精品解析：吉林省四平市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试高一试题 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，代入函数解析式即可求得答案. 【详解】因为函数， 所以，令可得， 故选：B. 2. 若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 4. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数的运算性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 5. “的最小正周期为是”“的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立； 当时，的最小正周期为，即必要性成立； 所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件. 故选：A 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 8. 函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质列不等式，求得的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象； 再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， ， . 故选：A. 【点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，由零点个数，确定的范围. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由同一函数的概念，根据函数的定义域与对应法则是否相同，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，而的定义域为，所以两函数定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数的定义域为R，而的定义域为，所以两函数定义域不同，不表示同一函数； 对于C中，函数，两函数的定义域都是R，对应关系相同，所以两函数是同一函数． 对于D中，的定义域为R，而的定义域为，所以两函数定义域不同，不是同一函数； 故选：ABD． 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于B，举反例即可判断；对于ACD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，则，且，则， 则，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期， ∴，∴． 将点代入解析式中可得， ∴，解得， ∵，∴，∴，故A错误. ∵， ∴函数的图象关于点对称，故B正确. 当时，，∴，即最小值为，故C正确． ∵， ∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误. 故选：BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必经过点______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的性质即可得出. 【详解】因为且， 当时，， 所以且的图象恒过定点. 故答案为：. 13. 用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及基本不等式，利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以扇形面积， 当时，扇形面积取得最大为. 所以圆心角的弧度数为. 故答案为:. 14. 已知，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指对互化及在上单调递增得，从而，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取得等号. 故答案为：3 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集的定义及补集交集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，分和两种情况结合集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而， 所以，或 . 【小问2详解】 由，得， 当时，，即； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求； （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化为代数不等式求解. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以. 【小问2详解】 ， 所以且. 故所求不等式的解集为：. 17. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式可得，两边平方后，结合二倍角的正弦公式可求的值； （2）由已知可得，可求与的正弦值，从而可得，，再根据可得答案. 【小问1详解】 ， 两边平方可得， 【小问2详解】 因为，所以， 由，可得， ， ， 由，可得， . 18. 如图，某小区有一块扇形草地，为了给小区的小孩有一个游玩的地方，物业要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点在弧上，点分别在线段上，且，设. （1）若，求矩形的面积； （2）求矩形的面积的最大值，并求出此时弧的长度. 【答案】（1） （2），此时弧MN长度为 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，交于，在直角三角形中表示，，，从而得到，再由面积公式及二倍角公式计算可得； （2）结合（1）可得，，则利用二倍角公式和辅助角公式得，结合正弦函数的性质计算最值可得时，矩形的面积取最大，利用弧长公式求解弧长即可得解. 【小问1详解】 作，垂足为，交于， 由于四边形为矩形，即，关于直线对称， 则，，则，， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则； 【小问2详解】 因为，则，，而， 故为等腰直角三角形，则， 故， 则矩形的面积 ，因为，所以当即时， 取最大值， 所以，此时弧的长度为. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为，代入得：即， 解得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试高一试题 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 2. 若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 4. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “的最小正周期为是”“的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必经过点______. 13. 用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为__________. 14. 已知，若，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 16. 已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 17. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 18. 如图，某小区有一块扇形草地，为了给小区的小孩有一个游玩的地方，物业要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点在弧上，点分别在线段上，且，设. （1）若，求矩形的面积； （2）求矩形的面积的最大值，并求出此时弧的长度. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $