复习专题07 等比数列及其前n项和12种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题07 等比数列及其前n项和12种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 等比数列有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． 注：（1）等比数列通项公式的推导 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． （2） 由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； （3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； ③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． ④等比中项与等差中项的异同，对比如下表： 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 知识点3 等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 注：用定义法证明时，和中的n的范围不同 知识点4 等比数列的性质 （1） 在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； 注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． （2）在等比数列中，对任意，，； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. 注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. (4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同； （4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． （5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. （6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （7）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． (2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． (3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． (4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 知识点6 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 注：（1）等比数列前n项和公式的推导 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． （2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个 （3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆； （4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1. （5）等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. （Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.） 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 知识点7 等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而(S2n－Sn)2＝2，Sn(S3n－S2n)＝×， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． 注：若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 知识点8 等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 解题策略1、等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解； （2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． (3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝，当q>1时，用公式Sn＝(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误． （5）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 解题策略2、等比中项要注意的问题 两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方. 解题策略3、等比数列的证明方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 解题策略4、等比数列项的性质应用 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．　 解题策略5、判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列． 解题策略6、处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算． (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 解题策略7、处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法 等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 考点剖析 【考点1 等比数列的通项公式及应用】 例1．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【变式1】在等比数列中，若，，则___________. 【变式2】若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【变式3】在等比数列中，，，则______. 【变式4】已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知为等比数列，公比，则（    ） A．81 B．27 C．32 D．16 【考点2 等比数列前n项和公式及应用】 例2．在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】【多选】等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】【多选】已知等比数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】已知等比数列的前项和为，，则（    ） A．16 B．8 C．6 D．2 【考点3 等比数列的判定或证明】 例3．已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【变式1】【多选】已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【变式2】数列中，，． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【变式3】在数列和中，，且是和的等差中项. (1)设，求证：数列为等比数列； (2)若的前n项和为，求证：. 【考点4 等比中项及应用】 例4．已知是正项等比数列中的连续三项，则公比__________. 【变式1】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【变式2】设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，则（   ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 【考点5 等比数列性质的应用】 例5．已知等比数列中，，，则的值是 ． 【变式1】已知数列为各项均为正数的等比数列，若，则（    ） A．5 B． C． D．无法确定 【变式2】已知等比数列满足：，，则的值为___________. 【变式3】在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【变式4】在9与1之间插入5个数，使这7个数成等比数列，则插入的5个数的乘积为______________. 【考点6 等比数列的单调性和最值】 例6．已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】在等比数列中， ，，且，则 . 【变式3】设等比数列满足，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 【变式4】试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________. 【变式5】已知等比数列的前项积为，，则的取值范围为 【考点7 前n项积】 例7．已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】【多选】已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】【多选】设等比数列的前项积为 并满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时， 【考点8 等比数列的片段和性质的应用】 例8．已知等比数列中，前项和为，且，．求． 【变式1】已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则______. 【变式2】设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 【变式3】设是等比数列的前n项和，若，则 . 【考点9 等比数列奇偶项和的性质】 例9．已知等比数列的公比，且，则___________. 【变式1】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______. 【变式3】已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 【考点10 等比数列前n项和公式的特征及应用】 例10．在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【变式1】设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列的前项和，求的通项公式__________. 【变式4】设数列的前项和为，若，，则______. 【考点11 等比数列求和中的最值范围问题】 例11．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【变式1】已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点12 等比数列的简单应用】 例12．《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（    ） A． B． C． D． 【变式1】小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【变式2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 【变式3】朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为，前六个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 过关检测 一、单选题 1．（23-24高三上·山东·期中）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．15 C．或 D． 2．（24-25高二上·河北衡水·期末）正项等比数列的前n项和为，则等于（   ） A．9 B．72 C．70 D．48 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 4．（24-25高三上·湖南永州·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（　　） A．15 B．18 C．31 D．63 5．（2019·江西宜春·一模）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，，则（   ） A．2025 B．2529 C．2026 D．2275 6．（24-25高三上·河北·期末）已知等比数列的前n项积为，若，则（   ） A． B．2 C． D．4 7．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．48 B．90 C．96 D．162 8．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 9．（18-19高一下·福建福州·期中）设等比数列的前n项和为，且满足，，若，则数列的前10项和是（   ） A． B． C．25 D．35 10．（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 11．（24-25高三上·吉林·期末）已知数列是公差为的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．9 12．（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ）（其中，，） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 13．（24-25高三上·河北保定·期末）在等比数列中，已知，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 14．（24-25高三上·山东泰安·期末）定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知数列满足，（）.记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（24-25高二上·甘肃白银·期末）记为等比数列的前项和，若，则满足不等式的的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 18．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（    ） A．数列为等比数列 B． C． D．若为数列的前项和，则 19．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 20．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，则（    ） A． B．若，则 C． D．若，则当最小时， 三、填空题 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 22．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列中，，则 ． 23．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，则 ；设数列的前项和为，则 ．（第二个空结果用指数幂表示） 24．（24-25高三上·江苏泰州·期中）记为等比数列的前项的和，若，，则 ． 25．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则 （结果用幂表示） 26．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在等比数列中，，则 . 27．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知数列满足，记的前n项和为，若，则 ；若，则 ． 四、解答题 28．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知数列如以公比为3，首项为3的等比数列，且． (1)求出的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 29．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 30．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 31．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知数列的首项，设为数列的前项和，且有. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 32．（2024·吉林·三模）已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. (1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； (2)若为的“伴随数列”，证明：； (3)已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 33．（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）； (3)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题07 等比数列及其前n项和12种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 等比数列有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． 注：（1）等比数列通项公式的推导 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． （2） 由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； （3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； ③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． ④等比中项与等差中项的异同，对比如下表： 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 知识点3 等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 注：用定义法证明时，和中的n的范围不同 知识点4 等比数列的性质 （1） 在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； 注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． （2）在等比数列中，对任意，，； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. 注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. (4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同； （4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． （5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. （6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （7）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． (2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． (3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． (4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 知识点6 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 注：（1）等比数列前n项和公式的推导 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． （2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个 （3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆； （4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1. （5）等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. （Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.） 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 知识点7 等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而(S2n－Sn)2＝2，Sn(S3n－S2n)＝×， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． 注：若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 知识点8 等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 解题策略1、等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解； （2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． (3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝，当q>1时，用公式Sn＝(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误． （5）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 解题策略2、等比中项要注意的问题 两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方. 解题策略3、等比数列的证明方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 解题策略4、等比数列项的性质应用 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．　 解题策略5、判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列． 解题策略6、处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算． (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 解题策略7、处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法 等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 考点剖析 【考点1 等比数列的通项公式及应用】 例1．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质即可得出. 【详解】设等比数列的公比为， . 故选：D. 【变式1】在等比数列中，若，，则___________. 【答案】32 【分析】利用等比数列通项公式得，则得到，则. 【详解】设公比为，即，即， 得，所以. 故答案为：32. 【变式2】若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列定义知，求解即得答案. 【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，. ∵， 即 解得 故选：C. 【变式3】在等比数列中，，，则______. 【答案】 【分析】利用等比数列的性质求出，继而算出，即可得到答案 【详解】因为数列是等比数列，设其公比为， 所以 又，所以，所以，， 所以 故答案为： 【变式4】已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 【变式5】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可得出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 故. 故选：C. 【变式6】已知为等比数列，公比，则（    ） A．81 B．27 C．32 D．16 【答案】A 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】根据可得，所以或， 若，则不符合要求， 若，则符合要求，故， 故选：A 【考点2 等比数列前n项和公式及应用】 例2．在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】在等比数列中，，，，所以， 由，及通项公式， 可得，解得.故选：B. 【变式1】【多选】等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【解析】根据题意设等比数列的首项为，公比为， 当时，由可得，则满足题意，此时； 当时，由可得， 两式相除整理可得，解得，此时. 综上可得或.故选：BD 【变式2】【多选】已知等比数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设数列的公比为，由题意可得， 则有，， 即， 故，则，即， 故，则， 故B、C、D正确，A错误.故选：BCD. 【变式3】已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列通项公式基本量计算出公比，进而求出首项和. 【详解】，，即，， 则， 所以，由，则， 由，则，所以． 故选：D 【变式4】已知等比数列的前项和为，，则（    ） A．16 B．8 C．6 D．2 【答案】D 【分析】先利用等比数列前项和公式及性质求出公比，然后利用等比数列通项公式求出首项即可. 【详解】设等比数列的公比为q， 由， 即， 可得，即， 又，所以． 故选：D. 【考点3 等比数列的判定或证明】 例3．已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 【变式1】【多选】已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列. 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于C，，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 【变式2】数列中，，． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）解：由（1）可知，，所以， 又由题知 . 【变式3】在数列和中，，且是和的等差中项. (1)设，求证：数列为等比数列； (2)若的前n项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等差中项整理得，两边同时除以，得即可证明； （2）应用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）依题是和的等差中项， 则，即， 两边同时除以，得， 即，则， 由， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，则， 则， 则 ， 因为，则，故. 【考点4 等比中项及应用】 例4．已知是正项等比数列中的连续三项，则公比__________. 【答案】 【分析】根据等比中项的知识求得，进而求得. 【详解】由于是正项等比数列中的连续三项， 所以且，解得（负根舍去）， 所以. 故答案为： 【变式1】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据已知得出，，即可根据等比中项结合已知列出式子，求解得出答案. 【详解】数列是公差为2的等差数列， ，， 成等比数列， ，即，解得， 故选：C. 【变式2】设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，则（   ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】 把等差数列中的项用基本量和表示，根据已知条件列方程组求解即可. 【详解】 设数列的公差为， 则，解得， 所以 故 故选：C. 【考点5 等比数列性质的应用】 例5．已知等比数列中，，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】在等比数列中，若，则.利用该性质可解决这个问题. 【详解】因为数列是等比数列，所以：，∴. 故答案为： 【变式1】已知数列为各项均为正数的等比数列，若，则（    ） A．5 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质可得，再利用各项均为正数即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得：，， 所以可化为， 即，又因为数列为各项均为正数，所以， 故选：. 【变式2】已知等比数列满足：，，则的值为___________. 【答案】 【分析】利用等比数列得性质得出，再将所求式子通分代入即可求得. 【详解】因为为等比数列，所以， 故答案为：10 【变式3】在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【分析】由韦达定理可得，则由等比数列性质可得，后由对数运算性质可得答案. 【详解】由题意及韦达定理可得，由等比数列性质可得， 故. 故选：B 【变式4】在9与1之间插入5个数，使这7个数成等比数列，则插入的5个数的乘积为______________. 【答案】. 【分析】根据等比数列的性质计算即可. 【详解】设这7个数组成的等比数列为{an}， 则， 所以，故 插入的5个数的积为. 故答案为：. 【考点6 等比数列的单调性和最值】 例6．已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义分析判断. 【详解】当时，数列不一定为递增数列，如数列，公比，而此数列为递减数列， 当为递增数列时，，则 或， 所以当为递增数列时，成立， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1】数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案. 【详解】由已知，解得或，， 此时数列不一定是递减数列， 所以是“数列递减”的非充分条件； 若数列为递减数列，可得或，所以， 所以是“数列递减”的必要条件. 所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2】在等比数列中， ，，且，则 . 【答案】64 【分析】根据等比数列性质结合题设求得，继而求出，再利用，即可求得答案. 【详解】等比数列中 ，， 故，结合，以及可得， 设等比数列公比为q，则， 故， 故答案为：64 【变式3】设等比数列满足，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 【答案】D 【分析】结合已知条件，求出的通项公式，然后求解当时的范围，进而可得到答案. 【详解】因为等比数列满足，， 所以， 从而， 故，则数列是单调递减数列， 当时，， 故. 故选：D. 【变式4】试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】设，根据得到和q的关系，再结合数列单调递减和数列不具有单调性判断q的范围，取一个符合条件的q值，求出对应的即可得到答案． 【详解】设， 由得，， ∵数列不具有单调性，∴， 又∵数列单调递减，故， 综上，，不妨取，则． 经检验符合题意． 故答案为：． 【变式5】已知等比数列的前项积为，，则的取值范围为 【答案】 【分析】依题意可得，根据下标和性质得到，则，再根据对勾函数的性质计算可得. 【详解】解：等比数列的前项积为， ， ， ， 即， 故， 令，，因为在上单调递增，又，，所以， 所以，则； 故答案为：． 【考点7 前n项积】 例7．已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 【变式1】【多选】已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论． 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 【变式2】【多选】设等比数列的前项积为 并满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时， 【答案】BCD 【分析】首先根据题意得到，从而得到，所以，即等比数列为递减数列.对选项A，根据数列的单调性即可判断A错误，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C正确，对选项D，根据，当时，，即可判断D正确. 【详解】，所以，即. 所以. 因为，所以，即等比数列为递减数列. 对选项A，因为为递减数列，所以，故A错误. 对选项B，因为， 因为，所以，即，故B正确. 对选项C，因为等比数列为递减数列，， 所以，，即当时，取最大值，故C正确. 对选项D，， 又因为，， 所以当时，，当时，，故D正确. 故选：BCD 【考点8 等比数列的片段和性质的应用】 例8．已知等比数列中，前项和为，且，．求． 【答案】210 【分析】根据成等比数列，列出方程，求出. 【详解】因为等比数列中，前项和为，易知公比不是-1 所以成等比数列， 即，解得：. 【变式1】已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则______. 【答案】600 【分析】根据等比数列片段和性质得到，求出，然后用等比数列片段和性质得到即可求解 【详解】设等比数列的公比为 因为等比数列的前n项和为，所以，，，成等比数列， 因为，，所以， 解得或，因为， 所以，则， 由，，成等比数列， 可得即，解得， 故答案为：600 【变式2】设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 【答案】91 【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解. 【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列， 则，，成等比数列，∴，∴， ∴. 方法二：设公比为，由题意显然且,所以， ∴， 故答案为：. 【变式3】设是等比数列的前n项和，若，则 . 【答案】 【分析】设，利用等比数列的性质求出即得解. 【详解】解：设，所以 因为数列是等比数列，所以成等比数列， 因为数列的公比为2， 所以， 所以. 所以. 故答案为： 【考点9 等比数列奇偶项和的性质】 例9．已知等比数列的公比，且，则___________. 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 【变式1】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 【变式2】已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______. 【答案】 【分析】利用以及已知条件可求得的值. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， 由，得，因为，所以，所以，. 故答案为：. 【变式3】已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 【考点10 等比数列前n项和公式的特征及应用】 例10．在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 【变式1】设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 故选：C. 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D. 【变式3】已知数列的前项和，求的通项公式__________. 【答案】 【分析】求出首项，当时，根据求得，验证首项后，即可确定答案. 【详解】当时，， 当时，， 而不适合上式， 故的通项公式为. 故答案为：. 【变式4】设数列的前项和为，若，，则______. 【答案】 【分析】根据递推关系式，得，即可得数列是以为首项，为公比的等比数列，按照等比数列通项公式求出，即可得的值. 【详解】解：设数列的前项和为，若，， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以，即，所以. 故答案为：. 【考点11 等比数列求和中的最值范围问题】 例11．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由，得，则， 对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误； 对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误； 对于D，当时，；当时，， 若为奇数，；若为偶数，， 而， 因此当时，对任意整数，，D正确. 【变式1】已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，则，且， 两式相减得：，因为，所以，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 由于随n的增大而减小，故单调递增，所以， 综上，.故选：C 【考点12 等比数列的简单应用】 例12．《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意归纳得出第截去，再计算第n天后共截去原来的，故可得第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的比值. 【详解】解：由题可知第一天长， 第二天截去， 第三天截去， 第四天截去， 依次可得：第n天截去：， 故第n天后共截去， 所以到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的. 故选：B. 【变式1】小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【解析】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．故选：C． 【变式2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 【答案】192 【解析】设第一天走里，则每日行走里程构成以为首项，为公比的等比数列. 由题意得，解得， 所以该人第一天走的路程为192里. 故答案为：192 【变式3】朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为，前六个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列的知识即可求得结果. 【详解】由题意可知一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则可以将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍， 所以，即，所以， 所以，， 所以， 故选：A 过关检测 一、单选题 1．（23-24高三上·山东·期中）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．15 C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即，即， 解得或（舍去），又，所以. 故选：B 2．（24-25高二上·河北衡水·期末）正项等比数列的前n项和为，则等于（   ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【分析】利用等比数列定义以及前n项和公式计算可得结果. 【详解】由题意可得，设等比数列的公比为q， 可得． 故选：D． 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得， 则，化简可得，解得或， 故选：D. 4．（24-25高三上·湖南永州·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（　　） A．15 B．18 C．31 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得其公比与首项，再由等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，等比数列为等比数列，设其公比为， 因为，所以， 变形可得：， 又，所以， 因为，解得， 所以， 故选：C． 5．（2019·江西宜春·一模）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，，则（   ） A．2025 B．2529 C．2026 D．2275 【答案】D 【分析】可以先通过，以及是正项等比数列计算出数列的通项公式，然后通过数列是等差数列、以及计算出数列的通项公式，最后通过数列、数列的通项公式即可得答案． 【详解】设数列的公比为， 由，得， ，∴，解得或（舍）. ∴， ∴，， ∵数列是等差数列，设公差为d， 由，， 得，解得， ∴， ∴. 故选：D. 6．（24-25高三上·河北·期末）已知等比数列的前n项积为，若，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由已知，结合等比数列下标和性质即可求出. 【详解】根据题意，等比数列的前n项积为， 则，所以. 故选：B． 7．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．48 B．90 C．96 D．162 【答案】B 【分析】分和，利用等比数列前n项和公式列方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，，无解不合题意； 当时，，解得， . 故选：B. 8．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 9．（18-19高一下·福建福州·期中）设等比数列的前n项和为，且满足，，若，则数列的前10项和是（   ） A． B． C．25 D．35 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式及等比数列前n项和公式基本量运算得出，再应用等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为q，由题意易知， 则解得 所以，所以， 所以数列的前10项和． 故选：C． 10．（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 11．（24-25高三上·吉林·期末）已知数列是公差为的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列的概念可得，即，由等比数列的概念与计算可得结论. 【详解】因为数列是公差为的等差数列， 所以，且， 所以，则数列是公比的等比数列， 则. 故选：B. 12．（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ）（其中，，） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】计算出年该市投入的资金，再利用等差数列和等比数列的求和可求得结果. 【详解】由题意可知，从年到年该市每年投入的资金成等差数列，且首项为，公差为（单位：万元）， 则年该市投入的资金为（万元）， 由题意知，从年开始，每年投入的资金成等比数列，且首项为（万元）， 公比为， 因此，到年底该市生态环境建设投资总额约为（万元）. 故选：B. 13．（24-25高三上·河北保定·期末）在等比数列中，已知，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由等比数列片段和的性质求解即可； 【详解】由题意可得公比不为1，则，， 因为为等比数列，所以也为等比数列， 所以，解得. 故选：C. 14．（24-25高三上·山东泰安·期末）定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为为等差数列，则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故B错误； 对于选项C：当为偶数时，， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故C错误； 对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列， 则， 可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确； 故选：D. 15．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知数列满足，（）.记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得，利用倒数法与放缩法分析得，再由累加法得到，进而得到，再利用累乘法与裂项相消法分析得，从而得解． 【详解】因为，，所以，，所以， 而， ，故，，， 由累加法可得当时，， 又因为当时，也成立，所以， 所以， ，故， 由累乘法可得当时， ， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是，利用倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，从而得解. 二、多选题 16．（24-25高二上·甘肃白银·期末）记为等比数列的前项和，若，则满足不等式的的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比及首项，进而求出其前项和，再列式解不等式即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，又，解得， 因此， 整理得，解得，所以的值可能为5，6，7. 故选：ABC 17．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列. 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 18．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（    ） A．数列为等比数列 B． C． D．若为数列的前项和，则 【答案】ACD 【分析】对于A，将条件进行变形即可构造数列；对于B，由A用累加法即可求数列的通项；对于C，由A得，即可判断；对于D，由B利用分组求和即可得到. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以数列为公比为3的等比数列,所以A正确; 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以,故C正确； 由累加法得,所以B错误； 由分组求和得, 所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： 递推关系的解法：理解递推数列的性质，并通过累加法求解通项公式. 等比数列的性质：通过分析递推关系得出等比数列的公比和性质. 分组求和技巧：利用分组求和技巧计算前项和. 19．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式及前项和，再逐项分析、计算即得. 【详解】等差数列中，，解得， ，解得， 于是等差数列的公差，， 前项和， 对于A，显然，为非零常数， 因此数列是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数， 因此当或时，取得最大值，C错误； 对于D，，显然数列是等差数列， 因此，D正确. 故选：AD 20．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，则（    ） A． B．若，则 C． D．若，则当最小时， 【答案】ACD 【分析】根据的关系，作差即可根据等比数列的性质求解公比，即可求解A,计算即可判断B，根据等比求和公式即可求解C，根据的单调性，结合时，即可求解D. 【详解】对于A，由可得，由于数列是等比数列，故公比为2， 由，则，A正确； 对于B，，则B错误； 对于C，，所以，C正确； 对于D，，所以数列单调递增，又当时，；当时，，所以当最小时，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 【答案】 【分析】由，又，，成等比数列，求出，即可求出的值. 【详解】由题意得，则， 因为，，成等比数列，故， 即，解得， 故. 故答案为：. 22．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列中，，则 ． 【答案】或 【分析】根据等比数列的性质可求的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得或． 当时，，所以； 当时，，所以． 故答案为：或. 23．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，则 ；设数列的前项和为，则 ．（第二个空结果用指数幂表示） 【答案】 60 【分析】根据递推公式，依次求和；当为奇数时，令，可得，当为偶数时，令，可得，即可求得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法，即可求解. 【详解】由得，进而得； 当为奇数时，，令，则， 当为偶数时，，令， 则， 则， 当时，，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 则 当为奇数时，由，则， 所以， 当为偶数时，由，则，所以， 所以， 所以， 所以， . 故答案为：； 24．（24-25高三上·江苏泰州·期中）记为等比数列的前项的和，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解，注意讨论公比是否为1. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，这与已知，是矛盾的， 所以，从而，， 将上面两个等式的两边分别相除，得，解得， 由此可得，因此． 故答案为：. 25．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则 （结果用幂表示） 【答案】 【分析】先根据成等差数列求出公比，再根据等比数列通项公式求出. 【详解】已知成等差数列，则根据等差数列性质可得. 因为，设等比数列的公比为（），则，. 将，，代入可得： ， 解得或（公比不为，舍去）. 由等比数列通项公式，则. 故答案为：. 26．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在等比数列中，，则 . 【答案】12 【分析】根据等比数列的通项公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，所以， 所以， 故答案为：12. 27．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知数列满足，记的前n项和为，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，当时，得到数列是以为周期的周期数列，进而求得的值，当时，得到，进而求得的值. 【详解】由知数列满足，记的前项和为， 若，， 则，， 所以数列是以为周期的周期数列，一个周期的和为， 所以. 当时，， ， ， 因为时，可得，则以三个为一组循环， 且， 则 . 故答案为：99，. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于，分析数列的前若干项，得到其具有周期性质，再利用分组求和法即可得解. 四、解答题 28．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知数列如以公比为3，首项为3的等比数列，且． (1)求出的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式. （2）由得，利用错位相减法求出，不等式可转化为，利用的单调性求出最小值即可. 【详解】（1）∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴， ∴当时，， 即，∴，∴. 又也满足上式，∴数列的通项公式为； （2）由（1），可得， ∴①， ②， 由①-②，得， ∴， ∴不等式可化为， 即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为. 又，所以， 综上，λ的取值范围是. 29．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解； （2）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 解得， . （2）设等比数列的公比为，又，又，即， 又，解得或（舍去），即， 所以，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， . 30．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和. 【详解】（1）因为①， 当时，②， ①②，得． 所以，当时，，满足上式， 所以的通项公式为． （2）由（1）知，得， 则③， ④， ③④得 ， 所以． 31．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知数列的首项，设为数列的前项和，且有. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式； （2）利用错位相减法求和方法进行求和即可 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减，得，即， 即对恒成立，所以是常数列， 所以，所以 （2）由（1）知，， 所以， 所以， 两式相减，得， 所以 32．（2024·吉林·三模）已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. (1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； (2)若为的“伴随数列”，证明：； (3)已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 【答案】(1)存在，“伴随数列”是15,13,11,10 (2)见解析 (3)的最大值为 【分析】（1）根据定义求出即可； （2）证明即可得出； （3）首先证明的伴随数列是存在的，最小的，然后确定得到范围，求得到最大值，由（2）知，利用累加法可得，得出，从而，（是整数）又由知是的正约数，这样得出得到最大值为，构造数列，，它存在伴随数列，从而得证. 【详解】（1），, ,，均为正整数， 所以数列4，10，16，19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是15,13,11,10. （2）因为数列存在“伴随数列”， 所以，且， 所以， 所以，即， 所以. （3）①因为，，其中， 当时，，，有，均为正整数， 即当时，数列1,2025存在“伴随数列”：， 因此的最小值为2； ②一方面，由（2）知，， 于是， 所以， 另一方面，由数列存在“伴随数列”，知， 所以是的正约数， 取， 即取， 综合上述为最大值，取，， 当时， ，符合条件， 当，，符合条件 因此的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义， 新定义求解，在求的最大值时，注意数列与不等式的综合应用，解题时分两个方面，两方面确定满足题意的伴随数列存在，至少是可以的，另一方面，确定得到最大值，利用累加法估计出得到范围，再由伴随数列的性质得出满足的性质，由这两个确定出得到最大值，但要构造出一个满足题意的数列，它的项数是，且存在伴随数列. 33．（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）； (3)求. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）求出，从而得到公差，求出的通项公式，并根据求出的通项公式； （2）在（1）基础上，得到，累乘法得到，裂项相消法求和得到，需要能整除12，又，故，得到答案； （3）在（1）基础上得到，先求当为偶数时，表达出和，式子①+②，并化简得到，若为奇数，利用求和，从而得到答案. 【详解】（1）， 又为等差数列，，设公差为， 则，故的通项公式为， 又，故， 即的通项公式为； （2），其中， ， 故 ， 要想，则需要能整除12，又， 故， 此时， 故； （3）因为，， 所以， 故， 若为偶数，则①， ②， 式子①+②得 ， 所以， 若为奇数，则 ， 所以. 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题等， 需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$