精品解析：山东省淄博市沂源县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分、考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场、考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B钢笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母．根据判断一个式子是分式的条件：①分子、分母是整式；②分母中含有字母，且分母不等于0，据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：分母中不含有字母，不是分式； 分母中不含有字母，不是分式； 符合分式的定义，是分式； 分母中不含有字母，不是分式；即属于分式的有1个， 故选：A． 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解的判断．熟练掌握因式分解的定义，是解题的关键． 3. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. B. 5 C. 和5 D. 1和3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义列出关于的方程，求出的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可． 【详解】解：∵数据的平均数是1， ∴， 解得， 则， ∴这组数据的众数是和5， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了众数和平均数，解题关键是掌握众数和平均数的概念． 4. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 根据因式分解的方法，进行因式分解，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、无法分解因式，选项错误，不符合题意； 故选C． 5. 如图是我市某周内日层高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法错误的是（ ） A. 最大值与最小值的差是10 B. 中位数是24 C. 众数是28 D. 平均数是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是正确从图象中获取数据，熟练掌握求中位数，众数，平均数的方法．根据图象，分别求出最大值与最小值的差，中位数，众数，平均数，即可解答． 【详解】解：A、由图可知，这7日最高温度为，最低温度为， ∴最大值与最小值的差是，故A正确，不符合题意； B、将这7天的温度按大小排序为：， ∴中位数为，故B不正确，符合题意； C、∵出现了2次，出现次数最多， ∴众数为，故C正确，不符合题意； D、，故D正确，不符合题意； 故选：B． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆用同底数幂的乘法法则，提公因式法因式分解提出，进而进计算即可． 【详解】． 故选B． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解的应用，同底数幂的乘法法则，掌握因式分解的方法是解题的关键． 7. 若，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据异分母分式减法的计算法则求出，再把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 8. 如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（ ） A. 众数改变，方差改变 B. 众数不变，平均数改变 C. 中位数改变，方差不变 D. 中位数不变，平均数不变 【答案】C 【解析】 【分析】由每个数都减去，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少，方差不变，据此可得答案． 【详解】解：如果将一组数据中的每个数都减去， 易得，所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少， 而根据方差公式可知，每个数和平均数的差不变，方差不变． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，掌握方差、众数、中位数和平均数的定义是解题的关键． 9. “五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 设参加游玩的同学为人，则原来的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来少分担3元车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游玩的同学为人，根据题意得：． 故选：D． 10. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，且， ∴． 12. 多项式和的公因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】， ， ∴多项式与多项式的公因式是． 故答案为：． 13. 已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为_______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，三角形的分类，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 首先移项，然后利用完全平方公式得到，，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴此三角形的形状为等边三角形． 故答案为：等边． 14. 计算的结果是________． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘方，理解有理数乘方的运算法则是解答关键． 先将化为，再提取公因数来进行计算求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 若分式方程的解为整数，则整数___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值． 【详解】解：， 整理得： 若分式方程的解为整数， 为整数， 当时，解得：，经检验：成立； 当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:， 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）将原式变形为，提公因式进行因式分解； （4）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解的运用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． （1）由分式的乘除运算进行化简，即可得到答案； （2）先计算括号内异分母分式减法、再计算分式的除法运算，即可得到答案； （3）先计算括号内异分母分式减法、加法、再计算分式的除法运算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 解分式方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项合并得，， 检验，将代入 ，不是原分式方程的根， ∴方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确运算． 19. 甲乙两支篮球队进行了5场比赛，比赛成绩绘制成了统计图（如图）． （1）请根据统计图填写表： 平均数 中位数 方差 甲 乙 90 87 70.8 （2）如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，从平均分、方差以及获胜场数这三个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？ 【答案】（1）90,91,2.4 （2）选派甲球队参赛更能取得好成绩，详见解析 【解析】 【分析】本题考查统计图、平均数、中位数，以及方差，关键是掌握一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）根据条形统计图可得甲队5 场比赛的成绩，然后把5 场比赛的成绩求和，再除以5即可得到平均数；根据中位数定义：把所用数据从小到大排列，取位置处于中间的数可得中位数；根据方差公式进行计算即可； （2）利用表格中的平均数和方差进行比较，然后根据条形图可得甲乙两队各胜多少场，再进行比较即可． 【小问1详解】 平均数 中位数 方差 甲 90 91 28.4 乙 90 87 70.8 【小问2详解】 甲乙两队平均数相同，甲队胜3场，乙队胜2场，甲队成绩较好，甲队方差小，乙队方差大，说明甲队成绩稳定，因此选派甲球队参赛更能取得好成绩． 20. 8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表(得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀)． 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 7.2 2.11 7 6 92.5% 20% 二班 6.85 4.28 8 8 85% 10% 根据图表信息，回答问题： (1)用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些； (2)甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？ 【答案】(1)二，一； (2)乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些． 【解析】 【分析】(1)根据方差的大小即可判断出波动的大小；结合合格率和优秀率则要先数值大的，由此即可得答案； (2)结合条形统计图，根据平均分、中位数、众数的优缺点进行解答即可. 【详解】(1)一班的方差为2.11，二班的方差为4.28，用方差推断，二班的成绩波动较大； 一班的合格率为92.5% ，优秀率为20%，二班的合格率为85%，优秀率为10%， 一班的合格率与优秀率均比二班的大，因此用优秀率和合格率推断，一班的阅读水平更好些， 故答案为二；一； (2)略 【点睛】本题考查了数据的收集整理与描述，涉及了平均数，方差，众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识以及各自的优缺点是解题的关键. 21. 某地修筑水渠，某工程队出色地完成了任务．这是记者与工程队总指挥的一段对话： ——你们是用9天完成4800米长的水渠任务的？ ——是的，我们修筑600米后，采用新的修筑模式，这样每天修筑长度是原来的2倍． 求工程队原来每天修筑水渠多少米？ 【答案】工程队原来每天修筑水渠300米 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的应用， 先设原来每天修筑x米，可表示采用新的修筑模式每天修筑米，进而得出原来修筑600米需要的天数，及采用新的修筑模式修筑米需要的天数，再根据天数的和为9得出方程，然后求出解，检验即可． 【详解】解：设原来每天修筑米，根据题意得， ， 解得；， 经检验：是原方程的根． 答：工程队原来每天修筑水渠300米． 22. 【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可； （3）先计算，同理（2）计算即可． 【小问1详解】 解：设， 原式， ． 【小问2详解】 解：设， 原式 ， ； 【小问3详解】 证明：原式 设， 原式， ． 为正整数， 为正整数． 代数的值一定是某个整数的平方． 23. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】（1）假分式 （2）或 （3）27 【解析】 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． 【小问3详解】 解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分、考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场、考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B钢笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. B. 5 C. 和5 D. 1和3 4. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图是我市某周内日层高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法错误的是（ ） A. 最大值与最小值的差是10 B. 中位数是24 C. 众数是28 D. 平均数是 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. 2 D. 7. 若，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（ ） A. 众数改变，方差改变 B. 众数不变，平均数改变 C. 中位数改变，方差不变 D. 中位数不变，平均数不变 9. “五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（ ） A. B. C. D. 10. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解：______． 12. 多项式和的公因式是________． 13. 已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为_______三角形． 14. 计算的结果是________． 15. 若分式方程的解为整数，则整数___________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 18. 解分式方程：． 19. 甲乙两支篮球队进行了5场比赛，比赛成绩绘制成了统计图（如图）． （1）请根据统计图填写表： 平均数 中位数 方差 甲 乙 90 87 70.8 （2）如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，从平均分、方差以及获胜场数这三个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？ 20. 8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表(得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀)． 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 7.2 2.11 7 6 92.5% 20% 二班 6.85 4.28 8 8 85% 10% 根据图表信息，回答问题： (1)用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些； (2)甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？ 21. 某地修筑水渠，某工程队出色地完成了任务．这是记者与工程队总指挥的一段对话： ——你们是用9天完成4800米长的水渠任务的？ ——是的，我们修筑600米后，采用新的修筑模式，这样每天修筑长度是原来的2倍． 求工程队原来每天修筑水渠多少米？ 22. 【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 23. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $