江苏省扬州市宝应县2024-2025学年九年级上学期1月期末调研数学试题

2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（    ） A． B．2 C． D．4 3．如表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（    ） 年龄/岁 15 16 17 18 频数/名 5 6 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 4．如图，在中，为直径，点C，D是圆上的点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 6．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 第7题 7．如图，的直径的长度为定值a，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于点D，C两点，设，，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．135° 二、填空题（每小题3分，计24分） 9．为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）． 10．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，0，，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 11．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝　 　． 12．为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为x，则根据题意可列方程为 　 　． 13．△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　 　三角形． 14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是 　 　． 15．已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若－4＜b＜1，则m的取值范围是 ． 16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 ． 三、解答题（共11题，计102分） 17．（6分）解方程：(1) (2) 18．（6分）某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了不完整的统计图如下． 各捐书数量对应人数占捐书总人数的百分比 (1)求出参加捐书的学生总人数，并补全条形统计图； (2)求这些学生捐书数量的中位数； (3)若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是________本． 19．（8分）一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问： （1）袋子里蓝球有多少个？ （2）任意摸出1个红球的概率是多少？ 20．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣a﹣1＝0． （1）求证：方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值． 21．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为．    (1)填空： ①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为 ； ②的取值范围是 ； (2)矩形养殖场的面积能否达到?如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长． 23．（8分）香醋受百姓喜爱，某商场平均每天卖出600份香醋礼盒，卖出1份礼盒的利润是10元，经发现，每份礼盒售价每涨1元，平均每天少卖10份，为了使每天获取的利润更多，该商场决定将售价上调． （1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为 　 　元，该商场平均每天可卖出礼盒 　 　份；（结果用含x的代数式表示） （2）为了控制价格，要求一份礼盒获利不超过20元，则每份礼盒售价上涨多少元时，该商场每天获得的利润最大？ 24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积． 25．（10分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90° （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的周长． 26．（12分）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”，如图， （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 27．（12分）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①求证：是的“相望角”； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为， ①求弦的长． ②当时，则 ． 参考答案 1-5ACCCB 6-8CCC 9． 10． 11． 12．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝21000 13．等腰 14. 15．－2＜m＜3 16.2 17.(1), (2), 18.（1）解：参加捐书的学生总人数人，捐8本书的有人， 补全条形统计图如下： （2）解：这100人捐书的本数，按从小到大的顺序排序，中位数是第50和第51个数据的平均数，由条形图可知，第50和第51个数据都是6， 这些学生捐书数量的中位数为：； （3）解：这100名学生捐书数量的平均数为：， 平均数增大了， 漏掉的那个学生捐书数量最少是7本， 故答案为：7． 19.解：（1）设蓝球有x个，则，解得，x＝9． 故篮球有9个． （2）任意摸出1个红球的概率是． 20.（1）证明：∵Δ＝12﹣4×a×（﹣a﹣1）＝1+4a2+4a＝（2a+1）2≥0， ∴方程总有实数根． （2）解：∵方程的两个根分别为x1，x2， ∴，， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+10． 21.（1）解：①因为中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形， 所以， 因为栅栏的总长度为，所以与墙垂直的边长， 故答案为：； ②因为墙的长度为，所以， 解得． 故答案为： （2）解：矩形养殖场的面积能达到； 根据题意列方程得，， 解得，，（舍去）， 答：矩形养殖场的面积能达到，． 22.解：（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下： 连接OE，OC， ∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE， ∴， ∴∠COE＝∠BOE， ∵OC＝OB， ∴OE⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OE⊥EF， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）在Rt△OEF中，由勾股定理得： OE2+EF2＝OF2， ∵OE＝OB， ∴OE2+EF2＝（OE+BF）2， 即：OE2+152＝（OE+9）2， 解得：OE＝8， ∴⊙O的半径为8； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵∠OEF＝90°， ∴∠BEF＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠BEF＝∠BAE， ∵∠F＝∠F， ∴△EBF∽△AEF， ∴， ∴AEBE， 在Rt△ABE中， 由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+（BE）2＝162， 解得：BE， ∴AE， ∵BC∥EF， ∴，即， ∴AD． 23.解：（1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为（10+x）元，该商场平均每天可卖出礼盒（600﹣10x）份；故答案为：（10+x），（600﹣10x）； （2）设每份礼盒售价上涨x元时，该商场每天获得的利润为y元，根据题意得，y＝（10+x）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x2﹣50x﹣600）＝﹣10（x﹣25）2+12250， ∵获利不超过20元，∴当x＝10时，商场每天获得的利润最大． 24．（1）证明：连接OC， ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE， ∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°， ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE， ∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G， ∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°， ∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2， ∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝， ∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1， ∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π． 25.解：（1）如图，⊙P为所作； （2）过P点作PD⊥BC于D点，如图， ∵⊙P与AB，BC两边都相切，PA⊥AB，∴PA、PB为⊙P的半径，BP平分∠ABD， ∴∠ABP＝∠ABC＝30°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°， ∴AP＝AB＝×3＝，∴⊙P的周长为2π×＝2π． 26.解：（1）∵AB是直径，CE⊥AB，∴AB平分CE，∴△CEP是等腰三角形， ∵CE⊥AB，∴∠CPA＝∠EPA，∵∠EPA＝∠BPD，∴∠CPA＝∠BPD，∴∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图，连接OC，OD，∵弧CD的“幸运角”为90°， ∴∠CPD＝90°，∴， ∵CE⊥AB，∴∠CED＝90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝2∠CED＝90°， ∵AB＝2，∴，∴，即CD的长为． 27.（1）①证明：∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“相望角”； ②解：∵弧的度数为n， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的“相望角”度数为， 故答案为：n； （2）解：①连接，，设与交于点F，如图， ∵的“相望角”为， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或8．故答案为：6或8． 学科网（北京）股份有限公司 $$