第11讲 解二元一次方程组（2大知识点+7大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

第11讲 解二元一次方程组（2大知识点+7大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握代入消元法解二元一次方程组； 2．掌握加减消元法解二元一次方程组； 知识点1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 知识点2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 考点一：代入消元法 例1．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．把②代入①，得：，整理后即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①，得：， 即， 故选：C． 1．方程组中，y的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接把方程①代入②，再进一步求解即可． 【详解】解：， 把①代入②得：， 解得：， 故选B． 2．已知 ，用含x的代数式表示y得（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程，把方程中含有的项移到等号的右边，再进一步把的系数化为1即可． 【详解】解：移项，得， 方程左右两边同时乘以，得． 故选：B． 3．将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解、等式的基本性质，利用等式的基本性质1求解即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减， 得， 故选：B． 4．已知 ，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算即可． 本题考查了用一个未知数表示另一个未知数，熟练掌握等式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为：． 5．用代入消元法解二元一次方程组，将②代入①后得到的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，理解解方程组的步骤正确代入计算是解题关键．利用代入消元法求解． 【详解】解： 将②代入①得： 故答案为：． 6．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．用表示出方程组的解是解题的关键．先求方程组的解，用表示出，的值，再根据可得到关于的等式，从而求得的值． 【详解】解：解方程组，可得， ， ，解得． 故答案为：． 7．已知是二元一次方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及其解法，解题的关键是正确求解方程组．利用二元一次方程组的解先求出m，n的值，再求的值． 【详解】解：把代入，得， 解得， 所以， 故答案为． 8．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解即可； （2）利用代入消元法即可解方程求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得∶． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得，解得∶． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 9．解方程组． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得． 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 考点二：加减消元法 例2.关于、的方程组，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数系数的特点是解题的关键． 即可得出的值． 【详解】解：， ，得， 故选：C． 1．已知方程组，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组中两个未知数的系数和相等，把两个方程相加可得，再把等式两边同时除以即可求出结果． 【详解】解： 得：， 等式两边同时除以可得：． 故选：C． 2．关于x，y的方程组有无数组解，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意可得，然后问题可求解． 【详解】解：由可得， ∵关于x，y的方程组有无数组解， ∴， ∴； 故选B． 3．已知方程组的解满足，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组，通过方程组，得到，即可解答．正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得到， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：A． 4．若，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想直接解答是解题的关键．即可得到． 【详解】解：， 得，， 得，， 故答案为：24． 5．若二元一次方程组的解是方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程，方程的解，掌握解二元一次方程，方程的解是解题的关键．由题意可知，方程组的解满足，求出的值，再代入中，即可求出的值． 【详解】解：方程组的解是方程的一个解， 方程组的解满足， 将代入中， 得， 解得，， ， 解得． 故答案为：2． 6．如果与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握绝对值与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为． 7．若方程组的解满足，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法得到，进一步得到，再由可得，则． 【详解】解： 得：， ∴， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故答案为：． 8．解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．直接利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 故原方程组的解为． 9．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．整理后用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 可得：， 解得：， 将代入②可得： ， 故方程组的解为． 考点三：二元一次方程组的特殊解法 例3.已知是关于，的二元一次方程组，则代数式的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，先整理方程组，将方程组中的两个方程相加，再除以3即可得到答案． 【详解】解： 由①②得：， ∴ ∴， 故选：B． 1．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解为， ， ，即， ， 故选：A． 2．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，由方程组得，进而可得，利用类比法即可求解，解题的关键是学会利用类比法解答． 【详解】解：由方程组得，， ∵方程组的解是， ∴， ∴方程组的解为， 故选：． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满是二元一次方程组的解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解为， 把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ， 解得， ， 故选：A． 4．已知关于的方程组，若，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 5．关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键． 将第二个方程组中的分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得，， 解得． 关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 6．已知关于的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将原方程组变形为，然后用换元法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得． 故答案为：. 7．若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据已知方程组的解可得所求方程组的解为，求解即可． 【详解】由题意得：方程组的解为， 解得： 故答案为：． 8．已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值． 【答案】2021 【分析】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得：， 故答案为：2021． 9．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，读懂题意，根据题中方法，利用加减消元法求解即可得到答案． （1）根据材料中解法，即可得到答案； （2）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案； （3）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，采用的是整体思想， 故选：A； （2）解：， 由②①，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是； （3）解：， 由②①，得③， ③，得④， ②④得，解得． 从而可得， ∴原方程组的解是． 考点四：方程组同解问题 例4.已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 1．已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 【答案】A 【分析】本题考查同解方程组求参数，先由题意得到，利用加减消元法解方程组得到，将其代入方程组和得到求解即可得到答案，熟练掌握方程组的解及解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：方程组和有相同的解， 方程组与和有相同的解， ， 由①②得， 将代入②得， 方程组和的解为， 将代入方程组和得到，解得， 故选：A． 2．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】∵和有相同的解， ∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组， ∵解方程组，得， ∴的解也为， 把代入， 得：， 两个方程相加，得， 整理，得， ∴ 故选：C. 3．已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（    ） A．13 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先解方程组求出该方程组的解，然后把这个解分别代入与即可求出a、b的值，进一步即可求出答案． 【详解】解方程组， 得， 把代入， 得， 解得：a=2， 把代入， 得， 解得：b=﹣11， ∴a－b=2－（﹣11）=13． 故选：A． 【点睛】本题考查了同解方程组的知识，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 4．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 【答案】 【分析】把，-y看作整体，则，从而得到方程组的解． 【详解】根据题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键． 5．若关于x、y的方程组与的解相同，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】由于两个方程组的解相同，那么可以重新组合方程组，解必然也相同．所以先解新的方程组，解得x与y的值，再将x与y的值代入到剩余的两个方程中，组成新的方程组，解得a与b的值，从而进行计算即可． 【详解】解：解方程组， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的立方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同解方程组，根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解是解答此题的关键． 6．已知方程组和有相同的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由方程组同解可得：，解方程组求解，再把求得的的值代入另外一个含系数的方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意：和 有相同的解， 可得：， ③①得：，， 将代入①，得， 所以方程组的解：， 将代入②， 得． 故答案为： 【点睛】本题考查的是同解二元一次方程组的问题，二元一次方程组的解法，掌握利用方程组同解构建新的方程组是解题的关键． 7．若二元一次方程组的解也是方程的解，则a= . 【答案】 【分析】根据方程组的解也是方程的解得 求出x，y得值，再代入方程，即可解答. 【详解】的解也是方程的解 ∴得 解得： 把代入方程得： 解得：a= 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 8．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 9．关于的方程组与的解相同， (1)求这个相同解． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程组，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键． （1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的没有参数的方程联立，解方程组即可求解． （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，求解即可． 【详解】（1）由方程组，解得， ∴这个相同解是． （2）把代入与， 得， 解得， ∴，它的平方根是． 考点五：二元一次方程组的错解复原问题 例5.解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 1．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，将甲同学的解代入方程组得到关于a与b的方程，并求出c的值，将乙同学的解代入方程组中第一个方程得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值即可． 【详解】解：将代入方程组得：①，，即， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 得：，即， 将代入①得：，即， 则． 故选：B． 2．解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（  ） A．不能确定 B．，， C．a、b不能确定， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，虽然看错了c，但题中两组解都符合方程①，代入方程①可得到一个关于a和b的二元一次方程组，用适当的方法解答即可求出a和b，至于c，可把正确结果代入方程②，直接求解即可，熟练掌握解方程组的方法是解决此题的关键． 【详解】把和分别代入，得， 得：， 将代入①解得：， 把代入得：， ∴， 故选：B． 3．甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组，中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，则原方程组的解为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意，得：，满足；满足， ∴， ∴， ∴原方程组为：，解得：； 故选B． 【点睛】本题考查解含参的二元一次方程组．熟练掌握方程组的解满足没有看错的那个二元一次方程，是解题的关键． 4．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 5．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 6．解关于x，y的方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则的值是 ． 【答案】26 【分析】此题实际上是考查解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数的含义：即方程组中除了系数看错以外，其余的系数都是正确的． 根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于、的方程，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为，再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，进而求出的值． 【详解】解：解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到的解是， 把与代入中得：， 得：， 把代入①得：， 把代入中得：， 解得：， 则； 故答案为：26． 7．甲、乙两人都解方程组甲看错解得，乙看错解得，则方程组正确的解是 ． 【答案】 8．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； （2）由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值． (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． (3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数，熟练二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把代入，把代入，分别解方程即可求解； （2）把；代入，求得方程组的解，再将解代入，利用加减消元法求得的值，即可求解； （3）将的值代入，整理得，当时，方程有无数个解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为， ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得方程组为，解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在， 由（2）得关于x的方程为， 整理得， ∵关于x的方程有无数个解， ∴，解得． 考点六：构造二元一次方程组求解 例6.已知，则的值是（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质及解二元一次方程组，根据非负数的性质得出方程组是解答此题的关键． 根据两个非负数代数式的和为0，则它们都为0，得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】， 解得： 当，时， 则， 故选：A． 1．定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知等式列方程组，求出、的值，再计算求值即可． 【详解】解：，且， ，解得：， ， ， 故选：B 2．若，，则的值等于（    ） A．9 B．2 C． D．不能求出 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，将原等式变形得，，设，,得，解方程组即可求解，将原等式变形处理是解题的关键． 【详解】解：由得， 由得， 设，, 则， 解得：， ， 故选A． 3．在等式中，当时，；当时，，则当时，x的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可的关于的二元一次方程，解答得的值，再将代入原式，即可求得的值． 【详解】解：把，和，代入原方程， 可得：， 解得， 等式为， 当时，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练用加减消元法解二元一次方程是解题的关键． 4．已知且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解二元一次方程，先求出，再代入，可求出n，然后代入求出m，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， ∵， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 6．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 【答案】 【分析】本题考查解方程和方程组，根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可．熟练掌握二元一次方程组及一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 7．已知单项式和是同类项，则 ， ． 【答案】 /0.5 0 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．根据同类项的定义构建方程组求解即可． 【详解】单项式和是同类项， 可列方程组 解得即m的值为，n的值为0． 故答案为：，0． 8．在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将两组值代入求出等式是解题的关键． （1）分别将，；，分别代入等式，得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可； （2）把代入，求出y值即可． 【详解】（1）解：将，；，分别代入等式，可得： ， 解得； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 解得． 9．已知等式，对一切实数x都成立，求m、n的值． 【答案】m、n的值分别为、 【分析】根据关键语“等式对一切实数x都成立”，只要让等式两边x的系数和常数分别相等即可列出方程组求解． 【详解】解：∵等式对一切实数x都成立， ∴ ， 解得：， 故m、n的值分别为、． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 考点七：已知二元一次方程组的解的情况求参数 例7.若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于利用等式性质变形．将方程组两方程相减表示出，即可求出的值． 【详解】解：， 得：， 即， ， ， ， 解得：， 故选：A． 1．若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，让方程组中的两个方程直接相加得到，化简得，结合已知即可求出k的值． 【详解】解：， ①②得，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出，然后得出即可求出k的值． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 3．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 4．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出．根据原方程组得：，得出,根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：，即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点，①+②得，得出，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：， ①+②得，，即， 又因为， 所以， 解得． 故答案为：． 6．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解．把两个方程相加即可求出，再利用，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 7．若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程两边同乘2，得，该方程与完全一样时，方程组有无数组解，即可求出、的值，再计算的值． 【详解】解：， ②，得， 关于，的方程组有无数组解，、不为0， ，， ， ， 故答案为：． 8．若等式 中的x，y满足方程组 ，求 的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，二元一次方程组的解的定义，先由非负数的性质得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求出m、n的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得 将 代入方程组 得 解得 ∴原式 9．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 1．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 2．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【详解】解： 要消去，可以将，要消去，可以将 故选：C． 3．若关于，的方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解二元一次方程组，得出，，代入，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解： 得，， 将代入得 解得： ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 4．若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确理解方程有无穷多个解的条件是关键．方程有无穷多个解，则方程变形成一般形式以后一次项系数与常数项应该都等于，即可求得，的值，进而即可求解． 【详解】解：该方程整理，得， 根据题意，得， 解得， 所以． 故选：C． 5．已知是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握加减消元的思想．先把代入方程组，可得，解可求、的值，最后把、的值代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程，可得， 解得， ∴． 故选：． 6．若，用含的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了利用二元一次方程组求代数式的值，两个方程相加可得，从而可得答案．解题的关键是整体加减，使计算简便． 【详解】解： 由得：，即：， ∴， 故答案为：1． 8．关于x、y的方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．可得结果． 【详解】解：， ，得 ， ∴． 故答案为：． 9．已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 10．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．现将二元一次方程组由得出新方程组，再将两个方程直接相加，得到，再将整体代入，得到关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：， 由得， ， 得，， 解得， 故答案为：、 11．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2） 整理得， 得： 解得 将代入②得： 解得， ∴方程组的解为：． 12．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先去分母整理，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得，， 解得，， 将代入①式得，， 解得，， ． （2）解：整理得， 得，， 解得，， 将代入①式得，， 解得，， ． 13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． （1）由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值； （2）将a，b的值代入，利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 14．阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小强的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组是解本题的关键； （1）由①得：，再代入②得：可得，再进一步求解即可； （2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 整理得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 15．已知x，y同时满足，． (1)当时，求的值； (2)试说明无论a为何值，y的值始终比x的值大2． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． （1）两式相加后，把代入，计算即可； （2）两式相减求出值，进而求出的值，计算出的值，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； （2）∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴无论a为何值，y的值始终比x的值大2． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 解二元一次方程组（2大知识点+7大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握代入消元法解二元一次方程组； 2．掌握加减消元法解二元一次方程组； 知识点1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 知识点2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 考点一：代入消元法 例1．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 1．方程组中，y的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知 ，用含x的代数式表示y得（　） A． B． C． D． 3．将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，用含x的代数式表示y，则 ． 5．用代入消元法解二元一次方程组，将②代入①后得到的方程为 ． 6．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是 ． 7．已知是二元一次方程组的解，则 ． 8．用代入法解下列方程组： (1) (2) 9．解方程组． 考点二：加减消元法 例2.关于、的方程组，则的值等于（  ） A． B． C． D． 1．已知方程组，则（   ） A． B． C． D． 2．关于x，y的方程组有无数组解，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知方程组的解满足，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．5 4．若，，则 ． 5．若二元一次方程组的解是方程的一个解，则m的值为 ． 6．如果与互为相反数，则 ． 7．若方程组的解满足，则 ． 8．解方程组：． 9．解方程组：． 考点三：二元一次方程组的特殊解法 例3.已知是关于，的二元一次方程组，则代数式的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 1．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 2．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满是二元一次方程组的解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知关于的方程组，若，则k的值为 ． 5．关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 6．已知关于的方程组的解是，则方程组的解为 ． 7．若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 8．已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值． 9．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 考点四：方程组同解问题 例4.已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 2．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 3．已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（    ） A．13 B．9 C． D． 4．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 5．若关于x、y的方程组与的解相同，则的立方根为 ． 6．已知方程组和有相同的解，则a的值为 ． 7．若二元一次方程组的解也是方程的解，则a= . 8．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 9．关于的方程组与的解相同， (1)求这个相同解． (2)求的平方根． 考点五：二元一次方程组的错解复原问题 例5.解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（  ） A．不能确定 B．，， C．a、b不能确定， D．，， 3．甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组，中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，则原方程组的解为（　） A． B． C． D． 4．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 5．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 6．解关于x，y的方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则的值是 ． 7．甲、乙两人都解方程组甲看错解得，乙看错解得，则方程组正确的解是 ． 8．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值． (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． (3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 考点六：构造二元一次方程组求解 例6.已知，则的值是（    ） A．1 B． C．2024 D． 1．定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若，，则的值等于（    ） A．9 B．2 C． D．不能求出 3．在等式中，当时，；当时，，则当时，x的值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知且，那么 ． 5．若，则的值为 ． 6．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 7．已知单项式和是同类项，则 ， ． 8．在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 9．已知等式，对一切实数x都成立，求m、n的值． 考点七：已知二元一次方程组的解的情况求参数 例7.若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 1．若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 3．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 4．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 5．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 6．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 7．若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 8．若等式 中的x，y满足方程组 ，求 的值． 9．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 1．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 2．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 3．若关于，的方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．5 4．若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．8 6．若，用含的式子表示为 ． 7．已知，则 ． 8．关于x、y的方程组，则的值为 ． 9．已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 10．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 11．解方程组： (1) (2) 12．解方程组 (1) (2) 13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 14．阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小强的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组 15．已知x，y同时满足，． (1)当时，求的值； (2)试说明无论a为何值，y的值始终比x的值大2． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$