精品解析：天津市河西区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

九年级数学试卷（二） 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点在外，，那么的半径有可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断，先设半径为，再根据点与圆的位置关系解答即可，解题的关键是熟记若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：设半径为， ∵点在外， ∴， 则选项符合题意， 故选：． 2. 在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；根据“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形”进行求解即可 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C 3. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个正方形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个菱形 【答案】A 【解析】 【详解】A、两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故两个正方形一定相似，故A符合题意； B、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B不符合题意； C、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故C不符合题意； D、两个菱形，对应边成比例，但对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似的定义是解决本题的关键． 4. 已知两个等边三角形的面积比是，则小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出相似比即可得出结果． 本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质解题关键． 【详解】解：∵两个等边三角形的每个内角都是， ∴两个等边三角形相似， ∵两个相似三角形的面积之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为． 故选：C． 5. 一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 6. 如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、全等三角形的性质与判定、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理、全等三角形的性质与判定、弧、弦的关系是解题的关键；根据弦、弧的关系及垂径定理判断求解即可． 【详解】解：∵，于，于， ∴， 故A正确，不符合题意； 连接，如图所示， ∵， ∴， ∴，故B选项正确； ∵， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 7. 下列函数中，当时，随着的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键； 根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质进行判断即可 【详解】A、在中，，故随着的增大而减小，故A不符合题意； B、在中，，当时，随着的增大而减小，故B不符合题意； C、在中，抛物线对称轴为轴，开口向上，当时，随着的增大而增大，故C符合题意； D、在中，抛物线对称轴为轴，开口向下，当时，随着的增大而减小，故D不符合题意； 故选：C 8. 一个矩形的长和宽相差，面积是，则这个矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，设矩形的宽为，则长为，根据矩形的面积计算公式列出方程求出x的值，进而根据矩形的周长公式计算即可． 【详解】解：设矩形宽为，则长为， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 所以， 则这个矩形的周长为． 所以，这个矩形的周长为． 故选：C． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 任意一个三角形都有内切圆 B. 任意一个矩形都有外接圆 C. 各边都相等的圆内接多边形一定是正多边形 D. 各角都相等的圆内接多边形一定是正多边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接多边形，多边形的外接圆和内切圆， 根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、任意一个三角形的三条角平分线都交于一点，且到三边的距离都相等，则以该点为圆心，该距离为半径画圆，可知任意三角形都有内切圆，所以A正确，不符合题意； B、任意矩形的对角线交于一点，且到四个顶点的距离相等，则以该点为圆心，该距离为半径画圆，可知任意矩形都有外接圆，所以B正确，不符合题意； C、各边都相等的圆内接多边形，则圆上的每段弧都相等，可得每个内角都相等，所以一定是正多边形，则C正确，不符合题意； D、圆内接四边形是矩形，矩形的四个角都相等，但不是正方形，所以D错误，符合题意． 故选：D． 10. 把一个圆三等分，经过三个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的三角形，叫做这个圆的外切正三角形．如果这个圆的半径为，则它的外切正三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的切线的性质和等边三角形的性质是解题的关键； 根据题意作出图形，连接、，，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可求出答案； 详解】解：如图所示，连接、， 、是的切线， ，， ， ， ， ， ， ； 故选：A 11. 如图，在中，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，可得，，进而求得，判定，即可求得，进而求解； 【详解】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 又， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 故选项A一定正确， 由已知条件无法一定得出B、C、D正确， 故选：A 12. 一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； 根据二次函数的性质，分别计算，，，时，的值，即可求解； 【详解】解：， 当时，， 足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 当时，， 足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的，故②正确； 当时，， 足球被踢出时落地，故③正确； 综上所述，正确的共有个； 故选：B 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在比例尺为的图纸上，量得一正方形的草地边长为，则这个正方形草地的实际边长为________． 【答案】250 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，熟练掌握比例尺的意义是解决问题的关键．由比例尺可知，图上在实际中表示，据此设这块正方形草地边长为，列方程解答． 【详解】解：设这块正方形草地边长为， 则， 解得：， 故答案为：250． 14. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个绿球、5个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 用黄球的个数除以球的总个数即可得． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是， 故答案为：． 15. 一个扇形纸片的圆心角为，半径为，则这个扇形纸片的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积为； 故答案为： 16. 如图，直线，且与之间的距离等于与之间的距离，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线间的距离，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行线间的距离，可得，进而判定，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：作交直线于点，交直线于点，如图所示， ，且与之间的距离等于与之间的距离， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题． 【详解】解：，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， 四边形正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，三点共圆，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点． （1）线段的长等于________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质定理等知识． （1）根据勾股定理求出答案即可； （2）如图，连接圆与网格线的交点，，与过点的网格线交于点，则为圆心，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，同理找到的中点，则与交于点．则点即为所求． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，连接圆与网格线的交点，，与过点的网格线交于点，则为圆心，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，同理找到的中点，则与交于点．则点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度． 如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意判定，然后由相似三角形的性质，即可求解， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 代入，，， 解得． 答：树高为． 20. 在张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪刀”、“布”．将这张小纸条做成支签，都放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出支签，抽到“石头”签的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出支签（不放回），乙再从余下的支签中任意抽出支签． ①用列表法或画树状图法表示出两次抽签的情况； ②两人获胜的概率一样大吗？为什么？ 【答案】（1） （2）①见详解；②一样，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）①先列表得到所有等可能性的结果数；②找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有支签，写有“石头”的签有支，且每支签被抽到的概率相同， ∴从盒子中任意抽出支签，抽到“石头”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①设分别用、、表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下： ②由表格可知，一共有种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共种， ∴甲获胜的概率为． 则乙获胜的概率为； 故两人获胜的概率一样大； 21. 如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． （1）求弦的长； （2）若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作于，则，然后由等腰三角形的性质可得，则，最后由勾股定理即可求解； （）设圆锥体底面半径为，再根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于， 由垂径定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设圆锥体底面半径为， ∵该扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长， ∴， ∴． 22. 如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判断和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得，结合垂直平分线的性质得到，进而判定是的中位线，进而求解即可； （2）连接，根据是的切线得到，判定，四边形是平行四边形，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是． 23. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨1元，月销售量就减少． （1）当销售单价定为52元时，月销售量为________；销售利润为________元； （2）设售价为元，当定为多少元时会获得最大利润？并求最大利润． 【答案】（1）480；5760 （2）当销售定价为70元时获得最大利润9000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，得出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）由题意得月销售量为，销售利润为（元），即可求解； （2）设最大利润为w元，由题意得，即可求解， 小问1详解】 解：由题意得：月销售量为，销售利润为（元）， 故答案为：480，5760； 【小问2详解】 解：设最大利润为w元， 由题意得：， ∵， ∴有最大值， 故当元时会获得最大利润，最大利润为9000元． 24. 已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，的对应点为点． （1）如图①，当，，且时，______；______；点的坐标为______； （2）如图②，当，，且时，求点的对应点的坐标； （3）已知点，点在轴正半轴上，，若旋转后点的坐标为，则直线的解析式为______． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数值得出关系式，即可求出点A，B的坐标，可得，进而得出，然后求出，再根据直角三角形的性质结合勾股定理求出，进而得出点C的坐标； （2）先写出直线关系式，再求出点A，B的坐标，即可得，作轴，然后根据“角角边”证明，可得，进而得出点的坐标； （3）在x轴上取点D和E，使得，作，根据点C的坐标可得，进而表示，再根据“角角边”证明，可得，结合点A的坐标表示，然后根据特殊角的三角函数表示，，可得点，，最后根据待定系数法求出答案． 【小问1详解】 解：当， ∴． 当时，，点； 当时，，点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴． 过点C作轴，交x轴于点D， 在中，， ∴，， ∴， ∴点； 故答案为：45，，； 【小问2详解】 解：当， ∴． 当时，，点； 当时，，点， ∴． 过点C作轴，交x轴于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 【小问3详解】 解：在x轴上取点D和E，使得，过点C作于点F． ∵点C的坐标是， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∴． 在中，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点，． ∵直线经过点A，B， ∴， 解得， ∴直线的关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求一次函数的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． （1）若，求顶点的坐标； （2）连接，若，求的值； （3）若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，直接代入确定点，，然后确定抛物线的解析式化为顶点式即可； （2）根据题意确定点．得出，，再由题意建立方程求解即可； （3）由（2）知抛物线的解析式为．得出，确定顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 由题知抛物线的解析式为， 令，得． ∴点． ∴． 由已知得， ∵， ∴． 解得． 【小问3详解】 由（2）知抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则， 由，可得：． ∴， ∴． ∴， ∴． 即． ∵， ∴解得①． ∵轴，且， ∴． ∴②． 联立①②解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试卷（二） 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点在外，，那么的半径有可能为（ ） A B. C. D. 2. 在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个正方形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个菱形 4. 已知两个等边三角形的面积比是，则小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 一矩形绿地长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，当时，随着增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个矩形的长和宽相差，面积是，则这个矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 任意一个三角形都有内切圆 B. 任意一个矩形都有外接圆 C. 各边都相等的圆内接多边形一定是正多边形 D. 各角都相等的圆内接多边形一定是正多边形 10. 把一个圆三等分，经过三个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的三角形，叫做这个圆的外切正三角形．如果这个圆的半径为，则它的外切正三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在比例尺为的图纸上，量得一正方形的草地边长为，则这个正方形草地的实际边长为________． 14. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个绿球、5个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是________． 15. 一个扇形纸片的圆心角为，半径为，则这个扇形纸片的面积为________． 16. 如图，直线，且与之间的距离等于与之间的距离，若，则的长为________． 17. 如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是______________． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点． （1）线段的长等于________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度． 如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 20. 在张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪刀”、“布”．将这张小纸条做成支签，都放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出支签，抽到“石头”签的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出支签（不放回），乙再从余下的支签中任意抽出支签． ①用列表法或画树状图法表示出两次抽签的情况； ②两人获胜概率一样大吗？为什么？ 21. 如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． （1）求弦的长； （2）若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 22. 如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 23. 某商店销售一种成本为40元/千克水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨1元，月销售量就减少． （1）当销售单价定为52元时，月销售量为________；销售利润为________元； （2）设售价为元，当定为多少元时会获得最大利润？并求最大利润． 24. 已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，的对应点为点． （1）如图①，当，，且时，______；______；点的坐标为______； （2）如图②，当，，且时，求点的对应点的坐标； （3）已知点，点在轴正半轴上，，若旋转后点的坐标为，则直线的解析式为______． 25. 已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． （1）若，求顶点的坐标； （2）连接，若，求的值； （3）若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$