项C中把，看成函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，且函数的图象与函数的图象关于直线对称是解题关键点. 三、填空题 18．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知函数的两个极值点为，且，则则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，为方程的两根，列出韦达定理，将不等式变形为关于实数的不等式，即可解得实数的最小值. 【详解】函数定义域为，且， 因为函数有两个极值点，则，可得， 由题意可知，为方程的两根， 由韦达定理可得， 所以 ，解得，所以， 因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握立方和与完全平方公式，从而得解. 19．（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 【答案】 【分析】求导确定函数的单调性，从而可得的最小值，再根据复合函数的最值设则，由此可得的最值，从而可得有解，构造函数，，求导确定单调性得实数m的取值范围，即可得实数m的的最小值. 【详解】由题可得，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 对于函数，设，则， 则当时，取得最小值， 所以有解，即有解. 令，，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，为. 因为有解，所以. 故m的最小值为. 故答案为：. 20．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 【答案】9 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，再结合切点同时满足直线方程与曲线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由，得. 又∵直线l的斜率为，∴. 又点在直线和曲线上，∴. 联立①②可得，故直线l的方程为. 设直线与曲线相切于点.由，得. 又∵直线l的斜率为3，. 又点在直线和曲线上，∴ 联立，解得，. 故答案：9. 21．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知拋物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处切线平行于的一条渐近线，则 . 【答案】/ 【分析】利用双曲线方程求焦点和渐近线，再利用直线与抛物线联立方程组求交点，结合导数求切线斜率，最后由斜率相等可得方程求解即可. 【详解】由双曲线可知：右焦点，渐近线方程为：， 而抛物线的焦点， 所以直线，与抛物线联立方程组得： ，整理得：， 解得：或（因为交点在第一象限，所以舍去） 再求导得：，所以在点处的切线斜率为， 由于切线与双曲线渐近线平行得：， 整理得：，平方得：， 解得：， 故答案为：. 22．（24-25高三上·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先不等式转化为，恒成立，转化为求函数的最值，并求得，再讨论的正负，转化为，转化为的最大值，即可求解. 【详解】，则， 所以不等式恒成立，即，恒成立， ，，所以 设， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取值最大值， 所以，即， 当时，， 当时，， 设，，，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题转化为2次最值，一次是参变分离为，，转化为求函数的最值，第二次是转化为，转化为求函数的最值. 23．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先对不等式进行指对同构变形得到，再构造函数，利用函数的单调性转化为，再利用参变分离，转化为函数的最值问题，即可求解. 【详解】由题意，得，恒成立即，恒成立. ，恒成立，化简可得，， ，， 令，，故单调递增， ，，令， ， 当时，，当时，，时，取最大值为， ，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是指对同构，构造函数. 24．（24-25高三上·天津河东·期末）已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】函数有三个不等零点转化为方程有三个不等实根. 分两种情况讨论：当时，，令，结合的单调性讨论根的情况；当时，得，当时，显然方程无实根；当时，，令，利用导数研究函数的性质，作出函数图象，数形结合得答案． 【详解】由有三个不等零点，等价于有三个不等实根， 当时，， 由，得， 即， 令， 由于在上单调递增，故， 故当时，方程无实根； 当时，方程在上有一实根． 当时，，由，得 当时，显然方程无实根； 当时，，令，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在单调递减； 即当时，函数取得极大值 ；；当时，；当时，， 作出函数的图象如图， 要使有三个不等实根，需满足：在上有一实根，在上有两个实根． 由图可知与的图象有两个交点时，，即， 综上，，即实数的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于零点问题常转化成方程根的个数问题，分离常数后构造函数，讨论单调性，数形结合利用两函数图像的交点得到参数的范围. 四、解答题 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值； （2）求出导数，分，，，讨论判断单调性，求解. 【详解】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． （2），， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 26．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知函数，其中是常数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解； （2）易知当时，无极值；当）时，利用导数讨论函数的单调性求出极值即可. 【详解】（1）当时，，所以． 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即． （2）依题意，． 当时，由（1）可知，， 所以在上单调递减，无极值． 当）时，． （i）当时． ，所以在上单调递减，无极值． （ii））时． 时．在上单调递增， 时，在上单调递减． 所以时，取极大值，无极小值． 综上，当时，无极值； 当时有极大值，无极小值. 27．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 28．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由导数确定单调性得极值点； （2）由（1）不等式转化为，引入函数令，由导数求得最小值后可证． 【详解】（1）由，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极大值点，即． （2）由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以． 29．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）（i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 30．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数，. (1)讨论函数零点的个数； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先讨论时的零点情况，再将时的零点情况转化为与的图象交点情况，再利用导数分析的大致图象，从而得解； （2）分类讨论、与的情况，利用导数分析得，再构造函数，利用导数求得其最大值，从而得解. 【详解】（1）因为，， 当时，，所以的零点个数为0； 当时，由得， 令，则， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，；当时，，，， 作出的大致图象，如图， 所以当，即时，与的图象没有交点； 当，即时，与的图象有3个交点； 当，即时，与的图象有2个交点； 当，即时，与的图象有1个交点； 综上，当时，函数有0个零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. （2）因为，所以， 因为，则， 令，则， 当时，由与的性质可知， 当时，，， 所以不恒成立，不符合题意； 当时，，只需，所以； 当时，则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减， 所以，即， 所以， 令，，则， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以，所以， 当且仅当，时，， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$