精品解析： 天津市第二十一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学 一、选择题： 1. 下列说法，正确的是（ ） A. 等弦所对的圆周角相等 B. 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 C. 切线垂直于圆的半径 D. 平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆心角、弧、弦的关系分别进行判断即可． 【详解】解：在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故A选项错误； 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故B选项正确； 切线垂直于过切点的圆的半径，故C选项错误； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键． 2. 如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为△ADE∽△ABC， 所以 故选：B. 3. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知可得； 根据“AH＝2，HB＝1，BC＝5”，可求出的值，从而可知的值. 【详解】解：∵AH＝2，HB＝1，BC＝5， ∴AB＝AH＋HB＝2＋1＝3， ∴. ∵直线l1∥l2∥l3， ∴. 故选D. 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理,掌握相关定理是解题关键. 5. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=50°，则∠ACB的度数为 （ ） A. 100° B. 50° C. 25° D. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理∠ACB=∠AOB计算即可． 【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠AOB=50°， ∴∠ACB=25°． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为( ) A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理证得为等腰直角三角形，从而计算出结果． 【详解】如图。连接，则，根据圆周角定理，得， 是等腰直角三角形，， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形得性质，熟练掌握并利用圆周角定理是解决问题的关键． 7. 如图，在圆内接四边形中，若，则（ ） A. 40° B. 130° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补解答. 【详解】∵四边形是圆内接四边形， ∴∠B+∠D=， ∵， ∴130°， 故选：B. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟记性质定理是解题的关键. 8. 如图，PA 切 圆O于 点，PC 经过圆心O，且PA=8，PB=4．则圆O半径为（　　）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，根据切线的性质得出，设，则，再根据勾股定理列方程即可得出答案． 【详解】解：连接OA PA切圆O于点， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 即 解得： 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握性质定理作出合适的辅助线是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由DEBC可得出，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度． 【详解】解：∵DEBC， ∴，∠AED＝∠C． 又∵∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴， ∵CF＝6， ∴， ∴DE＝10． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 10. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 11. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（　　） A. 2.5 B. 1.6 C. 1.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】连接OD、OE， 设AD=x， ∵半圆分别与AC、BC相切， ∴∠CDO=∠CEO=90°， ∵∠C=90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∴OD=OE， ∴四边形ODCE是正方形， ∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2， ∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°， ∴∠A=∠BOE， ∴△AOD∽OBE， ∴， ∴， 解得x=1.6， 故选B． 12. 如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）． A. 20 B. C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，经勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG值，即可完成求解． 【详解】如图，连接OA、OB ∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴， ∵MN＝20，A、B是⊙O上的两点 ∴ ∴， ∴， ∴ 延长BD与⊙O相交于点G ∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN ∴， ∴ 当点P在直线AG上时，取最小值，且最小值 过G作GH⊥AC于点H 又∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴，， ∴四边形矩形 ∴， ∴ ∴ ∴PA+PB的最小值是： 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 二、填空题： 13. 若等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，等边三角形一边上的高线也是这边上中线．在中，的余弦值是角的邻边与斜边的比值． 【详解】解：根据题意画出图形，得，． 过点O作于点D， ∴． 根据圆和等边三角形的对称性可知． 在中，， 由，得， ∴． 即该等边三角形的边长为． 故答案为：． 14. 一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形的半径是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式（其中为扇形的弧长，为扇形的半径）即可得． 【详解】设这个扇形的半径为， 则， 解得， 即这个扇形的半径为6， 故答案：6． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记公式是解题关键． 15. 已知， 面积比为， 则与的对应边之比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据与的面积比是对应边之比的平方，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， 面积比为，且， ∴与的对应边之比为， 故答案为：． 16. 如图，点0为的外心，点I为的内心，若，则________________. 【答案】125° 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据三角形的内心的性质得到BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，再根据三角形内角和定理即可计算出答案. 【详解】解：∵点O为△ABC的外心 ∴ ∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110° ∵点I为△ABC的内心 ∴ ∴∠BIC=180°-55°=125° 故答案为125°. 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心和三角形的内切圆与内心，能够运用外心和内心的性质是解题的关键. 17. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，根据对称的性质得出IF=x，根据切线定理得出EH和HF的长度，最后根据Rt△EIF的勾股定理得出答案． 【详解】解：∵点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称， ∴IE⊥BC， ∴四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x， 由切线长定理可知，ED=EH，FC=FH， ∵B、F关于EI对称， ∴IF=BI=x，ED=EH=8－x，FC=FH=8－2x，EF=16-3x， 在Rt△EFI中，∴， 解得：x=6－ 或x=6+(舍去)， ∴AE=6－． 【点睛】本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，． （I）线段AB长等于___________； （II）P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出圆心O和点P，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）________ 【答案】 ①. ②. 图见解析，理由见解析 【解析】 【分析】（I）利用勾股定理可得答案； （II）利用勾股逆定理确定格点D，使得，故，取△ABC的外接圆与网格线的交点F，G，使得,则FG与BE相交于点，为圆心，由同弧所对的圆周角相等，可得，因为，故． 【详解】解：（I）； 故答案为： （II）利用勾股逆定理确定格点D， ∵ 又∵ ∴ ∴， ∴，是的直径， 由方格知,则与相交于点， ∴是的直径 ∴为圆心， ∵ ∴， ∵， ∴． 故答案为：如图，取格点D，连接并延长，与的外接圆相交于点E，连接；取的外接圆与网格线的交点F，G，连接与相交于点O；连接并延长，与的外接圆交于点P，则点P即为所求． 【点睛】此题考查的是勾股定理逆定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题： 19. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式为，再运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， 则 解得，； 【小问2详解】 解： ∴， 则 ∴，； 20. 已知：如图，是上一点，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由两直线平行内错角相等可得，再结合已知条件，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得，据此即可求出的长． 【小问1详解】 证明： ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 解∵ ， ∴， 即：， ∴． 21. 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD＝CD＝5；（Ⅱ）BD＝5 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5 ； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5． 【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝∠BDC＝90°． ∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6， ∴由勾股定理得到：AC＝ ∵AD平分∠CAB， ∴ ， ∴CD＝BD． 在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2， ∴易求BD＝CD＝5； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°， ∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°． 又∵OB＝OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD＝OB＝OD． ∵⊙O的直径为10，则OB＝5， ∴BD＝5． 【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形． 22. 如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，． （1）求的度教； （2）若弦．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据垂径定理得到，，然后利用圆周角定理求解即可； （2）连接，首先根据垂径定理得到，然后求出，设，则，根据勾股定理求出，，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弓形阴影面积，解题的关键是正确出辅助线． 23. 已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝76°，C为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小； （Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD．求∠EAC的大小． 【答案】（1）52°；（2）19°. 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°求出∠BOA的度数，再根据圆周角定理可求出∠ACB的度数； （Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，进而求出∠BCE和∠BAE的度数，根据等腰三角形的性质求∠ABD＝∠ADB的度数，再根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：（Ⅰ）如图，连接OA、OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°， 由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝52°； （Ⅱ）如图，连接CE， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝52°， ∴∠BCE＝90°﹣52°＝38°， ∴∠BAE＝∠BCE＝38°， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝71°， ∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝71°-52°=19°． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接AB．把绕点B逆时针旋转得．点A，O旋转后的对应点为点，．记旋转角为． （1）如图①，当点落在AB边上时，求的值和点的坐标； （2）如图②，当时，求的长和点的坐标； （3）连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值． 【答案】（1）45°， （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），先判断△ABO是等腰直角三角形，当点落在边AB上时，α=45°， 可得点的横坐标，纵坐标； 对于（2），先说明为等边三角形，根据勾股定理求出AB，再根据“SSS”证明，即可得出直线的函数关系式为y=x，再根据勾股定理求出，可得点的坐标； 对于（3），先判断时的位置，再求出面积即可． 【小问1详解】 如图， ∵点A（2，0），点B（0，2）， ∴OA=OB=2，△ABO是等腰直角三角形， ∴． 当点落在边AB上时，α=45°， ∴点的横坐标是，纵坐标是， ∴点的横坐标是． 【小问2详解】 如图，过点O'作O'H⊥OB于点H, 在Rt△O'BH中， ∵O'B=2,∠OBO'= 60° ∴∠HO'B=30° ∴BH=O'B=1, O'H=, O'(，1) ; 当时， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 【小问3详解】 ． 如图，以为底，当高最大时，的面积最大，即当旋转到如图所示的位置时，高最大． 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，判断的位置是求的面积最大的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线下方抛物线上一动点，连接， ，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移 个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）或或， 【解析】 【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可； （2）先得出抛物线的对称轴，作轴交直线于E，设，用表示出的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入得 ，解得：， ∴该抛物线的解析式为， 【小问2详解】 把代入中得：， ∴， 抛物线的对称轴l为， ∵点D与点C关于直线l对称， ∴， ∵， 设直线的解析式为； ∴，解得：， ∴直线AD的函数关系式为：， 作轴交直线于M，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即点时，的面积最大，最大值为：8 【小问3详解】 ∵直线的函数关系式为：， ∴直线与轴正方向夹角为， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∵，，平移后的坐标分别为，， 设平移后的抛物线的解析式为 则，解得：， ∴平移后， ∴抛物线y1的对称轴为：， ∵， ∴， 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： ①当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ②当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ③当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ∴或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题： 1. 下列说法，正确的是（ ） A. 等弦所对的圆周角相等 B. 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 C. 切线垂直于圆的半径 D. 平分弦的直径垂直于弦 2. 如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2 3. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 5. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=50°，则∠ACB的度数为 （ ） A. 100° B. 50° C. 25° D. 35° 6. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为( ) A. 2 B. C. 2 D. 4 7. 如图，在圆内接四边形中，若，则（ ） A. 40° B. 130° C. 120° D. 150° 8. 如图，PA 切 圆O于 点，PC 经过圆心O，且PA=8，PB=4．则圆O的半径为（　　）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 11. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（　　） A. 2.5 B. 1.6 C. 1.5 D. 1 12. 如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）． A. 20 B. C. 14 D. 二、填空题： 13. 若等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长为_________． 14. 一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形的半径是___________． 15. 已知， 面积比为， 则与的对应边之比为_____． 16. 如图，点0为外心，点I为的内心，若，则________________. 17. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=_______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，． （I）线段AB的长等于___________； （II）P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出圆心O和点P，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）________ 三、解答题： 19 解方程 （1）． （2）． 20. 已知：如图，是上一点，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 22. 如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，． （1）求的度教； （2）若弦．求图中阴影部分的面积． 23. 已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝76°，C为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小； （Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD．求∠EAC的大小． 24. 在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接AB．把绕点B逆时针旋转得．点A，O旋转后的对应点为点，．记旋转角为． （1）如图①，当点落在AB边上时，求值和点的坐标； （2）如图②，当时，求的长和点的坐标； （3）连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值． 25. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线下方抛物线上一动点，连接， ，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移 个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $