精品解析：辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025上学期第十周周检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，是中心对称图形的是（　　） A. 核安全 B. 国土安全 C. 生物安全 D. 军事安全 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 24 6. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小 7. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ① 10. 如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 12. 把抛物线y＝2x2 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为________________ 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 14. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 15. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④，其中正确结论序号是___________． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为、，且满足，求实数m的值． （参考结论：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，） 18. 在网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6． （1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB′C′； （2）若点B的坐标为（-4，5），试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标； （3）作出与△ABC关于原点对称的图形△A″B″C″，并写出A″、B″、C″三点的坐标． 19. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 20. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 21. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 22. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025上学期第十周周检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，是中心对称图形的是（　　） A. 核安全 B. 国土安全 C. 生物安全 D. 军事安全 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】求出根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】解：∵a=1，b=-3，c=-2， ∴∆=b2﹣4ac＝9+8=17>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”． 5. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵解方程x2-7x+12=0 得：x=3或4 ∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形； ∴菱形的边长为4． ∴菱形ABCD的周长为4×4=16． 故选C. 6. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式进行逐项判断即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 函数有最小值，当时，随的增大而减小， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 7. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，把函数解析式化为顶点式，求出对称轴和开口方向，进而得到离对称轴越远，函数值越小，再求出各点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，离对称轴越远，函数值越小， ∵、、为二次函数的图像上的三点，， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 9. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ① 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断③． 【详解】解：根据题意得：，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为， 墙长为，， 解得， 的取值范围为，故②错误； 根据题意得：， 解得，， ， ， 的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③错误． 故选：D． 10. 如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据正方形的性质得，，然后根据“”可判断，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意，， 四边形为正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是掌握先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键． 12. 把抛物线y＝2x2 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为________________ 【答案】y＝2（x＋3）2＋4 【解析】 【分析】根据二次函数图象与几何变换的方法即可求解． 【详解】解：y=2x2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（x+3）2+4； 故答案是：y=2（x+3）2+4． 【点睛】本题考查函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 14. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④，其中正确结论序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点． 根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故①正确； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 ， ，， ∵， ∴， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为、，且满足，求实数m的值． （参考结论：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式是解题的关键： （1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）利用根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 【小问1详解】 根据题意得， 解得； 【小问2详解】 根据题意，， 因为， 所以，即， 所以， 整理得， 解得，，而； 所以． 18. 在网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6． （1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB′C′； （2）若点B的坐标为（-4，5），试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标； （3）作出与△ABC关于原点对称的图形△A″B″C″，并写出A″、B″、C″三点的坐标． 【答案】 （1）△AB′C′如图所示； （2）建立的平面直角坐标系，如图所示，点A（-1，-1），点C（-4，-1）； （3）△A″B″C″如图所示，A″（1，1），B″（4，-5），C″（4，1）． 【解析】 【分析】（1）分别找出点B、C绕点A沿顺时针方向旋转90°后的对应点，然后再顺次连接三个点，即可得到△AB′C′； （2）先根据点B的坐标确定出原点是点A向右一个单位，向上一个单位，然后建立平面直角坐标系，即可写出点A、C的坐标； （3）分别找出点A、B、C关于原点的对称点，然后顺连接即可． 【详解】略 19. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 【答案】（1） （2）68.6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【小问1详解】 设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 （元）， 答：预计2025年该药剂的价格为68.6元． 20. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式 （2）水火箭距离地面的竖直高度米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， 【小问2详解】 解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 21. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 22. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】 （1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； 【小问3详解】 解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $