四川省南充市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学试卷 第 1 页（共 4 页） 2024 年秋季八年级期末教学质量监测 数 学 试 卷 （时间 120分钟，满分 150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置； （2）所有解答内容均需写在答题卡上； （3）建议用 0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分） 每小题都有代号为 A、B、C、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的．请 把正确选项的代号填写在答题卡对应位置上，正确记 4 分，不填、错填或多填 记 0 分． 1．比亚迪新能源汽车热销海外，其王朝系列尤其受欢迎，该系列的秦、汉、唐、 宋、元五大车型是以我国五个朝代命名，每个车型都有自己对应的汉字篆体车 标．下列车标中，是轴对称图形的是 A． B． C． D． 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原 理是 A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 4．袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也 学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为 0.0000084m，则数据 0.0000084 用科 学记数法表示为 A．8.4×10—5 B．8.4×10—6 C．8.4×10—7 D．8.4×106 5．下列各图中，a、b、c分别是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注 的信息，能确定与左侧△ABC全等的是 A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有丙 6．一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距 u，像距 v和凸透镜的焦距 f满足关系式： fvu 111  ．已知 u和 v，则 f可表示为 第 3题  23 6a a 3 2 6a a a 8 2 4a a a  2 32 3a a a  八年级数学试卷 第 2 页（共 4 页） 第 14题 图 1 图 2 第 10题 第 7题 第 12题 A． uv vu  B． uv vu  C． vu uv  D． vu uv  7．如图，在△ABC中，以点 A为圆心，AC的长为半径作弧 交 BC于点 D，再分别以点 B和点 D为圆心，大于 BD 2 1 的 长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线 MN交 AB于点 E，连接 DE，AD．若△ADE的周长为 8，AC＝3， 则 AB的长为 A．4 B．5 C．6 D．8 8．《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”．其中有一个问题 大意如下：今有一批公粮，需运往距出发地 420km的储粮站，若运输这批公粮 比原计划每日多行 10km，则提前 1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每 日行 x km，则根据题意可列出的方程是 A． 1 10 420420    xx B． 10 4201420   xx C． 1 10 420420    xx D． 10 4201420   xx 9．已知 a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a－b－c|－|c－a＋b|的结果为 A．2a－2b－2c B．2a＋2b C．－2c D．0 10. 如图，将边长分别为 a和 b的两个正方形拼在一起，B，E， A三点在同一直线上，连接 AG，AD，若两正方形的边长 满足 a－b＝4，ab＝12，则阴影部分的面积为 A．8 B．10 C．14 D．16 二、 填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11．计算：     10 202514.3  ＝ ▲ ． 12．如图，△ABC≌△DEC，点 B，C，D在同一条直线上， 且 CE＝1，CD＝2，则 AE的长是 ▲ ． 13．当 x＝ ▲ 时，分式 与 的值互为相反数． 14．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1），然后轻轻拉紧、 压平就可以得到如图 2所示的正五边形 ABCDE．在图 2中，∠ACD的度数 为 ▲ ． 15．已知 a，b，c为△ABC的三边，且满足 a2－b2＝ac－bc，则△ABC的形状是 ▲ 三角形． 16．如图，在直角三角形 ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线 AD，BE相 交于点 O，过点 O作 OF⊥AD交 BC的延长线于点 F，交 AC于点 G，下列结 论：①∠AOB＝135°；②BA＝BF；③△AOG≌△FOD；④BD＋AG＝AB．其 中正确的结论有 ▲ ．（填写序号） 第 16题 八年级数学试卷 第 3 页（共 4 页） 三、 解答题（本大题共 9个小题，共 86分） 请在相应位置解答，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）计算： （1）   2325 2 xyxxyx  ； （2）     112  aaaa ． 18．（8分）先化简，再求值：            1 3 1 9 2 2 aa a ，请从－3，－2，0，3中选取合适 的 a的值代入． 19．（8分）如图，在△ABC中，D为 BC的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC于 F，且 BE＝CF． （1）求证：DE＝DF； （2）若 AB＝9，DF＝4，求△ABC的面积． 20．（10分）把下列各式因式分解： （1） 164 2 x ； （2）    2816 yxyx  ． 21．（10分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是 1 的正方形）中完成下列各题：（保留作图痕迹，不写 作法） （1）画出△ABC（顶点均在格点上）关于直线 DE 对称的△A1B1C1； （2）在 DE上画出点 P，使 PB1＋PC最小； （3）在 DE上画出点 Q，使△ACQ的周长最小． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 120°，AD是 BC边上的中线，CD的垂直平分线 MF交 AC于 F，交 BC于 M，连接 DF． （1）△ADF是等边三角形吗？为什么？ （2）若 MF的长为 1，求 AB的长． 23．（10分）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上 更多“中国绿”．某村为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲 种树苗花了 21000元，购买乙种树苗花了 12000元，甲种树苗的单价比乙种 树苗的单价高了 50％，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多 200棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？ （2）为扩大园区绿化面积，该村准备再次购进甲、乙两种树苗共 2600棵，且 总金额不超过 28000元，则最多可以购进多少棵甲种树苗？ 24．（10分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以 得到一个数学等式．例如图 1 可以得到的数学等式为（a＋b）（a＋2b）＝ a2＋3ab＋2b2．请解答下列问题： （1）图 2中所表示的数学等式为 ▲ ； 第 19题 第 22题 第 21题 八年级数学试卷 第 4 页（共 4 页） （2）请利用第（1）小题中所得到的结 论，解决下面的问题：已知 a2＋b2＋c2 ＝26，a＋b＋c＝8，求 ab＋bc＋ac的值； （3）小灵同学用 2张边长为 a的正方形， 3张边长为 b的正方形，7张两边分别为 a，b（a＜b）的长方形纸片拼出了一个 大长方形，请你直接写出该大长方形的 长和宽． 25．（12分）定义：如果 1条线段将一个三 角形分割成 2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰 线”．如果 2条线段将一个三角形分割成 3个等腰三角形，我们把这 2条线段 叫做这个三角形的“三等腰线”．如图 1，线段 BD将顶角为 36°的等腰三角 形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是△ABC的“双等腰线”；线段 BD，CE将顶角为 36°的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD，CE是△ABC的“三等腰线”． （1）请在图 2中，作出△ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底 角的度数： ①∠A＝20°，∠B＝40°； ②∠A＝67.5°，∠C＝90°． （2）请在图 3中，画出顶角为 45°的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标 出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； （3）画图和计算：在△ABC中，∠C＝25.5°，点 D在 BC边上，点 E在 AB 边上，AD和 DE是△ABC的“三等腰线”，且 AD＝CD，BE＝DE，请试画出 示意图，并求∠B的度数． 第 24题 第 25题 图 3 第 1页(共 4页) 八年级数学参考答案及评分意见 说明： 1. 阅卷前认真阅读参考答案和评分意见，明确评分标准，不得随意拔高或降低标准; 2. 全卷满分 150 分，参考答案和评分意见所给分数表示考生正确完成当前步骤时应 得的累加分数; 3. 参考答案和评分意见仅是解答的一种，如果考生的解答与参考答案不同，只要正确 就应该参照评分意见给分，合理精简解答步骤，其简化部分不影响评分; 4. 要坚持每题评阅到底.如果考生解答过程发生错误，只要不降低后继部分的难度且后 继部分再无新的错误，可得不超过后继部分应得分数的一半；如果发生第二次错误， 后面部分不予得分；若是相对独立的得分点，其中一处错误不影响其它得分点的评 分. 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C C B A D C 10．解：由题意可知: S 阴影＝S△ABD－S△AGE= 1 2a 2− 12b（a－b）= 1 2（a 2－ab＋b2）= 12[（a－b） 2＋ab]， ∵a－b＝4，ab＝12， ∴S 阴影= 1 2 × [4 2 + 12] =14． 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分) 11. 2024 2025 12. 1 13. 0 14. 72° 15. 等腰 16. ①②③④ 16．解：①∵△ABC的角平分线 AD，BE相交于点 O， ∴∠��� = ∠��� = 12∠���，∠��� = ∠��� = 1 2∠���， ∴∠BOD＝∠ABO＋∠BAO= 12 (∠��� + ∠���) = 1 2 × 90° =45°， ∴∠AOB＝135°,故①正确； ②∵∠DOF＝90°，∠BOD＝45°，∴∠BOF＝∠AOB＝135°, 又∵∠��� = ∠���，BO＝BO，∴△���≌△���（ASA），∴BA＝BF，故②正确； ③∵△���≌△���，∴OA＝OF，∠BAO＝∠BFO， ∵∠��� = ∠���，∴∠��� =∠BFO， 又∵∠��� = ∠���＝90°，OA＝OF， ∴△���≌△���（ASA），故③正确； ④∵△���≌△���，∴AG＝FD， ∴AB＝FB＝FD＋BD＝AG＋BD，故④正确； 因此正确的有：①②③④． 三、解答题 (本大题共 9 个小题，共 86 分 ) 17．解：(1)原式＝x4y2－(－8x3)•xy2 …………………(2分) ＝x4y2＋8x4y2 …………………(3分) ＝9x4y2； …………………(4分) 第 2页(共 4页) (2)原式＝a2＋2a－(a2－1) ………………(6分) ＝a2＋2a－a2＋1 …………………(7分) ＝2a＋1． …………………(8分) 18．解：原式= �+2(�+3)(�−3) ÷（ 1 �+3 − �+3 �+3 ） …………………(2分) = �+2(�+3)(�−3) ÷ −�−2 �+3 …………………(3分) = �+2(�+3)(�−3)• �+3 −(�+2) …………………(4分) = 13−�，…………………(5分) ∵a＋3≠0，a－3≠0，a＋2≠0， ∴a≠－3，－2，3，…………………(6分) ∴当 a＝0时，原式= 13−0 = 1 3．…………………(8分) 19． (1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝90°，∠DFC＝90°， ∵D为 BC的中点，∴BD＝CD，…………………(2分) 在 Rt△BDE和 Rt△CDF中，      CFBE CDBD ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），…………………(3分) ∴DE＝DF；…………………(4分) (2)连接 AD， ∵Rt△BDE≌Rt△CDF ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， …………………(5分) ∵DE＝DF，∴ DFACDEAB  2 1 2 1 即 S△ABD＝S△ACD，…………………(6分) ∵AB＝9，DE＝DF＝4，∴ 18 2 49   ABDS ， ∴S△ABC＝2S△ABD＝36．…………………(8分) 20．解：(1)原式＝4(x2－4) …………………(3分) ＝4(x＋2)(x－2) ……………(5分) (2)原式＝[4－(x＋y)]2 ……………………(8分) ＝(4－x－y)2 …………………(10分) 21．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求； ………(4分) (2)如图，点 P即为所求； …………(7分) (3)如图，点 Q即为所求． ……………(10分) 22．解：（1）△ADF是等边三角形．…………………(1分) 理由是：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C= 12 ×（180°－∠BAC）＝30°，…………………(2分) ∵MF是 CD的垂直平分线，∴DF＝CF，…………………(3分) 第 3页(共 4页) ∵∠C＝30°，∴∠FDC＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠C＋∠FDC＝60°，………(4分) ∵在△ABC中，AB＝AC，AD是 BC边上的中线， ∴∠DAF＝ 2 1 ∠BAC＝60°，∴∠ADF＝∠DAF＝∠AFD＝60°， ∴△ADF是等边三角形；…………………(5分) （2）∵MF是 CD的垂直平分线，∴∠FMC＝90°， ∵∠C＝30°，MF＝1，∴FC＝2MF＝2，…………………(7分) ∵DF＝FC，∴DF＝2， ∵△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝2，…………………(8分) ∴AC＝AF＋CF＝2＋2＝4，…………………(9分) ∵AB＝AC，∴AB＝4．…………………(10分) 23．解：（1）设乙种树苗的单价是 x元，则甲种树苗的单价是 1.5x元， 依题意得： 21000 1.5� = 12000 � +200，…………………(2分) 解得：x＝10，…………………(4分) 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，…………………(5分) ∴1.5x＝1.5×10＝15（元）， 答：甲种树苗单价是 15元，乙种树苗单价是 10元；…………………(6分) （2）设购进甲种树苗 m棵，则购进乙种树苗（2600－m）棵， 根据题意得：15m＋10（2600－m）≤28000，…………………(8分) 解得：m≤400，…………………(9分) ∴m的最大值为 400， 答：最多可以购进 400棵甲种树苗．…………………(10分) 24．解：(1)（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac；…………………(2分) (2)由（1）的结论可得： ∵a＋b＋c＝8，a2＋b2＋c2＝26 ∴82＝26＋2×（ab＋bc＋ac） ∴ab＋bc＋ac＝19；…………………(6分) （3）大长方形的长为 a＋3b，宽为 2a＋b．…………………(10分) 25．解：(1)①如图 1所示：…………………(2分) ②如图 2所示：（画出一种即可）…………………(4分) 图 2 第 4页(共 4页) （2）如图 3所示：（画出一种即可）…………………(7分) 图 3 （3）设∠B＝x°， ①当 AD＝AE时，如图 4， ∵AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝25.5°， ∵DE＝EB， ∴∠EDB＝∠B＝x°， ∴∠ADE＝∠AED＝2x°， ∴2x＋x＝25.5＋25.5， ∴x＝17， ∴∠B＝17°；…………………(9分) ②当 AD＝DE时，如图 5， ∵AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝25.5°， ∵DE＝EB， ∴∠EDB＝∠B＝x°， ∴∠DAE＝∠AED＝2x°， ∴25.5＋25.5＋2x＋x＝180， ∴x＝43， ∴∠B＝43°；…………………(11分) ③当 AE＝DE时， ∵AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝25.5°， ∵DE＝EB， ∴∠EDB＝∠B＝x°， ∴∠AED＝2x°， ∴∠DAE＝∠ADE＝ 2 180 x =（90－x）° ∵90－x＋25.5＋25.5＋x＝180， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：∠B的度数为 17°或 43°．…………………(12分) 图 5 图 4