复习专题06 等差数列及其前n项和17种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题06 等差数列及其前n项和17种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． (3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列. 2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 3.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 4.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2. 知识点2 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 知识点3 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 知识点4 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． （2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； 知识点5 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （3） 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 解题策略1.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 解题策略2.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 解题策略3.等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列 解答题 中的证 明问题 等差中项法 对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 (为常数,)⇔{an}是等差数列 选择、 填空题 中的判 断问题 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列 是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 解题策略4.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （4） 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 解题策略5.求等差数列前n项和最值的常用方法 （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； （3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. （4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 考点剖析 【考点1 等差数列的定义】 例1．若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【变式1】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【考点2 利用等差数列定义求通项】 例2．在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列满足，则（    ） A．9 B． C．11 D． 【变式4】数列满足，则数列的通项公式为 ． 故答案为： 【考点3 利用前n项和求通项】 例3．设为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知正项数列的前n项和为，且，则（    ） A．4045 B．4042 C．4041 D．4040 【变式3】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列D．－5050 【考点4 等差数列通项公式及其应用】 例4．已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1】等差数列中，，，则的通项为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在数列中，，且数列是等差数列，则（    ） A．16 B． C．19 D． 【考点5 等差数列前n项和的有关计算】 例5．等差数列的前项和，，则（    ） A．9 B．12 C．30 D．45 【变式1】已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D．3 【变式2】若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式3】已知等差数列的前项和为，则（    ） A．158 B．160 C．162 D．164 【考点6 数学文化中的等差数列问题】 例6．在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【变式1】《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【变式2】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （   ） A．28 B．32 C．35 D．42 【变式3】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（    ） A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺 【考点7 等差数列的判定与证明】 例7．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列前n项和． 【变式1】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【考点8 等差中项的应用】 例8．若是与的等差中项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．5 【变式1】在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【变式3】已知数列是等差数列，且，．设与的等差中项为，与的等差中项为，求． 【考点9 等差数列性质的应用】 例9．已知等差数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．20 D．30 【变式1】在等差数列中，已知，则______． 【变式2】已知为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式3】已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【变式4】记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 【考点10 等差数列前n项和与中项性质】 例10．已知等差数列的前项和为，若，则=（    ） A．96 B．72 C．48 D．24 【变式1】已知等差数列的前项和为且满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】设是等差数列的前n项和，若，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．60 【变式3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（    ） A．28 B．26 C．14 D．13 【考点11 等差数列片段和的性质】 例11．若为等差数列，其前n项和为，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在等差数列中，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点12 等差数列前n项和与n的比值问题】 例12．等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 【变式1】等差数列中，，前项和为，若，则______. 【变式2】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若，求的前项和． 【考点13 两个等差数列前n项和的比值问题】 例13．已知数列，均为等差数列，且其前n项和分别为和．若，则______． 【变式1】两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________. 【变式3】有两个等差数列、，其前项和分别为、. （1）若，则______； （2）若，则______. 【考点14 等差数列的奇偶项和问题】 例14．已知等差数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则（    ） A．10 B． C． D．20 【变式1】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d． 【考点15 等差数列前n项和的最值问题】 例15．已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A．60 B．75 C．99 D．125 【变式1】已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【变式2】已知等差数列的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为 ． 【变式3】已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【变式4】【多选】已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【变式5】设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【考点16 含绝对值的等差数列的前n项和】 例16．【多选】已知为等差数列，，则（    ） A．的公差为2 B．的公差为3 C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300 【变式1】数列是递增的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式2】已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【考点17 等差数列的综合问题】 例17．【多选】已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 【变式1】【多选】以下四个命题中，真命题的是（    ） A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 B．若等差数列的前n项和为，则数列是等差数列 C．若等差数列的前n项和为，且，则 D．若等比数列的前n项积为，且，则 【变式2】已知成等差数列，直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．随着t的变化而变化 【变式3】若成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点的个数为 ． 【变式4】若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【变式5】已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（21-22高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 4．（21-22高二下·河北保定·期中）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 5．（24-25高二上·河北石家庄·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．240 B．225 C．120 D．30 6．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前和为，则（    ） A． B． C．3 D． 7．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（    ） A．3 B．2 C． D．4 8．（24-25高二上·福建福州·期末）已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 9．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（    ） A． B． C．15 D．28 10．（24-25高二上·天津和平·期末）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·山东·期中）已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 12．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的n的最大值为 13．（24-25高三上·重庆·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 14．（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 三、填空题 15．（24-25高二上·北京朝阳·期末）某校计划新建一个容纳个座位的阶梯教室，若设置排座位，且从第二排起每一排都比前一排多个座位，则第一排需设置的座位数为 . 16．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足且则的通项公式 . 17．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 18．（24-25高三上·河北·期末）已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 四、解答题 19．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 20．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 21．（24-25高三上·山东泰安·期末）设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 22．（20-21高三上·山西·期中）知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 23．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知数列满足，，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 24．（21-22高二上·广东深圳·期末）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题06 等差数列及其前n项和17种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． (3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列. 2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 3.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 4.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2. 知识点2 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 知识点3 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 知识点4 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． （2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； 知识点5 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （3） 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 解题策略1.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 解题策略2.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 解题策略3.等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列 解答题 中的证 明问题 等差中项法 对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 (为常数,)⇔{an}是等差数列 选择、 填空题 中的判 断问题 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列 是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 解题策略4.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （4） 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 解题策略5.求等差数列前n项和最值的常用方法 （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； （3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. （4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 考点剖析 【考点1 等差数列的定义】 例1．若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义判断即可. 【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确； B选项：，所以数列为等差数列，故B正确； C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错； D选项：，所以数列为等差数列，故D正确. 故选：C. 【变式1】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 【考点2 利用等差数列定义求通项】 例2．在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义知为首项为5，公差为的等差数列，进而求出通项公式. 【详解】依题意，，所以，即， 所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以. 故选：B 【变式1】数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记，可证明是等差数列，先求解，再代入求解即可. 【详解】记，则，， 故数列是以为首项，公差的等差数列，故， 故. 故选：B 【变式2】已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可. 【详解】∵a1 = 1，－ = 1， ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴，即， ∴（）. 当时，也适合上式，. 故选：A. 【变式3】已知数列满足，则（    ） A．9 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由数列满足，可得，即， 因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 故选：B. 【变式4】数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【考点3 利用前n项和求通项】 例3．设为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式，即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 验证，当时，， 所以. 故选：A 【变式1】已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知和求通项公式：进行计算. 【详解】当时， 当时， 故选：C 【变式2】已知正项数列的前n项和为，且，则（    ） A．4045 B．4042 C．4041 D．4040 【答案】A 【分析】根据与的关系，由的的递推关系式，由时，确定首项，即可得，于是能求解的值. 【详解】解：∵    ①， ∴当时，   ②， ①-②得， ∵，∴，∴， ∴当时，，解得 ∴是首项为1，公差为2的等差数列，则，于是有． 故选：A． 【变式3】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列D．－5050 【答案】A 【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D. 【详解】是数列的前n项和，且， 则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故． 所以当时，－，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确． 故选：A. 【考点4 等差数列通项公式及其应用】 例4．已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意列出方程组，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 依题得，解得. 故选：D 【变式1】等差数列中，，，则的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，解得， 所以. 故选：A 【变式2】在数列中，，且数列是等差数列，则（    ） A．16 B． C．19 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义与性质运算求解. 【详解】由题意可得：， 设数列为的公差，则，即， 故，解得. 故选：B． 【考点5 等差数列前n项和的有关计算】 例5．等差数列的前项和，，则（    ） A．9 B．12 C．30 D．45 【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算． 【详解】是等差数列， ∴，，， ，， ． 故选：D． 【变式1】已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：D 【变式2】若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，设等差数列的公差为，进而建立方程组求解得，再计算即可. 【详解】解：根据题意，设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以. 故选：D 【变式3】已知等差数列的前项和为，则（    ） A．158 B．160 C．162 D．164 【答案】B 【分析】先由题意结合等差数列通项公式求出公差d和，进而结合等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为d， 由题得，即， 又，所以， 所以， 所以. 故选：B 【考点6 数学文化中的等差数列问题】 例6．在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【答案】C 【分析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，， 解得，所以丁有钱. 故选：C 【变式1】《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】A 【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解． 【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列， 设其首项为，公差为， 由题意可得， 所以，解得， 所以， 即第5节竹子的容积为升． 故选：A． 【变式2】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （   ） A．28 B．32 C．35 D．42 【答案】C 【分析】该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，进而得，再解方程，并计算前项和即可. 【详解】解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为， 设其每日增加的尺数为，其前项和为， 所以，，即，解得，， 所以，她前七日共织布尺. 故选：C 【变式3】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（    ） A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺 【答案】A 【分析】结合等差数列的知识求得正确答案. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 依题意，，即， 解得，所以尺. 故选：A 【考点7 等差数列的判定与证明】 例7．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可； (2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）为常数 ∴是以为公差的等差数列． （2）∵，∴由（1）得， ∴，∴， ∴. 【变式1】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. 【详解】（1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 【考点8 等差中项的应用】 例8．若是与的等差中项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案. 【详解】由题意知是与的等差中项， 故，则. 故选：D 【变式1】在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值. 【详解】由韦达定理和等差中项的性质可得， 因此，. 故选：A. 【变式2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【变式3】已知数列是等差数列，且，．设与的等差中项为，与的等差中项为，求． 【答案】 【分析】根据等差中项的性质求出，即可. 【详解】因为，，且与的等差中项为， 所以， 又与的等差中项为，所以， 所以. 【考点9 等差数列性质的应用】 例9．已知等差数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．20 D．30 【答案】C 【分析】根据题意，由等差数列的下标和性质，代入计算，即可求解. 【详解】由已知得，故，所以． 故选：C 【变式1】在等差数列中，已知，则______． 【答案】20 【分析】运用等差中项的性质即可求解. 【详解】∵为等差数列， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20. 【变式2】已知为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，∴，解得， ∴， 故选：B 【变式3】已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【答案】C 【分析】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求. 【详解】由等差数列性质，数列为等差数列，若，， 则， 因为数列为等差数列，， 所以，又， 所以， 因为数列为等差数列，， 所以， 故选：C. 【变式4】记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5项和即可. 【详解】因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 故答案为：. 【考点10 等差数列前n项和与中项性质】 例10．已知等差数列的前项和为，若，则=（    ） A．96 B．72 C．48 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为是等差数列，故可得：， 所以. 故选：B. 【变式1】已知等差数列的前项和为且满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质计算可得答案． 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式2】设是等差数列的前n项和，若，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】B 【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则. 故选：B. 【变式3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：，解得：， . 故选：B. 【变式4】已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（    ） A．28 B．26 C．14 D．13 【答案】B 【分析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于，再由前项和为，求得的值. 【详解】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于， 再由前项和为， 解得， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于简单题目. 【考点11 等差数列片段和的性质】 例11．若为等差数列，其前n项和为，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可得成等差数列，即可求得答案 【详解】因为成等差数列， 故，即，得. 故选：B 【变式1】设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值. 【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列， 且该数列的公差为，则， 所以，， 因此，. 故选：D. 【变式2】在等差数列中，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可 【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故 故选：D 【考点12 等差数列前n项和与n的比值问题】 例12．等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒ 【详解】设的公差为d， ∵ ∴， 即{}为等差数列，公差为， 由知， 故﹒ 故选：A﹒ 【变式1】等差数列中，，前项和为，若，则______. 【答案】 【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解． 【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为 ，， ， ， ，则 故答案为： 【变式2】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若，求的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据所给条件，结合等差数列的通项公式和性质进行解方程即可得解； （2）由，利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）设公差为， 由可得， 可得， 再由，，成等比数列， 可得，由公差不为可得， 所以； （2）， ， ， 作差可得， 所以. 【考点13 两个等差数列前n项和的比值问题】 例13．已知数列，均为等差数列，且其前n项和分别为和．若，则______． 【答案】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案. 【详解】因为数列、均为等差数列，且， 所以 故答案为： 【变式1】两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可． 【详解】解：由等差数列的性质可得，． 故选：C． 【变式2】数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________. 【答案】          【分析】利用等差数列的基本性质可得出，即可得出的值；计算得出，可知能被整除，求出的可能取值，可得出结轮. 【详解】由等差数列的性质可得， ， 若为整数，且，故能被整除，故或，解得或， 所以，使得为整数的值个数为. 故答案为：；. 【变式3】有两个等差数列、，其前项和分别为、. （1）若，则______； （2）若，则______. 【答案】     ##     【分析】（1）利用等差数列的基本性质可求得出，即可得解； （2）设，，其中，求出、，即可得出的值. 【详解】（1）； （2）因为，设，，其中， 则，， 因此，. 故答案为：（1）；（2）. 【考点14 等差数列的奇偶项和问题】 例14．已知等差数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则（    ） A．10 B． C． D．20 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，求得，再由等差数列的求和公式，列出方程求得的值，结合通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100， 可得，解得， 所以奇数项的和为，解得， 故． 故选：B. 【变式1】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 【变式2】一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d． 【答案】 【分析】由题意可得，可解得它们的值，而，代入可解． 【详解】解：设首项为，公差为， 则由题意可得， 解得 又， ． 【考点15 等差数列前n项和的最值问题】 例15．已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A．60 B．75 C．99 D．125 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得数列的通项公式，再由即可求得，代入计算，即可求解. 【详解】设的公差为，则，则， 由可得即， 故时，取得最大值． 故选：C 【变式1】已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列前项和公式， 得：，， 又， ， 即， 又， ， 由此可知，数列是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上， 又， 点与点关于直线对称， 当或时，最大. 故选：C 【变式2】已知等差数列的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为 ． 【答案】7 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式可得，根据前n项和的性质确定取最值情况即可. 【详解】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以， 因为，解得，所以，则， 这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值. 故答案为：7. 【变式3】已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】B 【分析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解. 【详解】由 且， 所以，故B正确； 所以公差， 数列为递减数列，A错误； 由，，， 所以，， 时，， 的最大值为，故C错误； ，故D错误. 故选：B 【变式4】【多选】已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【答案】ACD 【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A,数列为等差数列，， 数列为递减的等差数列， 故A正确， 对于B, 数列为递减的等差数列， 的最大值为， 故B错， 对于C, 由得 的最小值为,即， 故C正确， 对于D, 故D正确. 故选：ACD 【变式5】设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为. 【详解】由，得，即， 所以数列为递增的等差数列. 因为，所以，即， 则，，所以当且时，； 当且时，.因此，有最小值，且最小值为. 故选：A. 【考点16 含绝对值的等差数列的前n项和】 例16．【多选】已知为等差数列，，则（    ） A．的公差为2 B．的公差为3 C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300 【答案】AD 【分析】根据求出，求出通向公式. . 【详解】， ，所以A对，B错. ， ， 当时，；当时，， = ，所以D对，C错. 故选：AD 【变式1】数列是递增的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过等差数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可. （2）分和，讨论，结合等差数列前项和的公式即可得到答案. 【详解】（1）设递增的等差数列的公差， 因为，，所以， 解得，或（舍去），所以. （2）设，则. 由，即，解得. 当，时，. 当，时， . 故. 【变式2】已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，从而可证明； （2）由（1）得，则，利用和与项的关系可得，由，解得，设表示数列的前项和，当时，，当时，，从而得到结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为-1的等差数列. （2）由（1）得，则， 所以， 又符合上式，所以， 设表示数列的前项和， 由，解得，则 ①当时，； ②当时，， 故. 【考点17 等差数列的综合问题】 例17．【多选】已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 【答案】AD 【分析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断ACD选项. 【详解】数列满足，， 因为，，所以， ，B错； 由题意，①，②， 由②①得，，由，，所以， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 综上所述，对任意的，，C错D对； ，A对. 故选：AD. 【变式1】【多选】以下四个命题中，真命题的是（    ） A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 B．若等差数列的前n项和为，则数列是等差数列 C．若等差数列的前n项和为，且，则 D．若等比数列的前n项积为，且，则 【答案】ABD 【分析】对于A，直接由等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的定义即可判断；对于B，直接由等差数列前项和公式即可判断；对于C，由等差中项的性质即可判断；对于D，由等比中项的性质即可判断. 【详解】对于A，若是各项均为正的等比数列， 则当且仅当，（否则时，数列每项正负交替，各项恒负）， 从而， 所以， 故数列是以为首项、为公差的等差数列，故A正确； 对于B，设等差数列的通项公式为， 所以其前n项和为，即数列是以首项为、公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由题意数列是等差数列， 所以 ， 而当等差数列的公差不为0时，有，即此时，故C不正确； 对于D，由题意数列是等比数列，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】已知成等差数列，直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．随着t的变化而变化 【答案】A 【分析】若公差为d，结合直线方程可得，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可. 【详解】若公差为d，则， ∴直线恒过定点，将代入圆中，可得， ∴在圆内，故直线与圆相交. 故选：A 【变式3】若成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】利用等差中项的性质结合判别式计算即可. 【详解】∵a，b，c成等差数列，∴， ∴． ∴二次函数的图象与x轴的交点的个数为1或2． 故答案为：1或2. 【变式4】若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【答案】 【分析】设的根为，的根为，由韦达定理得，根据等差数列的性质可得，以及，结合韦达定理求，即可得结果． 【详解】设的根为，的根为， 则（，）． 设数列的首项为， 则根据等差数列的性质，数列的第4项为． 由题意知，则，数列的公差； 所以数列的中间两项分别为，． 可得，， 所以． 故答案为：；. 【变式5】已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，求解作答 【详解】圆：的圆心，半径，显然点为抛物线的焦点，其准线为， 设，则，而， 由，，成等差数列得，，因此， 即有，解得，设直线的方程为，显然， 由消去y得：，则有，解得， 所以直线的斜率为. 故选：B 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，由，得，不能判断的正负，所以不能判断,的大小，故不能确定是否递增数列；但由为递增数列，能得到进而即得. 【详解】由是等差数列，，得，所以， ，不能判断的正负，所以不能判断,的大小， 所以不能确定是否递增数列； 若为递增数列，则，即时， 所以，，所以， 所以是为递增数列的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3．（21-22高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 4．（21-22高二下·河北保定·期中）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高二上·河北石家庄·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．240 B．225 C．120 D．30 【答案】A 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，代入求和公式中即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 由可得，解得， 故， 故选：A 6．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前和为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据，即可根据等差数列的性质得求解. 【详解】在中取得，故，所以. 故选：A. 7．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解. 【详解】由， 故选：B 8．（24-25高二上·福建福州·期末）已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 【答案】D 【分析】由题设求出即可判断A；由和等差数列通项公式和前n项和公式即可判断BC；由和前n项和公式结合一元二次函数性质即可判断D. 【详解】设数列的公差为d， 对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，最大，故D错误. 故选：D. 9．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（    ） A． B． C．15 D．28 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果. 【详解】设，则，解得， ∴，故， 故选：B. 10．（24-25高二上·天津和平·期末）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 二、多选题 11．（24-25高二上·山东·期中）已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 【答案】ACD 【分析】A选项，利用得到，，由得到数列为等差数列；B选项，作差法得到；C选项，时，，从而；D选项，，分组求和得到，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】A选项，①， 当时，， 当时，②， 式子①-②得 ， 故， 其中满足，综上，，， 所以，，故， 数列为等差数列，A正确； B选项，， 故，B错误； C选项，当时，， ，C正确； D选项，， 数列的前2n项和 ，D正确. 故选：ACD 12．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的n的最大值为 【答案】AC 【分析】根据题设利用等差数列的性质可得，进而可得，即可判断出选项A、B和C的正误；选项D，利用等差数列的前和公式，得到，再结合选项条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，得到，即， 因为，所以，故数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B，由选项A知数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项B错误： 对于选项C，因为，所以当或时，取最小值，所以选项C正确； 对于选项D，由，可得， 又因为，所以满足的n的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AC． 13．（24-25高三上·重庆·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【分析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 14．（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 【答案】AB 【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D. 【详解】对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 三、填空题 15．（24-25高二上·北京朝阳·期末）某校计划新建一个容纳个座位的阶梯教室，若设置排座位，且从第二排起每一排都比前一排多个座位，则第一排需设置的座位数为 . 【答案】 【分析】设第排的座位数为，由题意可知，数列是公差为的等差数列，结合等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设第排的座位数为， 由题意可知，数列是公差为的等差数列， 由题意可得，解得. 故答案为：. 16．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足且则的通项公式 . 【答案】 . 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再由等差数列通项公式计算可得. 【详解】由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即可得，所以. 故答案为： 17．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 【答案】16 【分析】利用等差数列前n项和公式可得，结合有，进而求基本量，最后求. 【详解】令数列的公差为，则，即， 由，则， 综上，，，则. 故答案为：16 18．（24-25高三上·河北·期末）已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 【答案】8 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得，再求得，然后由等差数列的求和公式求. 【详解】设等差数列的公差为d，则． 由可得，． 又，则，故，又，则， 所以，因此数列的前8项和． 故答案为：8. 四、解答题 19．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由等差数列的求和公式及二次函数性质得解. 【详解】（1）设的公差为. 由题意，得. 由，得. 所以的通项公式为. （2）由（1），得. 所以当时，取得最小值，最小值为. 20．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件列方程组，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的前项和公式，即可求出，再利用数列是递增数列，且，，得到最小，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以，解得，， 所以，即的通项公式为. （2）由（1），，所以， 又，所以数列是递增数列， 由知，， 所以的最小值为. 21．（24-25高三上·山东泰安·期末）设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设结合即可求解； （2）先由（1）求出，进而求得，于是将问题转化成，再由即可得解. 【详解】（1）由题，， 所以当时， 当时，，整理得， 因为，所以，即， 所以数列是以为首项和公差的等差数列， 所以. （2）由（1），故， 所以， 所以 ， 所以不等式对任意正整数均成立对任意正整数均成立 对任意正整数均成立， 所以，又， 所以，所以满足题意的实数的取值范围为. 22．（20-21高三上·山西·期中）知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用和构造新数列的应用求出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】（1）正项数列的前项和为，满足， 所以， 整理得：， 由于数列为正项数列， 所以（常数）， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 故， 所以当时，， 当时，符合上式， 所以． （2）由于， 所以， 所以． 23．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知数列满足，，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可； （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为 ， 所以数列是以2为公差的等差数列. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 24．（21-22高二上·广东深圳·期末）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用等差数列的通项公式求解； （2）由（1）得到，令，得，则当时，，当时，，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设公差为， ∵， ∴， ∴，. （2）设数列的前项和为， 则由（1）可得，，. 由（1）知，令，得， ∴当时，；当时，， 则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$