精品解析：江苏省镇江市丹徒区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

初中生自主学习能力专项评价样卷 九年级数学 （本卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟．） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 4. 如图，在中，，分别过B、C两点作的切线，两切线相交于点P，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形和正方形中，、的延长线分别交、于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（ ） A. B. C. 4 D. 8. 定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（ ） A. 2 B. 2或5 C. 4或6 D. 2或6 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分．） 9. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 10. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 11. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值是______． 12. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大意为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为___平方步． 13. 如图，点A、B、C、D在上，，，则的周长为______． 14. 某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为元，且两次降价的百分率均为，则可列方程为________． 15. 已知方程的解是，，则方程的解是______． 16. 如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求该方程的根． 19. 如图，四边形内接于，的延长线交于点F，的延长线交于点G，若，，求的度数． 20. 某商店的一种服装，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高5元，销售量将减少100件，已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少？ 21. 如图，网格中有四个格点、、、，经过点、、三点． （1）在图中画出圆心； （2）的半径是______； （3）画出，连接、得扇形，将其围成一个圆锥的侧面，那么该圆锥的底面半径为______； （4）连接，则直线与的位置关系为______． 22. 如图，BE是O的直径，点A和点D是⨀0上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C. （1）若∠ADE=25°，求∠C的度数； （2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长. 23. 【原题呈现】 ．如图，在中，，点从点出发沿以的速度向点移动，移动过程中始终保持，（点、分别在、上）．点出发几秒后四边形的面积为？ 【深入思考】 上面是书本中的某一道习题（原题不需解答），请在原题条件不变的基础上进一步思考：假设运动时间为． （1）移动过程中，四边形的面积能否为？若能，请求出此时的，若不能请说明理由； （2）移动过程中，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积，若不存在，请说明理由； （3）移动过程中，连接，以为直径作，当与的其中一条边相切时，请直接写出的值． 24. 【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中生自主学习能力专项评价样卷 九年级数学 （本卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟．） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程．据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元二次方程，本选项符合题意； 故选：D． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可，根据当时，方程有两个相等的实数根来解答． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：D． 3. 已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 设圆的半径为，点到圆心的距离为，根据与圆的位置关系的判定方法对点与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴点到圆心的距离大于圆的半径， ∴点在圆外. 故选：C． 4. 如图，在中，，分别过B、C两点作的切线，两切线相交于点P，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、多边形内角和等知识．连接，首先根据圆周角定理求得，再结合切线的性质可得，然后根据四边形内角和为，求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴， ∵均为的切线， ∴， ∵在四边形中，， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆中的相关性质是解题的关键．连接，，根据圆周角定理得，再根据垂径定理得，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 的度数为， 故选：C． 6. 学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形和正方形中，、的延长线分别交、于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，正多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据正方形、正六边形的性质求出，，，再利用四边形的内角和进行计算即可． 【详解】解：多边形是正六边形， ， 又正方形中，是对角线， ， ∴在四边形中，， 故选：B． 7. 如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 8. 定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（ ） A. 2 B. 2或5 C. 4或6 D. 2或6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系．用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵总有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵n是正整数， ∴，2，3，4，5，6， ∵方程是“倍根方程”， ∴3能被整除或能被3整除， ∴或5． 故选：B． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分．） 9. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 10. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，根据圆锥侧面积等于，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线，再代入计算可得答案． 【详解】解：圆锥侧面积． 故答案为：． 11. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可知，再代入得出答案． 【详解】∵是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：1． 12. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大意为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为___平方步． 【答案】120 【解析】 【分析】利用扇形面积公式即可计算的解． 【详解】解：扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步， 这块田的面积（平方步）， 故答案为：120． 【点睛】本题是扇形面积公式的应用，考查了推理能力，是基础题． 13. 如图，点A、B、C、D在上，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定定理．根据圆周角定理可以证明是等边三角形，据此可求得周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∵， ∴的周长为：． 故答案为：． 14. 某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为元，且两次降价的百分率均为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，经过两次降价后的价格=原价降价的百分率，由此列方程即可． 【详解】解：由题意知，可列方程为：． 故答案为：． 15. 已知方程的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 16. 如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、圆、勾股定理，全等三角形的判定和性质，等知识．先证明和，推出，点F在以为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接交于点，此时最小，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接交于点，此时最小， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）整理后，利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， 开方得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问4详解】 解：整理得， 因式分解得， ∴，， ∴． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求该方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案； （2）由题意根据m的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意， ∵方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴； （2）∵且为正整数 ∴ ∴ ∴ ∴，． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式． 19. 如图，四边形内接于，的延长线交于点F，的延长线交于点G，若，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形的外角定理．先两次根据三角形的外角定理，得，再根据圆内接四边形的性质，得，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 20. 某商店的一种服装，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高5元，销售量将减少100件，已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少？ 【答案】70元或80元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设这种服装每件售价是x元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这种服装每件售价是x元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：这种服装每件售价是70元或80元． 21. 如图，网格中有四个格点、、、，经过点、、三点． （1）在图中画出圆心； （2）的半径是______； （3）画出，连接、得扇形，将其围成一个圆锥的侧面，那么该圆锥的底面半径为______； （4）连接，则直线与的位置关系为______． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求； （2） （3） 如图， 该圆锥的底面半径为 （4）相切 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及确定圆心，切线的判定，圆锥的计算，勾股定理及其判定，解题的关键是理解题意，熟练掌握这些性质与判定． （1）线段，的垂直平分线的交点即为圆心； （2）方格中利用勾股定理即可求解； （3）先证明，设圆锥的底面半径为，再根据圆锥底面圆周长弧长，列式求解即可； （4）先证明，再利用切线的判定定理即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：半径． 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设圆锥的底面半径为， 则， 解得：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图，连接， ，，， ， ∴是直角三角形，且， ， ∵是的半径， 是的切线． 故答案为：相切． 22. 如图，BE是O的直径，点A和点D是⨀0上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C. （1）若∠ADE=25°，求∠C的度数； （2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长. 【答案】（1）∠C=40°；（2）⨀O半径的长是3. 【解析】 【分析】（1）连接OA，由圆周角定理得∠A0C=2∠ADE=50°，再由AC是切线可得∠OAC=90°，则可求∠C； （2）设，在中运用勾股定理即可求解. 【详解】（1）连接OA， ∵∠ADE=25°，由圆周角定理得：∠A0C=2∠ADE=50°， ∵AC切⨀O于A， ∴∠OAC=90°， ∴∠C=180°-∠AOC-∠OAC=180°-50°-90°=40°； （2）设， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：r=3， 答：⨀O半径的长是3. 【点睛】本题主要考查了圆的性质中圆周角定理以及切线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键. 23. 【原题呈现】 ．如图，在中，，点从点出发沿以的速度向点移动，移动过程中始终保持，（点、分别在、上）．点出发几秒后四边形的面积为？ 【深入思考】 上面是书本中的某一道习题（原题不需解答），请在原题条件不变的基础上进一步思考：假设运动时间为． （1）移动过程中，四边形的面积能否为？若能，请求出此时的，若不能请说明理由； （2）移动过程中，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积，若不存在，请说明理由； （3）移动过程中，连接，以为直径作，当与的其中一条边相切时，请直接写出的值． 【答案】（1） 解：四边形的面积不能为，理由如下： 假设运动时间为时，四边形的面积是， 在中，， ，， ，， 四边形是平行四边形，， ..， 点从点出发沿以的速度向点移动， ， ， ， ， 整理得：， ， 该方程没有实数根， 故移动过程中，四边形的面积不能为； （2）存在最大值，最大面积是 （3）或或 【解析】 【分析】此题考查四边形与圆的综合，涉及平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的性质，切线的性质，一元二次方程，二次函数，熟练掌握这些性质与判定，并注意分类讨论是解题的关键． （1）假设运动时间为时，四边形的面积是，证明四边形是平行四边形，先得出，，再利用列式得出一元二次方程，利用根的判别式确定即可； （2）由（1）得，利用二次根式的最值问题求解即可； （3）分两种情况进行讨论：①当与相切于点时，连接，设于的另一个交点为，连接交于， 表示出，，利用垂径定理及中位线得出，再得出，即可得出，在中，由勾股定理列式求解即可；②当与相切于时，证明四边形是正方形得，③当与相切时，得出，列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，为最大，最大值为， 故移动过程中，四边形的面积存在最大值，最大面积是； 【小问3详解】 解：由题意分两种情况： ①如图，当与相切于点时， 连接，设于的另一个交点为，连接交于， ， 是的直径， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， 与相切于点， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②如图，当与相切于时， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， 解得：， ③当与相切时，则，， ∵，， ∴，，是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴，即， 解得： 综上所述，在移动过程中，以为直径作，当与△的其中一条边相切时，的值为或或． 24. 【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 【答案】（1） （2）如图，. （3）的最小值. （4）长的范围是 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的基本性质、尺规作图、几何图形最值问题（面积最值、线段最值）及矩形的性质，解题的关键是将角度条件转化为圆周角与圆心角的关系，利用圆的性质确定点的轨迹，结合几何图形特征计算最值和范围． （1）①由圆周角定理得；②利用等腰直角三角形性质求半径；③确定P在中垂线上时面积最大，计算高的长度得面积最大值． （2）①以为圆心，长为半径画弧交于圆心O（构造）；②以为圆心画圆，交矩形两边得弧，弧上点即为 Q． （3）①计算圆心O到点D的距离；②利用圆外一点到圆上点的最短距离公式，得最小值半径． （4）①将面积最小值转化为的最小值，结合圆的半径和勾股定理得；②确定H点位置范围，得出的范围为． 【详解】（1）分别为的圆心角和圆周角， ∴ 所在的圆的半径长 当点P在的中垂线上时，面积的最大， 延长交于点G，则，在等腰中，， 则 ∴ 则面积的最大值 故答案为：． （2）分别以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，长度为半径作圆O，分别交于点，则上的任意点即为点Q； （3）当点共线时，最小，连接，过点O作，作于点G，作于点T，由（2）知，， ∴ ∴ ∴，而圆的半径为4， 则的最小值． （4）∵的面积 ∴而则， ∴ 则 即若的面积的最小值为 则长的范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $