第11讲 函数的实际应用（讲练）（思维导图+8种题型（含6种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 第11讲 函数的实际应用（8~12分） （思维导图+3考点+3命题点8种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的实际应用 考点二 反比例函数的实际应用 考点三 二次函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的实际应用 ►题型01 方案分配问题 ►题型02 最大利润问题 ►题型03 行程问题 命题点二 反比例函数的实际应用 ►题型01 实际问题与反比例函数 命题点三 二次函数的实际应用 ►题型01 拱桥问题 ►题型02 投球问题 ►题型03 喷水问题 ►题型04 图形运动问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的应用 能用一次函数解决实际问题 10年3考 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 反比例函数的应用 能用反比例函数解决简单实际问题 二次函数的应用 能用二次函数解决实际问题 10年5考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的实际应用 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 考点二 反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 2.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 考点三 二次函数的实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的实际应用 ►题型01 方案分配问题 例1．（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键． （1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可； （2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求解． 【解析】（1）解：第①种应实付款， 第②种应实付款，        ， 令，解得 当智能机器人的总价万元时，采取第①种方式较省钱； 当智能机器人的总价万元时，两种方式一样； 当智能机器人的总价万元时，采取第②种方式较省钱． （2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 因为，所以 ∴采取第①种方式可早日结清余款． 1.方案选择问题一般要先列出两个一次函数的解析式； 2.联立两个解析式，求出公共点，再分类讨论； 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，利用数量总价单价，结合“用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台”，可列出关于的分式方程，解之检验后，可得出品牌电脑的单价，再将其代入即可求出品牌电脑的单价； （2）设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，根据买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些电脑需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解析】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【解析】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台，根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【解析】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， ∴型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是2200，2000元； （2）设购买台型设备， 购买型设备台，依题意，．解得， 的最小整数解为12， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低． 4．（2024·陕西榆林·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． 【分析】（）根据“不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用”即可解答； （）根据与之间的函数关系式为，令即可解答． 本题考查了一次函数的实际应用，审清题意，找出数量关系是解题的关键． 【解析】（1）解：∵不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵刘阿姨所支付的快递费用为元，与之间的函数关系式为， ∴令,则， ∴， 答：刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克． ►题型02 最大利润问题 例2．（2023·安徽安庆·三模）某超市用2800元购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价比甲种商品多10元/件，且用150元购进的甲种商品与用200元购进的乙种商品数量相同． (1)求这两种商品的进价； (2)甲种商品的售价为45元/件，乙种商品的售价为50元/件．设购进甲种商品件（），全部售出所购进的这两种商品可获利元，求关于的函数解析式及的最大值． 【分析】（1）设甲种商品的进价为元/件，则乙种商品的进价为元/件，根据“用150元购进的甲种商品与用200元购进的乙种商品数量相同”列出方程，解方程即可得到答案； （2）当购进甲种商品件时，则购进乙种商品为件，根据题意得到关于的函数解析式为 ，根据随的增大而增大，且，计算即可得到答案． 【解析】（1）解：设甲种商品的进价为元/件，则乙种商品的进价为元/件， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品的进价为30元/件，乙种商品的进价为40元/件； （2）解：当购进甲种商品件时，则购进乙种商品为件， 根据题意得： ， 即关于的函数解析式为 ， 随的增大而增大，且， 当时，w有最大值，最大值是． 1.一次函数中的最大利润问题一般是求出函数解析式和自变量的取值范围（通常要考虑结合实际情况）； 2.判断函数的增减性； 3.结合函数自变量的取值范围和增减性求出函数的最大值。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． （1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得，再列出函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【解析】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元． 由题意可得:， , 由题意可得, , ，． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 2．（2024·湖南·二模）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． (1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ (2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． （1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出； ②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【解析】（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元． 依题意，得解得 答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元． （2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个． ， 即． ②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半， ，解得． 随的增大而增大，为整数， 当时，（元）． 答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元． 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）劳动创造美好生活．某中学在植树节当天开展植树造林活动，需要采购一批树苗．据了解，市场上每棵种树苗价格是种树苗价格的倍，用300元在市场上购买的种树苗的数量比购买种树苗的数量少3棵．学校决定购买，两种树苗共100棵，且种树苗的数量不超过种树苗的数量．树苗公司为支持该校活动，对，两种树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． 设种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买种树苗的数量比购买种树苗的数量少棵，可得出关于的分式方程，求出单价；再设则买棵B种树苗，则购买棵A种树苗．求出，根据学校本次购买树苗的花费与m的函数关系求出最小值． 【解析】设种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验是所列方程的解，且符合题意． （元）． 种树苗的单价是25元． 设则买棵B种树苗，则购买棵A种树苗． 根据题意，得，解得． 设学校本次购买树苗共花费元， 则． 随的增大而减小． 当时，取得最小值，． 答：本次购买最少花费2025元． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响． (1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？ (2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨，根据“从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元”列方程组求解即可； （2）设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨，根据“从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元”列不等式组求出m的取值范围，设利润为w万元，根据利润=（售价-进价）×销售量列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【解析】（1）解：设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨， 根据题意，得 ， 解得， 答：从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨； （2）解：设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨， 根据题意，得， 解得， 设利润为w万元， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元． ►题型03 行程问题 例3．（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为______； (2)求出段的函数表达式： (3)求小明距地时所用的时间． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出从地到地的距离； （2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从地到地用的时间，从而可以写出点的坐标，再根据点的坐标，即可得到段的函数表达式； （3）令（2）中的值为750，求出相应的的值，即可得到小明距地时所用的时间． 【解析】（1）解：由图象可得， 从地到地的距离为：， 故答案为：1500； （2）解：由图象可得， 小明的跑步速度为：， 小明从地到地用的时间为：， 点的坐标为， 设段的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段的函数表达式为； （3）解：令，， 解得， 即小明距地时所用的时间为． 1.先求出一次函数解析式； 2.读图，从图形中获取公共点信息和横坐标信息； 1．（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 【分析】本题考查了一次函数与行程问题的函数图像，涉及了一元一次方程，掌握待定系数法是解题关键． （1）设线段的解析式为：，将代入即可求解；设线段的解析式为：，由题意求出，将点代入即可求解； （2）设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇，由图可知：，据此即可求解； （3）分别计算当甲、乙两个机器人相遇前和相遇后，甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间，即可求解； 【解析】（1）解：由图设线段的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴线段的解析式为：； 设线段的解析式为：， 由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为：米/分钟， ∴“全速模式”的速度为米/分钟， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴线段的解析式为：； （2）解：设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇， 由（1）可知：甲机器人的速度为米/分钟， 由图可知：， 解得：； 即：分钟后甲、乙两个机器人相遇； （3）解：当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小； 当时，甲、乙两个机器人的距离为：米， 设出发两分钟后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 则，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有：分钟； 当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大； 设相遇后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 令，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论． 【解析】（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 3．（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式即可. 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 【解析】（1）解：由图象可得，、两点之间的距离是米， 故答案为：； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； （3）解：当时，， 当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车路程与甲行驶的时间的函数图象． (1) ______， ______； (2)求乙车行驶路程与时间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当______时，两车恰好相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是： （1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值； （2）由待定系数法求解即可； （3）当时， 先求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可 【解析】（1）解∶ 由图知， ∴． ∵ ， ∴， 故答案为∶1；40； （2）解：设乙车行驶路程与时间的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴； （3）解：当时，设甲车行驶路程与时间的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 根据题意，得， 解得或， 即当或时，两车恰好相距， 故答案为：或． 命题点二 反比例函数的实际应用 ►题型01 实际问题与反比例函数 例1．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【解析】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 1.先构建反比例函数模型； 2.求出反比例函数解析式； 3.运用反比例函数性质解决实际问题。 1．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键． （1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解； （2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解； （3）将代入（2）所求解析式，即可求解． 【解析】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和， 电路中的电阻； （2）解：由欧姆定律可知，， 由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为， ，解得：， 即电源的电压为， 电流关于电路中的电阻的函数关系为； （3）解：电流表的读数为， ， 解得：， 答：接入电路的滑动变阻器的电阻为． 2．（2024·山西大同·模拟预测）根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量m，物体的加速度a有如下关系：．所以，当物体所受的力F一定时，物体的加速度a是它的质量m的反比例函数，其函数表达式为．请解答下列问题： (1)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车哪辆车的加速度大，为什么？ (2)已知小车的质量，用F（单位：）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用F（单位：）推车，加速度a的值． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及求反比例函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题关键． （1）根据反比例函数的性质解析即可； （2）先求出反比例函数表达式，再求出函数值即可． 【解析】（1）解：空车的加速度大． 理由：根据牛顿第二定律，物体的加速度a和质量m成反比例，当F为定值时，物体的加速度a随质量m的增大而减小．因为装有石头小车的质量大于空车的质量，所以空车的加速度大． （2）解：由题意，得． ∵当时，． ∴． ∴函数表达式是． ∵车上装石块时． ∴． ∴． ∴加速度a的值为． 3．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数解析式，再令代入解析式求出x值，最后即可． 【解析】（1）设加热过程中函数解析式为，点，在函数图象上， ，解得， 当时，y与x之间的函数关系式为：； （2）∵点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为， ， 反比例函数解析式为：， 当时，， 自动停止加热到水温降到室温的时间为：（分钟）， 答：自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟． 4．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【解析】（1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． 命题点三 二次函数的实际应用 ►题型01 拱桥问题 例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【解析】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 1.建立直角坐标系，构建二次函数模型； 2.写出二次函数解析式； 3.根据二次函数的对称性和最值解决实际问题。 1．（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为． (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离． (2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？ (3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据已知条件得出点A和点B的坐标，代入即可求出函数关系式，化为顶点式，即可求出拱顶到地面的距离； （2）令，解方程求出最外侧两排吊灯的水平距离，再求出吊灯的排数和每排吊灯的个数，即可求解； （3）隧道左侧比右侧低，因此若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．令货车右侧车轮靠近中间的绿化带，求出左侧车轮与地面的交点坐标，再求了此处隧道的高，与货车的高度进行比较即可． 【解析】（1）解：由题意知，，， ， 代入，得， 解得， ． 拱顶到地面的距离为． （2）解：令， 解得， ， （盏）． 答：共需要486盏吊灯． （3）解：货车无论从哪条车道都能安全通过． 理由：由题意，得若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过． 设货车从左车道行驶，货车最左侧车轮与地面的交点为，即， 当时，， ∴货车无论从哪条车道都能安全通过． 2．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）①先求出点坐标为，再求出，进而求出，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值； ②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【解析】（1）解：由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点 代入抛物线解析式得， 解得 ， ∴抛物线对应的函数的表达式为； （2）解：①将代入中，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为； ②师傅能刷到的最大垂直高度是米， ∴当时，他就不能刷到大门顶部， 令，即 解得， 又是关于的二次函数，且图象开口向下， ∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法，即可求出抛物线的解析式方程； （2）先求出抛物线的对称轴，然后取，求出的值，再与货车的高度进行比较，即可得到答案； （3）由题意，设点，则点，然后表示出的值，再利用二次函数的最值问题，即可求出答案． 【解析】（1）解：由题意，∵， ∴设抛物线的表达式为， 由得， ， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵货车宽， ∴当货车从门中间进入时，把代入， 得， ∴货车不能正常驶入； （3）解：由题意，设点，则点， 由题意得， ∵点G在点A的下方， ∴， ∴或， ∵令， ∴或， ∴或（舍去）； ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为： ， ∴现有钢拱架支护材料够用． 4．（2023·安徽滁州·一模）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)求高架桥两端的的距离； (3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解． （3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，过点作于点，作轴于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， 在中，轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设抛物线对应的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）令， 解得：， ∴， ∴（米） （3）设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设矩形中，米， 则，代入，， 得， ∴ ， ∴， 由（1）可得， ， 设总费用为， ∴ ； 当时，取得最小值， 最小值为， ∴菱形广告牌所需的最低费用为元． ►题型02 投球问题 例2．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【解析】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； （3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得点，点，令，求出，，再根据判断即可； （3）令，则，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令，计算出y值与0.5进行比较即可． 【解析】（1）解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为 ∴， 即 ∵小球从点P处抛出， ∴将点代入抛物线解析式，得 解得： ∴ （2）∵，， ∴点，点 令，则 解得， ∵ ∴该同学抛出的小球能投入箱内． （3）该小球能弹出箱子，理由如下： 令，则 解得， ∴抛物线L与x正半轴交于点 设抛物线M的解析式为： ∴将代入抛物线M的解析式，得 解得， ∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起 ∴ ∴抛物线M的解析式为： 令，则 ∵ ∴该小球能弹出箱子． 2．（2024·安徽合肥·一模）在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高女同学参加定点投篮比赛（如图①）．为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛物线，不起跳投掷时，球在该选手头顶上方处投出，在距离该选手时达到最大高度. (1)如图②，以该选手投球站立点为原点、身体竖直向上方向为轴正半轴建立平面直角坐标系，求出篮球运行高度与运行水平距离之间的函数关系式； (2)已知比赛时篮圈中心到地面的高度为，为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何调整自己的起跳高度？ 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用， （1）由待定系数法即可求解； （2）设起跳增加，则新抛物线的表达式为：，将代入上式即可求解． 数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】（1）解：由题意得，顶点的坐标为：， 则函数的表达式为：， ， 将代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）设起跳增加， 则新抛物线的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故选手在训练时应增加起跳高度． 3．（2024·河北邯郸·一模）中国女排五次蝉联世界冠军为国争光．团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练．嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 竖直高度y/m 2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分（为球网）． (1)在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是______米，排球在空中的最大高度是______米； (2)求此抛物线的解析式； (3)若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？ 【分析】本题考查二次函数实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用函数值求自变量值． （1）通过观察图表可知本题答案； （2）设函数解析式为，通过图表知顶点坐标为，则函数解析式为，把代入中即可求出； （3）通过（2）中求出的解析式令求出，再与值比较即可． 【解析】（1）解：通过观察图表可知： 当水平距离为0时，出手的竖直高度为米， 排球最大值为， 故答案为：2，； （2）解：设抛物线的解析式， ∵通过图表知顶点坐标为， ∴函数解析式为， 把代入中，得：， ∴； （3）解：∵， ∴令，得： ，解得：， ∵，， ∴发出后的排球不会出界． 4．（2023·安徽合肥·二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度与小球抛出后经过的时间满足表达式：，其图象如图1所示． (1)求小球上升的最大高度； (2)若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球上升高度与小球抛出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中，而小球上升高度与时间仍满足． ①当时，求小球上升到最高点时的水平距离x； ②在小球正前方处的挡板上有一空隙，其上沿M的高度为，下沿N的高度为，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点M，N，挡板厚度不计），请求出此时v的取值范围． 【分析】（1）化为顶点式求解即可； （2）①根据计算即可； ②先分别求出高度为和时所用的时间，再根据即可求出v的临界值，从而求出此时v的取值范围． 【解析】（1）∵， ∴当时，h取得最大值5， ∴小球上升的最大高度为5米； （2）①由（1）知，小球上升到最高点时， ∵， ∴米． ∴小球上升到最高点时的水平距离为6米； ②当时， ， 解得（舍去），， ∴． 当时， ， 解得（舍去），， ∴． ∴此时v的取值范围为． ►题型03 喷水问题 例3．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【解析】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 1．（2023·河北唐山·一模）为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图 为喷水口喷水的横截面，该喷水口 离地竖直高度 为 ，可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其中 ，其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 离喷水口的水平距离为，高出喷水口， 喷水口到绿化带的水平距离 为（单位： ）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)通过计算求点的坐标； (3)绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围． 【分析】本题是二次函数的实际应用， （1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，令即可求出米； （2）利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为：，进一步可求出，即可求解． （3）当点，d有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，d有最大值，；所以． 【解析】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：， ∵， 将其代入可得：，解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为：， 令，解得：或， ∵点C在x轴的正半轴， ∴，即喷出水的最大射程米． （2）解：∵关于对称轴的对称点为：， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到， ∴下边缘抛物线为：， 令，解得：或， ∵点B在正半轴上， ∴． （3）解：绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道， 此时 则， 当d有最小值， 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ∵，． ∴令，解得：或， 结合图象可知： ∴d的最大值为：； ∴． 2．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线过点，可得a的值，令，解方程从而解决问题； （2）（ⅰ）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得的长度； （ⅱ）根据，，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案； 【解析】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； （2）（ⅰ）对称轴为直线， ∴点对称点为， ∵平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点C是由点B向左平移得到的， ∴点C的坐标为，即， ； （ⅱ）， ∴点F的纵坐标为1， ， 解得或（舍去） ， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为 ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， 的取值范围为． 3．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． (1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标． (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围． (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值． 【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可； （2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解； （3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解析】（1）解：把代入，得， 解得， 点的坐标为， 抛物线的顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得， 拋物线与轴正半轴的交点坐标为． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 它经过点， ， ， 当时，． 要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外， ， 解得， 的取值范围为． 设抛物线的函数表达式为，把点A坐标代入，求出 （3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为． 设所在直线的函数表达式为， ，解得 ． 拋物线正好经过墙角， 抛物线的函数表达式为． 设点的横坐标为． 轴，点的横坐标为． ． ， 当时，取最大值， 即长度的最大值为米． 4．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系． (1)求出水柱所在抛物线的解析式； (2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？ (3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，） 【分析】（1）根据二次函数解析式，用代入法来求出解析式． （2）根据解析式求出最大值，再进比较． （3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题． 【解析】（1）由题意得到：B点坐标：，A点坐标：， 设抛物线的解析式为：， 把A点坐标代入得：， 解得，， ∴抛物线解析式为：． （2）当时，， 第16层楼顶高度为：， ，， ∵， ∴此时水柱能射入该层窗口 （3）过A作平行于x轴，        设伸长至处，的长即为其伸长的长度，设为， 过作于E，则， ∴，， 即相当于将点A向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 新抛物线的解析式：， 当时，， ∴， 解得：（舍去），， ∴应伸长米． ►题型04 图形运动问题 例4．（2023·安徽滁州·一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： (1)当时，、两点之间的距离是多少？ (2)若的面积为，求关于的函数关系式． (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【分析】（1）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间t求出；当时，根据，可求出时间t． 【解析】（1）由题意得则 （1）当秒时，，， 由勾股定理得； 故、两点之间的距离是 （2）由题意得则 ∴ 由题意可知 ∴关于的函数关系式为 （3）当时 即 解得 当时 即 解得 综上所述：或． 1.用时间t表示出动点运动产生的线段长度； 2.利用面积公式等列出函数解析式； 3.根据二次函数的性质解决最值问题或线段长度求值问题。 1．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 【分析】本题考查了考查了二次函数的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式； （1）①由点M坐标可得此时点D在点B处，即可求解；②由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）①由图象可直接求解；②先求出点D在上时的解析式，可得点D在上和点D在上的图象开口相反，大小相同，由面积的和差关系可求解． 灵活运用二次函数和这些性质解决问题是解题的关键． 【解析】（1）解：①∵点M的坐标为， ， ， 当点D在点A时， ， ∴点， 故答案为：4，； ②如图1，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，（）； （2）解：①由图象可得：表示的实际意义是点D在上运动，的面积为0， 故答案为：点D在上运动，的面积为0； ②当点D在上时， ， 同理可求：， ， ， （）， ∴点P坐标为，点， ∴S与t的函数图象和线段围成的图形的面积：． 2．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在矩形中，，．动点，分别从点，出发，同时以的速度沿折线和分别向终点，运动．设运动时间为，直线，，，所围成的图形的面积为． (1)当点与点重合时，的长为 　　　　； (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当为直角三角形时，直接写出x的值． 【分析】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意列方程即可得到结论； （2）根据矩形和三角形的面积公式即可得到函数解析式； （3）①，②，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）在矩形中，，， ，，， 由题意：， ， 当点与点重合时，， ， 故答案为2； （2）由题意得， ； （3）当为直角三角形时， ，如图1，则四边形是矩形， ， ， ， ； ②如图2，时， 则， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当为直角三角形时，的值为4或6． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，动点P从点B开始沿边以的速度运动，动点Q从点A开始沿边以的速度运动，过点Q作，交于点M，交于点N，点E，F分别是，与的交点．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)设的面积为，求出S与t的关系式； (3)是否存在某一时刻t，使平分?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，可得，，代值计算即可求解； （2）根据的面积，即可获得答案； （3）过点作于点，根据矩形的性质可得，再证明当平分时，，可得，进而确定，易得，由相似三角形的性质可得，求出，然后由平行线分线段成比例定理可得，解得，则有，因此，解得即可． 【解析】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即， 解得， 即当的值为时，； （2）解：的面积 ， ∴与的关系式为； （3）解：存在某一时刻，使平分，理由如下： 过点作于点，如下图， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵, ∴平分， ∴， ∵， ∴， 当平分时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即，   解得， ∴， ∴，解得， ∴存在某一时刻，使平分，的值为． 4．（2024·吉林长春·三模）如图，，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为． (1)当点和点重合时， ； (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)在运动过程中，连接，取中点，连接，直接写出的最小值． 【分析】（1）由，，，得，根据勾股定理求得，由，，得，，即可列方程，求得； （2）分三种情况，一是当时，，，则；二是当时，交于点，此时，，可推导出，则；三是当时，交于点，交于点，则，，，所以，将三个函数关系式分别化简即可； （3）分两种情况，一是点在边上，作于点，先推导出，，可求得，则最小，；二是点在边上，则，，可求得，则最小，，，于是得到的最小值是． 【解析】（1）解：如图1， ，，， ， ， 于点， ， ，， ，， 当点与点重合时，则， ， 故答案为：； （2）解：当点与点重合时，则， ； 当点与点重合时，则， ，此时，则点与点重合； 当时，如图1， 则，， ； 当时，如图2， 则交于点， ，，， ， ； 当时，如图3， 则交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ， 综上所述，； （3）解：当点在边上时，作于点，则，， ， 是的中点， ， ，， 如图4， 点在点的上方，则， 如图5， 点在点的下方，则， ， 在此时最小， ； 当点在边上，如图6， ，， ， 此时最小， ， ，是的中点， ， ， 综上所述，的最小值是． 基础巩固 1．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【解析】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． （2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 2．（2024·陕西·中考真题）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【解析】（1）解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 3．（2024·安徽滁州·二模）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数 下表是测量物体时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 2 5 y 15 19 25 (1)求与x的函数关系式； (2)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握求函数关系式以及求函数值的方法进行求解是解决本题的关键． （1）把，；，代入中，即可得出答案； （2）把代入中，计算即可得出答案． 【解析】（1）解：把，；，代入中， 得， 解得：， 与的函数关系式为：； （2）解：当弹簧长度为时， 即， 解得：， 当弹簧长度为时，所挂物体的质量为． 4．（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论． 【解析】（1）依题意，得． ∴． 答：动力F与动力臂l的函数关系式为． （2）当时， 解得． ∵小华最多能使出的力， ∴． 答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为． 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）将和代入解析式，求得，即可得出结果． 【解析】（1）解：设，把代入， 得，解得， ∴该品牌电动车电池的电压为． （2）解：由(1)知， 当时，， 当时，， ∴电阻值的范围是． 6．（2024·河南商丘·模拟预测）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把代入中求出P的值即可； （3）分别求出和时S的值即可得到答案． 【解析】（1）设， ∵点在这个函数的图象上， ∴． ∴． ∴P与S的函数关系式为． （2）解：当m2时，． （3）解：令，， 令，， ∵在中，， ∴P随S增大而减小， ∴当时，． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）某公司销售的某种安徽特产每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间第（天）的关系如表： 时间x（天） 日销售量m（件） 未来天内，每天的价格（元/件）与时间第（天）的函数关系式为（且为整数）． (1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与第（天）之间的关系式，直接写出日销售量（件）与时间第（天）之间的关系式； (2)未来天内，该公司销售的这款安徽特产的日销售利润为元，请写出与第（天）之间的关系式（销售利润=销售额-成本），并解答下面的问题： ①第几天的日销售量为元： ②求未来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的形式，并掌握一次函数的待定系数法和二次函数的性质和最值是解题的关键． （1）观察所给表格，可得时间增加天，日销售量减少件，符合一次函数关系式，待定系数法求解即可，注意检验其他值； （2）先求出与第（天之间的关系式． ①求时的值即可； ②在自变量范围内求二次函数最值即可． 【解析】（1）解：时间增加天，日销售量减少件；时间增加天，日销售量减少件， 时间每增加天，日销售量就减少件，符合一次函数关系式， 设一次函数关系式为：， 经过点，， ， 解得：， ， 经检验，其他与的对应值均适合以上关系式， 日销售量（件与时间第（天之间的关系式为：； （2）解：， ①当时，得， 即， 解得：，， 答：第天和第天的日销售利润为元； ②， ， 二次函数开口向下， 又∵， 当时，有最大值．最大值为：（元． 答：未来天中第天的日销售利润最大，最大日销售利润是元． 8．（2023·安徽合肥·一模）某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第天与该天销售量（件）之间满足函数关系式为：（且为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价（元）与第天成一次函数关系，当时，，当时，．已知该头盔进价为元／件． (1)求与之同的函数关系式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)在实际销售的前天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价元（）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，试求的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，设总利润为元，可得出总利润与第天的函数关系，根据二次函数顶点式即可求解； （3）根据数量关系，二次函数图像的性质即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，设，当时，，当时，， ∴，解得：， ∴与之间的函数关系式为（）． （2）解：设总利润为元，则 ， 当时，取得最大值， ∴第天利润最大，最大值为：（元）． （3）解：由题意可设第天的销售利润为元，则 ， ∴对称轴为 又知前天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大， ∴即， 又， ∴． 9．（2024·全国·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米． 素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点． (1)如图3，以点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由． (3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？ 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的极值，求自变量， 对于（1），根据待定系数法求出直线解析式即可； 对于（2），将关系式配成顶点式，再求出最大值，即可得出答案； 对于（3），将代入关系式求出答案即可. 【解析】（1）由题意可知，． 设函数的解析式为， 把代入， 得， 解得： 函数的解析式为； （2）能．理由如下： 由任务1知，该抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为1.9米， 绳子能顺利从每位跳绳成员头顶越过； （3）把代入得： ，解得：， 身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学米的地方，才能让绳子顺利从头上越过． 10．（2024·湖北·模拟预测）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（）之间存在一次函数关系 (1)求y（千克）与x（元）（）的函数关系式； (2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润=销售量×（销售单价-进价）】 (3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克．则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？ 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二次函数的图像与性质，解题的关键是构建二次函数，利用二次函数性质解决实际问题，属于中考常考题型． （1）先求出销售单价为13元千克时的销售量，再利用待定系数法即可解决问题． （2）列出方程即可解决问题． （3）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 【解析】（1）解：当销售单价为13元/千克时，销售量为：（千克）． 设y与x的函数关系式为：， 把分别代入得：， 解得， 与x的函数关系是：． （2）解：由题意：， 解得或10． 销售单价为每千克10元或14元时，每天获取利润600元． （3）解：设每天水果的利润为w元，则 ， ∵, 当时，w随x的增大而增大． 又水果每天的销售量均不低于225千克， ， ． 当时，W最大值（元）． 答：该超市销售这种水果每天获取的最大利润是787.5元． 能力提升 1．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【解析】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 2．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射． 上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为． (1)若，，，则______，______． (2)求证． (3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的． 【分析】（1）证明△△，得出，得出，证明，得出，求出即可；由，解得：； （2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出； （3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出随着的增大而减小． 【解析】（1）根据题意可知，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：，即； ，即， 解得：，即； 故答案为：20；30； （2）证明：根据题意可知，，，， ， ， ，即， 整理得：， ，， ， ， ， ，即  ， ，， ， ， ； （3）列表： 描点、连线： 根据函数图象可知，随着的增大而减小． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为． (1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式； (2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？ (3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）． 【分析】（1）如图建立直角坐标系，设，再将代入，求出的值即可； （2）令，则，即可求解； （3）设两条相邻装饰带的半径分别为，，则，即，即可求解． 【解析】（1）解：如图建立平面直角坐标系，设， ∵点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴与 的函数关系式为； （2）∵“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为， 当时，则， 解得：，， ∴“不倒翁”的下半部分的最高点与桌子左边缘平齐， ∴“不倒翁”左右摇动时，是有一部分会超出桌子左边缘的部分； （3）设两条相邻装饰带的半径分别为，， ∵要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴最多可画出条装饰带． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 0 2 4 6 8 10 12 14 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 【分析】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点． （1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数为一次函数，设，把表格中的前两组数据代入可得和的值，观察表格中的数据可得一次函数自变量的取值在0和8之间； （2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取，求得相应的的值，取较大的值即为乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； （3）取，代入抛物线解析式，求得对应的的值；易得球台长，那么球台的一半长，取球台的一半长减去较小的的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多平移的距离． 【解析】（1）解：球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设． 经过点，． ． 球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数解析式为：； （2）解：当时，设抛物线的解析式为：． ． 解得：． ． 当时，． 整理得：． ． 解得：，（舍去）． 答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为； （3）解：． 球台的一半长． 当时， ． 整理得：． 解得：（舍去），． ． ，， 发球口最多向右平移． 5．（2024·贵州铜仁·一模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)若抛物线经过，两点，抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，求的值． 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把的坐标代入可得二次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式； （2）取函数值为，看球落地时的值为多少，根据点的位置，取正值即为球抛出去的距离，根据所给表格可判断应得分数； （3）根据题意得出，，进而根据的范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【解析】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， ， 该抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得：，， 点在轴的正半轴， 舍去， ，即小强在这次训练中的成绩为米， ， 小强的得分是分； （3）解：抛物线经过两点，， ， ， 由题意可知，图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为， 有以下四种情况： 如图，当时，的值随的值的增大而增大， 依题意，， 即：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 如图，当时，， 即：， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， 即：， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，的值随的值的增大而减小， 依题意，， 即：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 综上所述：或． $$第三章 函数 第11讲 函数的实际应用（8~12分） （思维导图+3考点+3命题点8种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的实际应用 考点二 反比例函数的实际应用 考点三 二次函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的实际应用 ►题型01 方案分配问题 ►题型02 最大利润问题 ►题型03 行程问题 命题点二 反比例函数的实际应用 ►题型01 实际问题与反比例函数 命题点三 二次函数的实际应用 ►题型01 拱桥问题 ►题型02 投球问题 ►题型03 喷水问题 ►题型04 图形运动问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的应用 能用一次函数解决实际问题 10年3考 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 反比例函数的应用 能用反比例函数解决简单实际问题 二次函数的应用 能用二次函数解决实际问题 10年5考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的实际应用 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 考点二 反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 2.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 点三 二次函数的实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的实际应用 ►题型01 方案分配问题 例1．（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 1.方案选择问题一般要先列出两个一次函数的解析式； 2.联立两个解析式，求出公共点，再分类讨论； 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 4．（2024·陕西榆林·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． ►题型02 最大利润问题 例2．（2023·安徽安庆·三模）某超市用2800元购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价比甲种商品多10元/件，且用150元购进的甲种商品与用200元购进的乙种商品数量相同． (1)求这两种商品的进价； (2)甲种商品的售价为45元/件，乙种商品的售价为50元/件．设购进甲种商品件（），全部售出所购进的这两种商品可获利元，求关于的函数解析式及的最大值． 1.一次函数中的最大利润问题一般是求出函数解析式和自变量的取值范围（通常要考虑结合实际情况）； 2.判断函数的增减性； 3.结合函数自变量的取值范围和增减性求出函数的最大值。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 2．（2024·湖南·二模）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． (1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ (2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）劳动创造美好生活．某中学在植树节当天开展植树造林活动，需要采购一批树苗．据了解，市场上每棵种树苗价格是种树苗价格的倍，用300元在市场上购买的种树苗的数量比购买种树苗的数量少3棵．学校决定购买，两种树苗共100棵，且种树苗的数量不超过种树苗的数量．树苗公司为支持该校活动，对，两种树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响． (1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？ (2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？ ►题型03 行程问题 例3．（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为______； (2)求出段的函数表达式： (3)求小明距地时所用的时间． 1.先求出一次函数解析式； 2.读图，从图形中获取公共点信息和横坐标信息； 1．（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 3．（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车路程与甲行驶的时间的函数图象． (1) ______， ______； (2)求乙车行驶路程与时间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当______时，两车恰好相距． 命题点二 反比例函数的实际应用 ►题型01 实际问题与反比例函数 例1．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 1.先构建反比例函数模型； 2.求出反比例函数解析式； 3.运用反比例函数性质解决实际问题。 1．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 2．（2024·山西大同·模拟预测）根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量m，物体的加速度a有如下关系：．所以，当物体所受的力F一定时，物体的加速度a是它的质量m的反比例函数，其函数表达式为．请解答下列问题： (1)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车哪辆车的加速度大，为什么？ (2)已知小车的质量，用F（单位：）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用F（单位：）推车，加速度a的值． 3．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 4．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 命题点三 二次函数的实际应用 ►题型01 拱桥问题 例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 1.建立直角坐标系，构建二次函数模型； 2.写出二次函数解析式； 3.根据二次函数的对称性和最值解决实际问题。 1．（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为． (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离． (2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？ (3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由． 2．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 4．（2023·安徽滁州·一模）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)求高架桥两端的的距离； (3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． ►题型02 投球问题 例2．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 2．（2024·安徽合肥·一模）在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高女同学参加定点投篮比赛（如图①）．为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛物线，不起跳投掷时，球在该选手头顶上方处投出，在距离该选手时达到最大高度. (1)如图②，以该选手投球站立点为原点、身体竖直向上方向为轴正半轴建立平面直角坐标系，求出篮球运行高度与运行水平距离之间的函数关系式； (2)已知比赛时篮圈中心到地面的高度为，为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何调整自己的起跳高度？ 3．（2024·河北邯郸·一模）中国女排五次蝉联世界冠军为国争光．团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练．嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 竖直高度y/m 2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分（为球网）． (1)在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是______米，排球在空中的最大高度是______米； (2)求此抛物线的解析式； (3)若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？ 4．（2023·安徽合肥·二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度与小球抛出后经过的时间满足表达式：，其图象如图1所示． (1)求小球上升的最大高度； (2)若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球上升高度与小球抛出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中，而小球上升高度与时间仍满足． ①当时，求小球上升到最高点时的水平距离x； ②在小球正前方处的挡板上有一空隙，其上沿M的高度为，下沿N的高度为，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点M，N，挡板厚度不计），请求出此时v的取值范围． ►题型03 喷水问题 例3．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 1．（2023·河北唐山·一模）为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图 为喷水口喷水的横截面，该喷水口 离地竖直高度 为 ，可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其中 ，其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 离喷水口的水平距离为，高出喷水口， 喷水口到绿化带的水平距离 为（单位： ）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)通过计算求点的坐标； (3)绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围． 2．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 3．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． (1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标． (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围． (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值． 4．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系． (1)求出水柱所在抛物线的解析式； (2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？ (3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，） ►题型04 图形运动问题 例4．（2023·安徽滁州·一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： (1)当时，、两点之间的距离是多少？ (2)若的面积为，求关于的函数关系式． (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 1.用时间t表示出动点运动产生的线段长度； 2.利用面积公式等列出函数解析式； 3.根据二次函数的性质解决最值问题或线段长度求值问题。 1．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 2．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在矩形中，，．动点，分别从点，出发，同时以的速度沿折线和分别向终点，运动．设运动时间为，直线，，，所围成的图形的面积为． (1)当点与点重合时，的长为 　　　　； (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当为直角三角形时，直接写出x的值． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，动点P从点B开始沿边以的速度运动，动点Q从点A开始沿边以的速度运动，过点Q作，交于点M，交于点N，点E，F分别是，与的交点．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)设的面积为，求出S与t的关系式； (3)是否存在某一时刻t，使平分?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·吉林长春·三模）如图，，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为． (1)当点和点重合时， ； (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)在运动过程中，连接，取中点，连接，直接写出的最小值． 基础巩固 1．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 2．（2024·陕西·中考真题）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 3．（2024·安徽滁州·二模）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数 下表是测量物体时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 2 5 y 15 19 25 (1)求与x的函数关系式； (2)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量． 4．（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 6．（2024·河南商丘·模拟预测）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）某公司销售的某种安徽特产每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间第（天）的关系如表： 时间x（天） 日销售量m（件） 未来天内，每天的价格（元/件）与时间第（天）的函数关系式为（且为整数）． (1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与第（天）之间的关系式，直接写出日销售量（件）与时间第（天）之间的关系式； (2)未来天内，该公司销售的这款安徽特产的日销售利润为元，请写出与第（天）之间的关系式（销售利润=销售额-成本），并解答下面的问题： ①第几天的日销售量为元： ②求未来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 8．（2023·安徽合肥·一模）某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第天与该天销售量（件）之间满足函数关系式为：（且为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价（元）与第天成一次函数关系，当时，，当时，．已知该头盔进价为元／件． (1)求与之同的函数关系式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)在实际销售的前天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价元（）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，试求的取值范围． 9．（2024·全国·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米． 素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点． (1)如图3，以点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由． (3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？ 10．（2024·湖北·模拟预测）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（）之间存在一次函数关系 (1)求y（千克）与x（元）（）的函数关系式； (2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润=销售量×（销售单价-进价）】 (3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克．则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？ 能力提升 1．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 2．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射． 上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为． (1)若，，，则______，______． (2)求证． (3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为． (1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式； (2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？ (3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 0 2 4 6 8 10 12 14 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 5．（2024·贵州铜仁·一模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)若抛物线经过，两点，抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，求的值． $$